CL "T

az dz*

En appliquant la règle que nous avons donnée(124) pour la formation des seconds membres des équations du mouvement,

(1) Voir plus loin la chapitre relatif à Ib double réfraction dans les milieux bémiédriques, où nous revenons sur cette question avec plus de détails.

nous obtenons pour ces équations :

P rf/» — Zj dœ dii '^ dz»

Les termes des seconds membres provenant 'de Wjl seront des dérivées partielles du second ordre de S, 7),C» multipliées par un coefficient constant. Admettons que dans la première équa-

tion ces termes se réduisent à -^-^ et que, dans la seconde,

ils se réduisent à --r-^ ; nous aurons alors pour les équations du mouvement :

fi\' ^^ ^£ t ^^^

(*) ^dfi=d? + ''d^'

^^^ ^ dfi-dz^ ^ dz^

Cherchons à satisfaire à ces équations en posant

l = Ae^"--

^u-vo

7i = Be^

Les dérivées partielles de Ç et t^ qui entrent dans les équations du mouvement auront pour valeur

^{z-yt)

I>OLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION 185

En portant ces valeurs dans les équations (1) et (2) et en supprimant les facteurs communs aux deux membres, nous obtenons »

(3) A{pV«-l) = aB?^,

(4) B (pV» - 1) = - aA ^.

En divisant ces équaUons membre à membre nous aurons,

B~~A' égalité que l'on peut mettre sous la forme

A> = — B>, d'oà

A = ± Bi.

Nous pourrons donc satisfaire aux équations du mouvement . en prenant'pour i et i) les parties réelles do

= Be

OU de

7|2 = Bc ^

Le premier système de solutions nous donne pour les déplacements de la molécule dans le plan z = o^ des expressions de la forme

Ç, = rcos (<i<4" ?)• 7j^ =z rsin(a/ + (f).

Le second système, nous donne pour les déplacements dans le même plan

Ça = — ^cos (tt^ + ?)»

TP|j == rsin (a/ -\- (f).

Pour obtenir la courbe décrite par la molécule dans le plan des x, y, il nous suffit d'éliminer t entre les valeurs de l et ir|. Nous aurons, en additionnant les carrés de l^ et ir|| et les carrés de l^ et T), les deux équations,

5î + tiî = r», Çî + tlî = r«.

Ces équations montrent que dans les deux cas la trajectoire de la molécule sera un cercle ; mais, les valeurs de l^ et de l^ étant de signes contraires ces deux cercles seront parcourus en sens contraires. Par conséquent, une onde plane qui se propage dans un cristal de quartz peut être considérée comme se dédoublant en deux ondes planes polarisées circulairemeni

POLARISATION ROTATOIRB. — DISPERSION i«7

Tane dans un sens, Tautre en sens contraire. Il nous suffit maintenant de montrer que la propagation de ces ondes se fait avec des vitesses différentes pour que la polarisation rotatoire du quartz soit expliquée.

Pour avoir ces vitesses faisons successivement dans l'une des formules (3) ou (4), A =Bt et A = -^ Bi; nous obtiendrons :

d'où nous tirons pour les carrés des vitesses V^ et Y, des deux ondes polarisées

(5) VÎ = t-2^.

(6) VÎ = UfÇ.

Puisque a n*est pas nul, nous avons pour y^ et Vj des valeurs différentes ; par conséquent, dans la propagation dans le quartz d'une onde plane polarisée, le plan de polarisation de cette onde doit tounier.

126. Des valeurs que nous venons de trouver pour les vitesses de propagation des ondes polarisés circulairement, il est facile de déduire 4a loi de Biot sur le pouvoir rotatoire du quartz, c'est-à-dire de montrer que ce pouvoir rotatoire varie en raison inverse du carré de la longueur d'onde.

En désignant par e l'épaisseur de la lame de quartz traversée par les rayons lumineux, la différence de marche de ces rayons

à la sortie de la lame sera

V étant la vitesse de propagation dan s le vide.

Or, on sait que la rotation du plan de polarisation est égaie à 360^ quand la différence de marche est égale à la longueur d*onde. Par conséquent, Tépaisseur d'une lame de quartz qui fait tourner de 360® le plan de polarisation est donnée par la formule

d'où

e=±—lsZ2.

En retranchant Tune de Vautre les égalités (5) et (6), nous obtenons

d'où nous tirons

Va — V^"" Ai: a

L'expression de e devient, en y portant cette valeur de

^ X'V.V, (V, + V,) p iTtV a

Comme la valeur de a est très petite, nous pouvons dans les

valeurs de Vf et de y\ négliger le second terme devant le

premier et on a V| = V^ ï= -p* En remplaçant Y, et V, par

Vp

cette valeur dans Texpression précédente, nous obtenons

L'épaisseur capable de faire tourner le plan de polarisation de 360^ est donc proportionnelle à X' ; on en déduit immédiatement que la rotation produite par une lame dont Tépaisseur est égale à Tunité varie en raison inverse du carré de la longueur d*onde.

Des expériences très précises ont montré que cette loi n'est pas rigoureusement vérifiée ; ce résultat ne doit pas nous surprendre puisque les calculs que nous avons faits ne sont qu'approximatifs.

127. Polarisation rotatoire des cristaux et des dissolutions. — Il existe un certain nombre de substances cristallisées qui présentent, quoique à un degré moindre que le quartz, la propriété de faire tourner le plan de polarisation de la lumière. Comme jusqu'ici, tous les cristaux pour lesquels on a constaté cette propriété, sont des cristaux hémièdres, on peut leur appliquer l'explication que nous avons donnée du pouvoir rotatoire du quartz. Mais, on connaît un grand nombre de substances organiques dont les dissolutions jouissent du pouvoir rotatoire et, dans ce cas, l'explication du phénomène devient plus difficile, les liquides se comportant en général comme des corps isotropes. On n'a pas trouvé d*ailleurs, une explication satisfaisante et, nous sommes obligés d'admettre que ces substances organiques détruisent i'isotropie des liquides et que leurs dissolutions, qui ont une infinité d'axes de symétrie, n'ont cependant pas de centre de ^métrie.

190 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE XA LtlMIËRE

128. Explicatioa de la dispersion. — Nous ne nous occuperons pour le moment que des corps isotropes ou des corps ayant un centre de symétrie. Dans ce dernier cas nous prendrons le centre de symétrie pour origine des coordonnées. Les seconds membres des équations du mouvement ne contiendront alors que des dérivées partielles d'ordre pair des 5, 7|, Ç par rapport à a?, y, z.

Considérons une onde plane se propageant dans un tel milieu et prenons pour plan des ocy un plan parallèle au plan de Tonde. Les déplacements \y t^, C» ne dépendant que de z et de t, les seules dérivées partielles de ces quantités qui entreront dans les seconds membres des équations du mouvement seront les dérivées partielles d'ordre- pair par rapport à z. En admettant la transversalité des vibrations, la condition 8 =: o nous donne pour la valeur de Ç/ l'identité Ç-' = o ; par conséquent, les dérivées partielles de C sont identiquement nulles et les seconds membres deséquationsdumouvementne peuvent contenir que les quantités

dx* dz* dz^ dz* dz* dz*

Prenons la première des équations,

Cette équation ne doit pas changer par la substitution de — y à y et de — r^ àTjdans le cas des corps isotropes ou dans le cas des corps possédant un centre de symétrie quand on prend ce point comme origine des axes. Or, le premier membre de l'équation ne changeant pas de signe par ceUe substitution,

les dérivées partielles de tj ; -j-^? -j-^» " • * dont le signe

changerait, ne doivent pas entrer dans le polynôme P. Par conséquent le second membre de Féquation ne peut contenir que les dérivées de Ç. En nous bornant aux dérivées d'ordre inférieur au huitième, cette équation devient

Un raisonnement identique nous montrerait que la seconde équation du mouvement des molécules d'une onde plane se propageant dans un milieu isotrope ou un milieu à centre de symétrie se réduit à

dl^ dz^^ dz*^ dz^

Si nous cherchons à satisfaire à ces équations par des expressions de ^ et v| de la forme suivante

2iS(s-V/) 2i5(3-V0

nous obtiendrons deux équations de condition contenant la vitesse V de propagation. Pour montrer que V dépend de la longueur d'onde X de la radiation, il nous suffit de prendre Tune de ces équations. En calculant les dérivées partielles de \ et en portant les valeurs trouvées dans la première des équations du mouvement, nous obtiendrons, après avoir divisé par le facteur commun aux deux membres

la relation suivante :

ou

... 4it»6 , 16w*c

L*indice de réfraction n étant proportionnel à Tinverse de

la vitesse, nous aurons une quantité proportionnelle à n en

prenant la puissance — ^ du second membre de cette dernière relation. Par conséquent, nous pouvons écrire:

n = Ao + T5+^-

Cette formule, trouvée par Cauchy, nous montre que Tindice de réfraction varie avec la longueurd'onde et que, par conséquent, les diverses radiations d*une lumière hétérogène seront inégalement déviées. La comparaison des valeurs den calculée par cette formule avec les valeurs trouvées par Texpérience, a montré qu'il y a une concordance très satisfaisante pour toutes les radiations lumineuses. Les résultats de Texpérience sont déjà suffisamment bi^n représentés quand on ne prend que les deux premiers termes de la formule.

129. Théories diverses de la dispersion. — La théorie de la dispersion que nous venons d*exposer suppose que» lorsque la lumière traverse un milieu pondérable, les quantités de Tordre du carré du rayon d*activité moléculaire ne sont pas négligeables. Puisque nous pouvions négliger ces quantités quand, dans les chapitres qui précèdent, nous ne nous occu-

pions que de la propagation de la lumière dans le vide et que nous n'envisagions que Taction de l'élher sur lui-même, nous devons conclure que la matière agit sur les molécules d'éther, et que le rayon d*activité des molécules matérielles est incomparablement plus grand que celui des molécules d'éther. Cette action de la matière sur Tétheravait déjà été admise par Fresnel qui supposait que Téther engagé dans les milieux pondérables avait une densité constante mais plus grande que dans le vide. Plus tard, Gauchy, dans le but d'expliquer la dispersion, admit implicitement que les molécules matérielles sont entraînées par les molécules d*éther et qu'elles vibrent avec la même amplitude. Bien que cette dernière hypothèse puisse paraître peu vraisemblable, il ne faut pas se hâter de la rejeter ; c*est ainsi qu'un corps flottant à la surface d*un liquide, participe, par entraînement, aux mouvements qui sont imprimés au liquide. En tout cas c'est cette hypothèse qui a conduit Gauchy à l'analyse du n^ 128 dont nous avons vu l'accord avec l'expérience.

Après Gauchy, Briot reprit l'étude de la dispersion. Dans une première théorie, il admit l'entraînement de la matière par l'éther. mais il supposa que les amplitudes des vibrations des molécules matérielles étaient incomparablement plus per tites que les amplitudes des molécules d'éther. 11 résultait de cette hypothèse, que dans les calculs on pouvait considérer les molécules matérielles comme fixes par rapport aux molécules d'éther. Dans ces conditions, les seconds membres des équations du mouvement d'une molécule d'éther contenaient, outre les dérivées secondes de $, tj, ï;, ces quantités ellesmêmes. La vitesse de propagation du mouvement vibratoire dépendait alors de la longueur d^onde, et Tindice de réfraction

LA LUMIBIB. 13

était donné par une formule de la forme

n = A + BX».

Mais, cette formule se trouvant en contradiction avec les résultats de l'expérience, Briot fut conduit à rejeter cetle théorie et en proposa une autre que nous allons exposer.

130. Théorie de Briot (1). — Dans cette théorie, Briot, considérant les milieux pondérables comme formés de molécules matérielles séparées les unes des autres, admet que la densité de Téther engagé dans ce milieu est d'autant plus grande que la molécule d^éther est plus proche d'une molécule matérielle . Il en résulte que cette densité p est une fonction des coordonnées de la molécule considérée.

Jusqu'ici, nous avons supposé constante ladensité de l'élher et au §33 nous avons montré que dans cette hypothèse et lorsqu'on néglige les quantités de l'ordre du carré du rayon d'activité moléculaire, le mouvement d'une molécule d'éther était donné par trois équations dont la première est

rf/2

dx

En admettant (46) que l'on a v = — [x cetle équation se réduit à

(1) Nous Bvons conservé le oom de théorie de Briot à l'eiplicalion que nous allons développer, parce que Briot est le premier qui ait cherché à fonder une théorie complète de la dispersion sur Thypothèse de la périodtcité de Téther. Mais le mode d'exposition que nous allons suivre diffère absolument de celui de Briot et se rapproche bien davantage des idées de If. Sarrau.

Le coefficient — 2{a est positif, car la vitesse de propagation des vibrations transversales est réelle et on a vu que cette vitesse est donnée par la formule

Par conséquent, on pourra, par un choix convenable de l'unité de force, faire en sorte que Ton ait — 2{a = -)- ^- La première des équations du mouvement devient alors

On sait qu*il est facile de trouver une solution de cette équation quand p est une quantité constante, mais la complication du problème serait singulièrement augmentée si p dépendait des coordonnées de la molécule vibrante. Pour concilier Tbypothèse fondamentale de la densité variable de Téther avec les exigences du calcul, nous admettrons en outre que le rayon d'activité moléculaire de Téther est très petit, et que, dans Tintérieur d'une sphère de rayon égal au rayon d'activité moléculaire, la densité peut être regardée comme constante. Il en résultera que dans cette sphère le mouvement d'une molécule est donné par trois équations analogues à l'équation (1). Nous allons chercher, sans nous attacher à suivre le mode d'exposition deBriot, commentées hypothèses peuvent rendre compte de la dispersion dans les corps cristallisés* et dans les corps amorphes.

181. Cas des corps cristallisés. — On sait, qu'en s*ap^ puyant sur des considérations dont l'idée est duc à Bravais, on peut considérer les corps cristallisés comme formés de mo-

yATHÈUriQUE DE LA LUMIÈRE . -.iigs occopanl lea sommets de parallélipipëdes . jjposés- Leç faces de ces parallélipipèdes forifQÎssyslèines de pians que nous pouvons représenter parleséqaaUonB

eu: -}- by -^ ex ^ dm a'x + b'y -j- c'x ^^ dm'

(fx + *> -^ (fz = (Tm"

dans lesquelles m, m', m" seront des entiers variant de — oo à ~\- 00 . Les valeurs de x, y, t satisfaisant à ces trois équations £(?ront les coordonnées d'un sommet d'un parallélipîpède. Prenons un de ces points P et donnons & ses coordonnées des accroissements a, p, y satisfaisant aux équations suivantes

a. + Jp + c, = rf

ai + i'p + c't =

Les deux dernières équations montrent que le point P'de coordonnées a; -|- *, y+ P, 3 + T est situé dans lesplans des systèmes (2) et (3) qui passent par le point x, y, z. De l'équation (4), il résulte que les coordonnées du point F satisfont à l'équation

« (:c + a) + Ô (y + p) -f- f (s + t) = rf (m + 1).

Par conséquent le point P' se trouvera dans le plan du système (1) qui est le plus rapproché du plan de ce même système passant par le point P. Les points P et P' forment donc les extrémités d'une arête d'un parallélipîpède et, par suite, a, p,T sont les projections de cette arête suivant les trois axes. On verrait de la même manii'-re que les projections a', p', Y

eiy t!', P^, y" des deux autres aréles des parallélipipèdes sont données par des équations qui se déduisent facilement des équations (4), (5) et (6).

1S8« Ces préliminaires établis, revenons à la théorie de Brîot. Soient œ, y, z les coordonnées d*un point quelconque de l'espace ; la densité de Téther en ce point est une certaine fonction de a?, y, z que nous représenterons par P (a?,y,z). Si nous donnons aux coordonnées des accroissements a, p, f, nous obtiendrons un nouveau point qui sera évidemment situé par rapport aux sommets d*un certain parallélipipède comme le point X, y, z se trouve situé par rapport aux sommets d'un des parallélipipèdes contigus. Puisque la position de ces deux points par rapport aux molécules matérielles est la même, la densité de Téther en ces points doit avoir la même valeur. On aura donc

p = P (a?, y, ir) = P (a? + a, y -f p, ^ + y) ;

c'est-à-dire que la densité est une fonction périodique des coordonnées.

En donnant aux coordonnées x^ y, z des accroissements égaux aux projections des deux autres arêtes des parallélipipèdes, on obtiendra deux nouveaux points où Téther a la même densité ; par suite on a

La densité p de Téther dans un milieu cristallisé est donc une fonction triplement périodique des coordonnées.

ISS» Considérons une onde plane se propageant dans un milieu cristallisé et prenons pour plan des osy un plan parai-

iOSa HATHÊMknQVE DE LA LUMIÈRE de l'oade- Nous savons que 5, -ij, C ne dépendent (jexelde ', et qu'il résulte de la condition de transsïlilé qae £ est identiquement nul. La densité étant supnusêe constante à l'intérieur d'une sphère de rayon égal an ravo" d'activité moléculaire, p sera indépendant des déplacements l, 1], C et sera seulement fonction des coordonnées de la position d'équilibre de la molécule considérée. Comme nous voulons seulement pour le moment faire voir l'inQuence de la périodicité et montrer qu'elle suffit pour expliquer la disperùon nous supposerons pour simplifier, que p est une fonction périodique tie x seulement, et par conséquent qu'on la peut développer en série Irîgonomélrique. Noua poserons

p :^ Lj -f- L| cosj^ -^- , . . -j- M, sinz -|-M, siniy-f-, , .

Démontrons que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une foDClion périodique ç soit la dérivée d'une fonction périodique <{., est que la valeur moyenne de f suit nulle. Pour cela déreloppODB <f en série Irigonométrique, nous aurons

!p ^ Hg-j-d, cosz -{-a^costs -{- . . . b, tin 2 -\- b^s'in^z -\- . . .

Si nous donnons à z toutes les valeurs possibles, les fonctions sinus et cosinus qui entrent dans ce développement prendront une; inilnilé de valeurs comprises entre -|- 1 et — 1 ; la valeur moyenne de ces fonctions sera donc nulle, et, par conséquent, la valeur moyenne de f se réduit à a^. L'intégrale indéfinie de f sera

■^:=c-^a^x-i'a,siax-i-ajainiz-\-.,. — 6, cos* — b^coaiz — ...

Ouand la valeur moyenne a^ de f est nulle, celte intégrale est une fonction périodique de t. La condition énoncée est donc

nécessaire ; il est évident qu'elle est suffisante. Nous nous servirons de cette propriété des fonctions périodiques dans ce qui va suivre.

134. Prenons maintenant les équations du mouvement. Par suite de la transversalité des vibrations, Téquation (1) du 2 130 devient dans le cas d'une onde plane parallèle au plan des xy^

^ di^ "" dx^' Essayons de satisfaire à cette équation en posant

OÙ [X est égal à r- et où v est une fonction périodique

de z. Nous aurons pour les dérivées premières et secondes de l par rapport à ^ et à ^ :

dF = '^^ 5; = ^^'

£//«"" ^ ^' dz^ ^^^ dz

En portant ces valeurs des dérivées secondes dans Téquation du mouvement, nous avons

(1) ^ + t?« + pfX» = o

équation différentielle qui donne la valeur de t? en fonction de z et de ^. Remarquons que, par suite de Tunité de longueur adoptée, la quantité (ji est très petite. En effet, cette unité, choisie de manière que la période de la fonction périodique p soit

fînie, est comparable avec les dimensions du parallélipipède élémentaire, c'est-à-dire très petite par rapport à X ; par conséquent X sera exprimée par un nombre très grand, et p, qui est ]*in verse de X, sera un nombre très petit. Il en résulte que, si nous développons I? suivant les puissances croissantes de pi, nous obtiendrons une série dont les termes tendront rapidement vers zéro ; il nous suffira donc de calculer les coefficients des premiers termes de cette série pour avoir une valeur de V suffisamment approchée.