Voyons comment on obtiendra ces coefficients

Nous pouvons écrire le développement de v.

^4> ^2' ^31 • • • étant comme v des fonctions périodiques de z ; nous en tirons

et

dv dv» . , dv» . - dv^ , . dv. ,

En portant ces valeurs dans Téquation (1), nous obtiendrons dans le premier membre un développement ordonné suivant les puissances croissantes de ;x. Ce développement devant être nul quel que soit {x, les coefficients des diverses puissances de \l doivent se réduire à o. Nous avons donc

POLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION ?0t

CtVm

La première de ces équations nous donne

v^ = constante.

De cette égalité et de l'équation (3), il résulte que -y^ est

une fonction périodique de z, puisque, par hypothèse, p est une fonction périodique. D'après la propriété des fonctions périodiques démontrée précédemment il faut, pour que v^ soit

une fonction périodique, que la valeur moyenne de -j^ soit

nulle. Par conséquent la valeur de v^ est égale à la racine carrée de la valeur moyenne de p changée de signe. La valeur de 0| se trouvant ainsi déterminée, l'équation (3) donnera par intégration l'expression de v^.

Dans cette expression, la constante d'intégraUon est arbitraire. Pour avoir sa valeur qui est la valeur moyenne de v^, nous aurons recours à l'équation (4). La valeur moyenne de

doit être nulle pour que v^ soit une fonction périodique ; par conséquent la valeur moyenne du produit V|V, doit être nulle. Gomme v^ est une constante différente de zéro, il faut que la valeur moyenne de v^ soit nulle ; la constante introduite par l'intégration dans l'expression de v^ se réduit donc à zéro. L'équation (4) permet alors de trouver l'expression de t?, ; la constante d'intégration se trouverait par la

tmAhub mathématique de la lumière conmdération de l'équation (S). En continuant ainsi, on calciijerail les expressions des différentes ronctionst!,,t?j,rj,..., floe l'on veut introduire duna le développement de la fonction o,

136. Cherchons la vitesse de propa^^ation de l'onde plane considérée.

En désignant par tt" la valeur moyenne de v, noue aurons

/ vdx =1 v^x -f- M,

u étant une fonction périodique. Par conséquent, lacomposanle % du déplacement de la molécule d'étheraura pour expression

Le facteur e" ent nne fonction périodique de x sur laquelle nous ne savons rien sinon que la période eet très petite ; cette période est en effet du même ordre de grandeur que les arêtes du parallélipipède éliminaire. 11 en résultera des variations très rapides- du facteur e". Il est donc certain que la valeur moyenne dti déplacement interviendra seule dans les expériencea.

Par conséquent noue devons dans l'expression précédente deE, remplacer e' par sa valeur moyenne G ; nous aurons alors

Ç = Cet*« + ™.

La vitesse de propagation a donc pour valeur

L*indice de réfraction n étant inversement proportionnel à la vitesse de propagation, il sera proportionnel au rapport

— -r- Si donc nous désignons par t?®|, w^j, i?%,... les va-

leurs moyennes des fonctions v^, v^^ v,,..' qui entrent dans le développement de v par rapport aux puissances de (a, l'indice de réfraction est proportionnel à

Montrons que cette expression est réelle. L'équation (8) donne pour la valeur de v^ la racine carrée de la valeur moyenne de — p ; c'est donc une quantité imaginaire. Désignons-làpar — ta. Quanta la valeur moyenne de t?,, nous avons vu qu'elle était nulle. L'équation (5) nous montre que la valeur moyenne du produit v^ r, est égale, au signe près, à la valeur moyenne de v| ; r| étant essentiellement positif, il en sera de même de sa valeur moyenne. La valeur moyenne de r| r, est donc positive, et cette quantité divisée par la valeur

— tadet?! donnera pour v^ une quantité purement imaginaire

— ib. Pour avoir rj, prenons l'équation (6). Il résulte de cette équation que v^ r} est égal, au signe près, à la valeur moyenne de v^ V3. Or, en multipliant le premier membre de l'équation (4) par V3, on obtient

^ dv. 1 dvl

Le second membre de cette nouvelle équation étant la dérivée d'une fonction périodique a pour valeur moyenne zéro ; il en résulte, puisque v^ est une constante, que la valeur moyenne de Vj V3 est nulle. Il en sera de même de la valeur moyenne de

^i ^'4j et par suite de i?}. Il serait facile de voir que la valeur de r§ est une quantité purement imaginaire — te. L'indice de réfraction sera donc proportionnel à

a -f- *|Ji.^-|- CfjL^ + • • •♦

et comme fx est inversement proportionnel à X, la valeur de cet indice sera donnée par une formule de la forme

** — ^0 + ^j i-ii +•••»

formule qui est suffisamment bien vérifiée par l'expérience.

187« Si au lieu de considérer une onde plane, nous voulions traiter le cas général où pest une fonction périodique de ^} ^1 ^^r, rintégration des équations du mouvement présenterait de grandes difOcultés. A propos de la double réfraction, nous montrerons comment M. Sarrau est parvenu é trouver des fonctions satisfaisant approximativement aux équations du mouvement dans le cas où p est une fonction périodique des coordonnées. Ces fonctions sont de la forme

zLH,

Ç = Ae ^ ,

^ = tic '^

Pour satisfaire aux équations du mouvement, dans le cas où la densité est constante, on donnerait à A, B, C, a, p, y, Vdes valeurs constantes. En prenant pour A, B, G des fonctions périodiques des coordonnées on parvient par approximations

POLARISATION ROTATOIRB. — DISPERSION 205

successives à intégrer les équations du mouvement dans le cas où p est variable. Par une première approximation on parvient à Texplication de la double réfraction, par une seconde à celle de la polarisation rotatoire, et par une troisième à celle de la dispersion.

138. Cas des corps amorphes. — Dans les milieux amorphes, les molécules matérielles sont irrégulièrement disposées et la densité de l'élher est une fonction des coordonnées oscillant irrégulièrement autour de sa .valeur moyenne. Cette fonction est quelconque et pour arriver à intégrer les équations du mouvement il faut faire une hypothèse sur sa forme. L'hypothèse la plus simple consiste à admettre que p est une fonction de la même forme que dans les milieux cristallisés, mais non périodique.

Nous supposerons donc que dans les milieux amorphes p est donné par une fonction de la forme

p = V R sin \ax -{- by -{- cz -{- d)

où a, 6, e sont des nombres quelconques, non entiers, et dune coiylante également quelconque. La valeur moyenne de p, autour de laquelle oscillent les valeurs de la fonction p n'est autre que le terme de la série pour lequel on aa == 6 = c = o ; cette valeur moyenne est donc égale à

Ksind

Inapplication de la méthode de M. Sarrau à la recherche des intégrales du mouvement présenterait dans ce cas de grandes difficultés. On pourra néanmoins trouver les valeurs moyennes de ces intégrales et nous avons déjà montré que ce

sont ces valeurs moyennes qui seules interviennent dans les résultats expérimentaux. L'intégration se ferait d'ailleurs par approximations successives comme dans le cas des milieux cristallisés.

189. Sans traiter complètement la question, il est possible de montrer que dans le cas particulier d'une onde plane parallèle au plan des xy la valeur de l'indice de réfraction dépend de la longueur d'onde.

La première des équations du mouvement est

P dfi "" dz^^

Nous avons vu (180), que lorsque p est une fonction périodique de z on peut satisfaire à cette équation en posant

(r est une fonction périodique de z et les coefficients de son développement suivant les puissances croissantes de p. sont données par une série d'équations récurrentes). Puisque nous avons supposé que dans les corps amorphes p avait la même forme que dans les corps cristallisés, nous pourrons satisbjre aux équations du mouvement dans les premiers milieux en prenant pour r une fonction non périodique dont les coefficients de son développement suivant les puissances de (a seront donnés parla môme suite d'équations récurrentes.

Cherchons la valeur moyenne des coefficients du développement pour avoir ensuite la valeur moyenne de \, L'équation (2) du § 185 nous montre que v^ se réduit à une constante ; la valeur de cette constante peut se déduire immédiatement de l'équation (3), car la fonction t?2t quoique n*étant pas une fonc-

POLARISATION ROTATOIRF. — DISPERSION 2«7

lion périodique, ne diiTère d'une telle fonction que par la valeur des coefflcienlB qui entrent sous les signes sinus et cosinus du développementensérielrigonOmétrique. Comme il en est de même de p, il faut donc que la valeur moyenne de -r^ aoit nulle. En désignant par — a la racine négative de la valeur moyenne de p, nous aurons une des valeurs de v, ; v, ^ — ta. Celte même équation (3) nous montre que la valeur moyenne de r, est une quantité réelle. En considérant les unes après les autres les diverses équations on verrait que les coefficients impair» commev,,v,,... sont purement imaginaires et que les coefficients pairs, v^, v^... sont réels. Nous allons montrer que ces derniers sont nuls.

L'homogénité exige que dans les milieux amorphes les molécules matérielles soient disposées de In même manière par rapporta chacune d'elles. Chaque molécule estdonc un centre de symétrie et si nous prenons un de ces pointii pour origine des axes, p est une fonction paire, c'est-à-dire conservant le même signe quand on change ^ en — z. Il résulte de l'équation (3) que -j-* est une fonction paire ; par conséquent f , est une fontion impaire. Les équations suivantes montrent que Vy est paire et v^ impaire. Les coerfici<'nts Vj, v^, v^ sont donc des fonctions Impaires dont la valeur moyenne est nulle.

I.B valeur de moyenne v,seradonnéc pArréquation[5).C'est, comme nous l'avons dit, une quantité purement imaginaire. Si nous la désignons par — ib, nous aurons pour la valeur moyenne der, en nous arrêtant au terme en jj.*.

Par conséquent, la valeur moyenne de la vitesse de propa-

galion sera

t|JL i

et Tindice de réfraction, inversement proportionnel à cette vitesse, sera donné par une expression de la forme

Gomme [l 3st inversement proportionnel à la longueur d'onde, on obtiendra enOn

Nous retrouvons doncTexpression de l'indice de réfraction qui s'accorde avec les résultats des expériences.

140. Théorie de M. Boussinesq. Au lieu de supposer, comme Briot, que la densité de l'éther engagé dans un milieu pondérable dépend de la position de la molécule considérée, M. Boussinesq suppose cette densité uniforme. Pour tenir compte de Faction de la matière sur Téther et arriver à l'explication de la dispersion, il introduit dans les équations du mouvement des molécules d'éther un terme complémentaire F représentant les forces élastiques mises en jeu par cette action. 11 admet en outre, que les forces élastiques qui s'exercent entre les molécules d'éther sont les mêmes que lorsqu'on considère l'éther dans le vide. Par suite de ces hypothèses, la première des équations du mouvement devient

Mais, si les molécules d'éther sont soumises à des forces F

résultant de l'action de la matière; réciproquement les molécules matérielles 'seront soumises à une force égale et contraire due à faction de Féther. De plus, les molécules matérielles sont soumises à des forces élastiques F4 provenant de leurs actions mutuelles. Par conséquent, si nous appelons p| la densité de la matière et l^ le déplacement d'une molécule matérielle, nous aurons

Pi ^ r= — F -4- P.

Les forces élastiques P( dues à l'action de la matière sur elle-même doivent être beaucoup plus petites que celles qui s'exercent entre les molécules d'éther, puisque le son, qui résulte des vibrations de la matière, se transmet avec une vitesse incomparablement plus petite que celle de la lumière. Aussi M. Boussinesq admet-il que Ton peut négliger F^ par rapport à F. L*équation du mouvement d'une molécule matérielle devient alors

En remplaçant dans l'équation (i), F par la valeur tirée de cette dernière équation, on obtient :

Le déplacement l^ des molécules matérielles doit dépendre des déplacements l, y|, C de Téther et de leurs dérivées. Mais, comme ces déplacements sont très petits, on peut réduire $1 au premier terme de son développement par rapport &

LA. LUMIÈRB. 14

ces quantités, c'est-à-dire à une fonction linéaire de l, t), C el de leurs dérivées.

D'ailleurs, dans certains cas, cette fonction se simpliGe. Si d'abord nous prenons le plan de l'onde pour plan des xy ; les dérivées par rapport à z entreront seules dans les milieux isotropes. De plus l^ ne contient ni t) ni (• En effet, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on y remplace y et 7| par — y et — tj. Si Ton fait cette substitution dans Téquation (3), le premier membre ne change pas ; l'ensemble des deux premiers termes du second membre

conservant aussi la même valeur, il faut que -r-^* ne change pas. Cette dérivée, et, par suite l^, ne doivent donc pas contenir Yj, -T-' Un raisonnement analogue montrerait que S,

ne doit pas contenir (. Par conséquent Si se réduit à une fonction linéaire de l et de ses dérivées. Encore toutes les dérivées n'entrent pas, car Torigine étant centre de symétrie, les équations ne doivent pas changer quand on change les signes de a?, y, z. S, yj C» ce qui exige que les dérivées d'ordre

impair disparaissent de -^ et, par suite, de^^.

141. Cherchons l'intégrale de l'équation (3) dans le cas d^une onde plane se propageant dans un milieu isotrope. Les dérivées de (, 7|, C par rapport à ^ et à y étant alors nulles» $4 se réduira à une fonction linéaire de l et des dérivées de l d'ordre pair par rapport à z. En négligeant les dérivées d'ordre? supérieurs au troisième, nous aurons

et, en portant cette valeur de l^ dans l'équation (3) elle

POLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION âll

devient, lorsqu'on suppose ies vibralioiis transversales,

Si nous essayons de satisfaire à cette équation en po:iant

nous aurons comme équation de condition, résultanl de la substitution dans (4) des dérivées déduites de cette valeur de ^,

pV* = 1 — p,aV» + p.ôi»^ d'où

p + p,a — Pi**'

Par conséquent l'indice de rérraction sera proportion n<;l h lu racine carrée de

p + «p, — ip.ct' ;

et puisque « est inversement proportionnel & >, n $crH de la forme

L'indice de réfraction dépend donc de la longueur d'onde.

142. La théorie de M. Boussinesq (1) peut se prr^scnter d'une autre manière quand il s'agit des corps isotropes.

l'uisqu'il y a action de la malinre sur l'étber, il faut tenir compte de cette action en introduisant dans les équutiuns du mouvement les forces élastiques qui en résultent. Ur l'iiypo-

(1) Soui Mlle rormu, ■• lhéarl« da M. Etonuloeiq se rapproche d'uue théocla da Halmholli, où le savanl tlleiiiiDd rend comple, aon «ciulemoat de la diapertion onllnalre, mais de la diaperalon anormale el que je regrelie da n'avoir paa eu le (empa de déTalopper dana lei lei^na de ce sumealre.

thèse la plus simple que l'on puisse faire sur la nature de ces forces élastiques, est qu'elles sont proportionnelles à la différence $4 — Ç des déplacements de la matière et de l'éther. En désignant par M le facteur de proportionnalité, la première des équations du mouvement de l'éther peut s'écrire

Dans le cas d'une onde plane, elle devient

Si on cherche à satisfaire à cette équation en posant

A et B étant des constantes et a ayant pour valeur -r-^ on obtient pour résultat de la subtitution

(5) — pa^AV» = — aU + M (B — A).

L'équation qui donne le mouvement de la molécule matérielle est,

En y substituant la valeur prise précédemment pour Ç|, on a,

(6) — p^a^BV» = M (A — B).

Éliminons A et B entre les équations (5) et (6) pour avoir la vitesse en fonction de a. Pour cela mettons ces équations

SOUS la forme suivante ' '

A[M — a»(pV» — 1)]=MB, B(M-a>p<V») = MA,

et multiplions membre à membre ; nous obtiendrons après simplification, ,

— ««M (p,V« + pV» — <) -J- «*p,V« (pV» — 1) = 0, ou

M (P + 9i) (v» - p-:p^) = ««P^V» (pV» - 1).

Par suite de la grandeur de Tunité de longueur imposée par la forme sous laquelle nous avons pris l'équation du mouvement, a est très petit. Par conséquent l'équation précédenle, mise sous la forme

nous donne comme résultat d*une première approximation

Remplaçant V^ par cette valeur dans le second membre de Téquation (7), nous obtenons pour seconde approximation

V»=— i- + ^ £!/£ iV

P + Pi ^^ (P + P«)p+tPi \P +Pi /

ou, en simplifiant.

Y2-i___Ji!£Î

â14 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

NoDs obtenons donc encore pour la vitesse, une expression qui dépend de a, et, par suite, de X.

148. Montrons maintenant comment la théorie de M. Boussinesq rend compte de la polarisation rotatoîre dans les milieux qui, comme les dissolutions de composés organiques, sont dépourvus de centre de symétrie, mais dans lesquels une direction quelconque est un axe de symétrie.

Puisqu'il n'y a pas de centre de symétrie, la fonction l^ dépend à la fois des dérivées d'ordre pair et des dérivées d'ordre impair des déplacements Ç, tj, Ç de Téther. Mais par suite de Texistence d'axes de symétrie, cette fonction se simplifie. En exprimant que les équations du mouvement ne changent pas quand on fait tourner d'un angle quelconque deux des axes de coordonnées autour du troisième, et en négligeant les dérivées d'ordre supérieur au premier, on trouve pourÇ^,

Pour les autres composantes t^^ et ^ du déplacement de la matière on aura

Dans le cas d'une onde plane parallèle au plan des rry, les dérivées par rapport kœ eiy étant nulles, on a

et les équations du mouvement de l'éther deviennent

' tkdt' 'df^d^-'''df+''f'S;dë-

Si nous essayons de satisfaire k ces éqiialîons par âen valeur? de E et 11 de la forme

^ = Be '«"-"".

nous obtenons les deux équations de conditions :

— pAV» = — A + opjAV + ô(ap,BV*,

— pBV* = — B + ap,BV» — Ai«P(AV*.

Cea équations peuvent s'écnre

A(i — pV» - ap,V*} - éwp.BV* B (1 — pV« — ap.V») = — 6i»p;AV».

En les divisant membre à membre, on obtient

Nous aurons donc deux systèmes de valeurs de l et i\, satisfaisant aux équations du mouvement. Ces deux systèmes correspondent à A := -f- ^' *' * A ^ — Bt. Nous pourrons donc montrer, comme nous l'avons fait au § 125, que l'onde plane

donne naissance à deux ondes planes polarisées circulairement en sens inverses et se propageant avec des vitesses inégales. — Nous en concluons immédiatement que le plan de polarisation de la lumière incidente doit tourner d'un certain angle en traversant le milieu.