CHAPITRE VI

144. — Le phénomène de la double rérraction, observé pour la première fois vers le milieu du xvii* siècle dans le spalh d'Islande, fut ensuite reconnu dana toutes les substances cristallisées n'appartenant pas au système cubique. Biot, «lui étudia tout particulièrement la double réfraction au point de Tue expërimeutal, diviaa les cristaux biréfringents en deux classes, suivant que les phénomènes étaient symétriques tout autour d'une droite ou qu'ils semblaient se coordonner par rapport k deux droites. Les cristaux du premier groupe \rri.itaitee tmiaxea) appartiennent & l'un des systèmes crlslallins rhomboédrique, hexagonal, quadratique qui possèdent un axe de symétrie cristallographiqiie d'ordre supérieur à 3; cet axe de symétrie se confond avec l'axe optique du cristal. Les cristaux du second groupe {cristaux biaxes) sont orlhorhombiques, clinurhombii)ues ou anorlhiques; le^ direclioni^! de leurs axes optiques ne sont pas en relation immédiate avec les éléments de symétrie de l'édifice cristallin. C'est Hady i\a\. le premier, fit remarquer ces importantes relations entre la forme cristalline et la propriété biréfringente.

Les premières recherches théoriques entreprises dans le hut d*expliquer la marche de la lumière dans les milieux biréfringents sont dues à Huyghens; elles ne s'appliquaient qu'aux cristaux uniaxes. Elles furent reprises par Young, mais ce dernier, pas plus que Huyghens, ne parvint à une véritable explication du phénomène. C'est à Fresnel qu'était réservée la gloire de trouver l'explication mathématique des lois de la double réfraction dans les cristaux uniaxes etbiaxe^.

Les travaux de Fresnel ouvraient une voie nouvelle aux recherches des mathématiciens. Gauchy, Lamé, Neiuniann, Mac-Cullagh et tout récemment MM. Sarrau et Boussinesq, partant de considérations différentes, édifièrent un certain nombre de nouvelles théories.

Nous étudierons successivement ces diverses théories. Auparavant, nous déduirons des équations des petits mouvements dans un milieu élastique, l'existence d'une surface du second degré qui joue un rôle capital dans cette étude et dont l'introduction dans la science est due à Cauchy ; nous voulons parler de Vellipsoîde de polarisation,

145. — Transformation des équations du mouvement. — Par un choix convenable de l'unité de masse, la densité p d'une molécule d'un milieu élastique peut devenir égale à 1. Dans ces conditions, les équations générales do mouvement établies au n® 32 deviennent

dx dy^Jc

DQUBLE RÉFRACTION 219

Cherchons à satisfaire à ces équations par les valeurs de l, -I}, C de la forme,

(i) l = k€^y 7l = Be^ C = Ce«*.

où l'on a,

Nous aurons ainsi un mouvement se propageant par ondes planes normales à la droite ayant pour cosinus directeurs a, p, y. En remplaçant dans les équations du mouvement les dérivées partielles de l, 7|, C, par leurs valeurs tirées des égalités (2), on obtiendra trois équations de condition entre les quantités Â, B, C et la vitesse de propagation Y du mouvement. Il est possible de mettre ces équations sous une forme simple.

Les dérivées partielles du premier ordre de l, t^, (, par rapport aux coordonnées x, y, z contiennent toutes en facteur la

quantité -r- «**. Ainsi, on a

Çi = ^«Ae', y = ?|î pAc', . . .

Par conséquent W^, qui est une fonction homogène du second degré de ces dérivées partielles, contiendra en facteur

\\) ^"** Si donc nous posons,

n sera un polynôme homogène et du second degré par rapport à Â, B, C et par rapport à a, p, y.

En dérivant par. rapport àÂ cette fonction W^, nous obtiendrons,

2 \ X / dA

D'aUleure la dérivée de W, par rapport à A peat s'écrire,

et, en remplaçant dans cette expression les dérivées par rapport à A des diverses dérivées partielles de l, t^, C par leurs valeurs, nous aurons,

En égalant cette valeur de -tt-* à la valeur (3), et supprimant

le facteur -r— e^ commun aux deux membres de Tégalité obtenue, il restera,

De cette égalité nous allons déduire une nouvelle expression du second membre des équations (1) du mouvement. La

dérivée -^7^ est une fonction homogène et linéaire par rapport

aux dérivées partielles des l ; si donc on y remplace ces dérivées partielles par leurs valeurs tirées des relations (2),

on aura en facteur la quantité — e^. Nous pouvons alors poser

DOUBLE RÉFRACTION Sii

«p étanl une fonction homogène et linéaire par rapport Â, B, G et à Gi, p, Y, mais ne dépendant pas de x^ y, z. Par conséquent nous aurons

d rfW, 2i7r p rfP 2t7r p Stira

ctorf5i=T"^rf^ = T"^^~'

et par suite

En remplaçant dans le second membre de cette expression la quantité placée sous le signe £ pur sa valeur (4|, nous obtenons,

dx d\';^~ \\\) ^ dk'

c*est, au signe près, la valeur du second membre de la pre* mière des équations (1).

D'autre part, la première des égalités (2) nous donne,

par conséquent la première des équations du mouvement conduit à l'équation,

ou.

AV« = i ^.

2rfA

Les deux autres équations du mouvement nous donneraient

des équations analogues ; par suite les équations (1 ) peuvent

être remplacées par le groupe,

*^ -idk (5) BV» = - —

GV» = i ^.

îrfC

On pourrait résoudre analytiquement le système des trois équations précédentes; on obtiendrait les valeurs de V et de A, B, U qui, pour des valeurs données de a, p, y, donnent des déplacements (,7|, C satisfaisant aux équations du mouvement. On peut également suivre la méthode géométrique indiquée par Cauchy ; c'est cette marche que nous adopterons.

146. Ellipsoïde de polarisation. — Si nous considérons A, B, G comme les coordonnées d'un point, Téquation n = 1, dont le premier membre est homogène et du second degré par rapport à A, B, G, représente une surface du second degré rapportée à son centre; c*est rellipsoïde de polarisation.

Les coordonnées A, B, G de Textréuiité d'un axe de cette surface s'obtiendront en écrivant qu'en ce point le rayon vecteur est normal à la surface. Les cosinus directeurs de la normale étant proportionnels à -tt-> -t^» -ip> et ceux du rayon

vecteur au point A, B, G, proportionnels aux coordonnées de ce point, A, B, G devront satisfaire aux équations.

L'élimination de A^B^C, entre ces trois équations, qui sont linéaires et homogènes par rapport à ces quantités, conduit, comme on le sait, à une équation en S du troisième degré. Â chacune des racines de cette équation correspond un système de Taleurs de A,B,G, obtenu en portant la valeur de S dans les équations (6). Or ces équations ne diffèrent des équations (5) qu'en ce que V^ a été remplacé par S. Par conséquent la résolution des équations (5) nous conduirait à trois valeurs de Y et à trois systèmes de valeurs de A,B,C. En portant ces valeurs dans les égalités (2), nous obtiendrions trois systèmes de valeurs de S, iq, C» satisfaisant aux équations du mouvement.

Les valeurs de (, t^, Ci ainsi obtenues correspondent à trois directions de déplacements dont les cosinus directeurs sont proportionnels à S, 7|, Ç, et par suite aux trois systèmes de valeurs de A,B,C. Ces valeurs, solutions des équations (6), sont proportionnelles aux cosinus directeurs des axes de l'ellipsoïde de polarisation: par conséquent, les directions correspondantes des déplacements sont perpendiculaires entre elles.

En résumé, la vibration est parallèle à tun des axes de tellipsoîde de polarisation^ et la vitesse de propagation y z=z Vo est inversement proportionnelle à la longueur de cet aœe.

147, De ce qui précède, il résulte que, pour qu'une onde plane se propage dans un milieu élastique anisotrope, en restant plane et perpendiculaire à la même direction x,p,Y, il faut que les déplacements des molécules du plan de l'onde soient parallèles à l'un des axes de l'ellipsoïde de polarisation. Si la vibration des molécules du plan de l'onde n*a pas lieu suivant une de ces directions, on pourra, d'après le principe de la superposition des petits mouvements, décomposer le

déplacement de chaque molécule en trois composantes, suivant les axes de Tellipsoïde, et considérer Tonde donnée comme formée de trois ondes planes, dont les vibrations seraient parallèles à ces axes. Chacune de ces ondes platies se propa-

géra sans altération et comme leurs vitesses de propagation (les racines carrées des racines de Téquation en S), sont en générai différentes, ces ondes se sépareront. Par conséquent, d*après la théorie de Télasticité, un rayon lumineux, traversant un milieu anisotrope, doit donner naissance à trois rayons ; on devrait avoir une triple réfraction.

. Cette conséquence est en contradiction avec Texpérience qui n*a jamais révélé qu'une double réfraction. Pour mettre d*accord la théorie de l'élasticité avec Texpérience, on peut faire diverses hypothèses sur la constitution du milieu qui transmet les vibrations lumineuses.

On peut admettre :

1® Que Téther est incompressible (Fresnal) ;

2» Qu'un des trois rayons prévus par la théorie n'est pas perceptible, son intensité étant trop faible (Cauchy) ;

3° Que la vitesse de propagation suivant une direction est nulle. L'ellipsoïde de polarisation, dont les axes sont en raison inverse des vitesses, devient alors un cylindre (Lamé, Neumann, Mac-Cullagh) ;

4** Que l'un des axes de Fellipsoïde de polarisation, qui devient un hyperboloïde est imaginaire. Le rayon lumineux vibrant suivant la direction de cet axe est alors évanescent.

C'est là sans doute l'hypothèse à laquelle se serait arrêté Cauchy, s'il était revenu, sur la fin de sa vie, à la théorie de la double réfraction.

Par l'étude des diverses théories de la double réfraction,

nous Verrons que ces hypothèses fondamentales, complétées quelquefois par des hypothèses secondaires, permettent d'expliquer le phénomène de la double réfraction.

14^. Dans les milieux isotropes, la réfraction de la lumière ne donne lieu qu'à un seul rayon réfracté; cherchons ce que devient dans ce cas particulier Tellipsoïde de polarisatiQn.

Nous avons vu (24) que dans les milieux isotropes, la fonction W, se réduit à

Wj = XK + (iH + ve».

Le polynôme K disparaissant des équations du mouvement (88), nous pouvons, sai^ changer les résultats, supposer que K n'entre pas dans l'expression de Wj. Admettons donc que Ton ait X = o et qu'en outre, pour tenir compte ds la Iransvei*salité des vibrations, [x et v soient liées (46) par la relation.

La fonction W* devient alors :

Wj = {X (H — 0>)

ou, en remplaçant dans cette expression H et par l«s valeurs trouvées aux n*' i^ et 20,

Dn déduit facilement de cette nouvelle expression, l'équation suivante pour TellipsoVde de polarisation.

n = !*[(«» + p» + Y») (A» +B» + C») - (A« + BP + Ct)«] =1

LA LUMttRB. 15

c'est Téquation d'un cylindre de révolution tangent à la sphère

suivant la circonférence découpée dans cette sphère par le plan

Aa + Bp -f Gy = 0.

L'ellipsoïde de polarisation se réduisant à un cylindre de révolution, l'un des axes de cet ellipsoïde devient infini, et la vitesse de propagation correspondante, qui est Tinverse de la longueur de cet axe, devient nulle. Les deux autres axes sont égaux au rayon de la sphère. Par suite, on n*a qu'une seule valeur pour la vitesse de propagation de la lumière dans un milieu isotrope, conséquence conforme à l'expérience.