THÉORIE DE FRE8NEL

149. Convaincu, par l'étude des phénomènes d'interférence de la lumière polarisée, de la transversalité des vibrations lumineuses dans Tair, Fresnel tenta en s'appuyant sur ce résultat expérimental d'expliquer les phénomènes de la double réfraction présentés par les cristaux à un axe et à deux axes. En admettant que ces vibrations transversales sont normales au plan de polarisation, il ne tarda pas à trouver une explication de la propagation de la lumière dans les uniasCes dont les conséquences s'accordaient avec les lois expérimentaies connues, en particulier avec la loi de Malus. Par une suite de déductions heureuses, dont on trouve la trace dans son

DÛUBLR RÉFRACTrON -227

premier Mémoire sur la double rérraction (Ij, il parvint k se rendre comple de la marche de la lumière dans les biaxcs.

Ayant vérilié, par de aombreuBes expériences, la conceplion qu'il s'était faîte du phénomène de la double réfraciion, Fresnel en rechercha l'explication mécanique. 11 y parvint, grâce à deux hypothèses fondamentales. Nous verrons plus loin quelles sont ces hypothèses, et comment une analy.se rigoureuse permet d'en déduire les véritables lois de la double réfraction. Haisd'abord nous rappellerons succintlement quelle a été la marche des idées de Fresnel, en renvoyant pour les détails aux œuvres complètes du grand physicien.

150. Explication mécanique de la double réfraction. — Si on imprime h une molécule d'un milieu élastique, des déplacements égaux dans toutes les direclioNs, chacun d'eux donne naissance & une force élastique inversement pruporUoonelle à la racine carrée du rayon vecteur, dirigé suivant le déplacement, d'un certain ellipsoïde, et parallèle à la normale A l'ellipsoïde à l'extrémité de ce rayon vecteur. C'est cet ellipsoïde qu'on appelle ellipsoïde inverse d't-laxCk-tiè, et souvent aussi el/ipsoide d'élasticité Les axes de cet ellipsoïde sont donc tels qu'à un déplacement dirigé suivant l'un d'eux correspond une force élastique de même direction et de sens inverse ; ce sont les axes d'élasticité du milieu.

L'intersection de l'ellipsoïde d'élasticité par nu plan sera une ellipse que nous désii^nerons par E; un déplacement suivant un des axes de cette ellipse donnera naissante à une force élastique qui, en général, ne sera pas dans le plan de l'ellipse E, mais dont la projection sur ce plan sera dirigée

(1) Œuortt eomitliltt di Frunel, L 11. p. 261.

suivant l'axe lui-môme. Si on admet avec Fresnel que celte composante de la force élastique est seule efficace, la vibration résultant du déplacement se propagera dans le milieu en conservant la même direction. La vitesse de propagation qui est en général proportionnelle à la racine carrée de la forc€ agissanté sera proportionnelle à l'axe de Tellipse dirigé suivant le déplacement. Dans le cas où le déplacement considéré est quelconque dans le plan de Tellipse, on peut le regarder comme résultant de deux déplacements dirigés suivant les axes; les axes étant inégaux, les vitesses de propagation seront différentes.

Considérons maintenant une onde plane ; nous admettrons avec Fresnel, que la force élastique développée par les vibrations des molécules de celte onde est proportionnelle à la force élastique résultant du déplacement "d'une seule molécule. Si nous regardons cette onde comme résultant de la superposition de deux ondes planes ayant pour directions de vibrations les axes de Tellipse, ces deux ondes auront d'après ce qui précède des vibrations rectangulaires et des vitesses de propagation différentes. Cette conséquence est donc conforme à Texpérience, qui montre qu'une onde plane polarisée dans un azimuth quelconque se dédouble dans un cristal biréfringent en deux ondes planes distinctes, polarisées à angle droit.

Dans le cas où le plan de Tonde incidente se confond avec une des sections cycliques de Tellipsoïde d'élasticité, les deux vitesses de propagation sont égales, et Tonde ne se dédouble pas; de plus Tonde émergente doit conserver son plan primitif de polarisation. Comme un ellipsoïde à trois axes inégaux possède deux séries de plans cycliques, on devra avoir en gé-

DOUBLE UÉFRACTION 229

néral deux directions de propagation jouissant des propriétés précédentes ; ces directions seront celles des rixes optiques du cristal. Quand rellipsoïde d'élasticité devient de révolution, il n'y a plus qu*une série de sections cycliques, et par suite qu'un seul axe optique : c*est ce qui a lieu pour les cristaux uniaxes.

151. Hypothèses de Fresnel. — Telle est, en résumé, la théorie de Fresnel. Elle est de tous points conforme aux lois expérimentales; mais nous voyons qu'elle repose sur deux hypothèses qui demandent à être examinées de plus près. Ces deux hypothèses peuvent s'énoncer:

1" La force élastique développée par le mouvement d'une onde plane est indépendante de la direction du plan de l'onde, elle ne dépend que de la direction des vibrations des molécules, et elle est proportionnelle à la force élastique développée par une molécule isolée, les autres molécules du plan de Tonde restant en repos.

2^ La seule composante de la force élastique qui soit efficace est la composante parallèle au plan de Tonde.

La première de ces hypothèses, que Fresnel a vainement essayé de justifier, est entièrement arbitraire, mais rien n'empêche de Tadmettre. Il suffit pour cela de supposer que Tellipsoïde de polarisation de Cauchy est invariable et indépendant de la direction du plan de Tonde, c'est-à-dire de a, p et Y» Cela arrivera quand le polynôme II se réduira à un polynôme du ^* degré en A, B, G multiplié par

Cet ellipsoïde fixe de polarisation n*est autre chose?, comme

nous te verrons plus loin, gue l'ellipsoïde d'élasticité de

Fresnel.

Quant à la seconde, elle est une conséquence immédiate de rincompressibililé de l'élher. Nous avons déjà dit (48) que, dnns ses calculs, Fresncl admettait, souvent implicitement, lanl'M que la résistance de l'étlier k la compression était nulli?, tanti^t qu'elle était infinie. Dans ce coure, nous nous Boniines placés jusqu'ici dans la première hypothèse; cherclions maintenant quelles sont les équations du mouvement diins l'hypothèse où ta résistance à la compression est infinie, c'ust-à-dire dans l'hypothèse où le milieu élastique est incompressible.

152. Équations du mouTement dans un milieu incompressible. — L'incompressibilité imposée h l'éther suppose des liaisons entre ses diverses molécules ; nous devons donc uppliquer la théorie des systèmes matériels & liaisons.

L'ipquation exprimant que l'éther est incompressible est H — 0. Si nous considérons un certain volume H de l'élher limité par une surTace S, et si nous désignons par U ht Tonction des forces relative aux forces intérieures et extérieures à R, nous arriverons, en appliquant le principe de ilAlembert et celui des vitesses virtuelles, à l'équalion

su -ffi' (f «5 + fî 8, + g st) +jAm,, = 0,

qui. pour un choix convenable de la fonction arbitraire A, doit être satisfaite identiquement, quels que soient les déplacement.s virtuels t^, Syj, Si^. On peut donc aupposer que l'on a

OY^ •= SÇ = o. Dans ce cas, SU peut, comme nous Tavons déjà vu (29), être remplacé par la somme

• SU =Jp^Zldiù -f V'sWrfT,

Pjr étant la composante suivant Taxe des œ de la pression qui s'exerce sur un élément cita de surface S, et qui résulte des actions des molécules de R' sur celles de R. L'équation précédente, en y faisant Sti = 8Ç = o et en remarquant que Ton a

6 = Ç^ -f- 7|y -|- Ç.' , devient alors

(i) / P,8Wa)-f / 8Wt/T- / p ^8Wt+ / AhlJ,dx = 0,

. / 8Wt/T— / f

dfi

Nous devrons, comme nous Tavons fait au n° 80, transformer les inléffrales du premier membre de manière à ce qu'elles ne contiennent plus de termes en hl^- Q^ns cette transformation nous, obtiendrons des intégrales doubles étendues à la surfaQe S et des intégrales triples étendues au volume R. Les intégrales doubles n'entrant pas dans les équations du mouvement, nous abrégerons la recherche de ces équations en n'introduisant pas ces intégrales dans nos calculs, ce qui Qeut se faire en supposant qu'on étend les intégrales triples à tout Fespace et qu'à Tinfini les forces élastiques sont nulles .

Dans ces conditions, la première intégrale de l'équation précédente disparait, et nous avons pour la valeur de la seconde

SW,(, = -!«*>■£ g.

ta),

Quant à la dernière intégrale nous la transformerons d'une manière analogue en nous appuyant sur Tégalité connue

et en posant

F = ASÇ.

Nous obtiendrons

J j J ^ ^^''^ =ff'^'^'^ -

fff^

ou, puisqpe d'après nos conventions l'intégrale double est nulle,

/.ASÎidT = — /

dx

Par conséquent l'équation (1) peut s'écrire'

OU

Puisqu'elle doit être satisfaite quel que soit l\^ \% coefflcient

DOUBLE RÉntACTIO» Î33

de cette quantité dans rëlémenl dilTérentiel doit éire nul. On a ainsi une des équations du mouvement. Si noue faisons p = 1 et si nous remarquons que nous avons déjà trouvé (8S) l'ëgalité

(Le rfU ~2j dos rfïi ' nous aurons pour les équations du mouvement

dt*~ 2j dx dii dœ' m rf^i Y d rfW, dX

^^' dl'~ 2jdx rf^ii dy '

dx rfCi

158. Propagation d'une onde plane. — Considérons une onde plane parallèle au plan

ouc + j9y -I- T» = 0.

Les composantes des déplacements des molécules de celte onde seront de la forme

ï = AflP, >i = BeP, î: = Ce',

Nous avons vu précédemment (145) que pour des valeurs . (le E, T), i; de cette forme, on a

w. = -l(^)Vn,

rfa! (/ïi ~ ï\ \) d\'

Nous sommes donc conduits pour satisfaire aux équations; du mouvement (2), à poser

H étant une constante indépendante de x^ y^ ^ et /; nous tirons de cette égalité

Si nous portons.les valeurs de ces diverses quantités dans les

équations (2), nous aurons en supprimant le facteur (-y") ^ commun aux deux membres,

Ces trois équations jointes à Téquation de liaison B =: permettront de déterminer H et des quantités proportionnelles à A,B,G. L*équation de liaison devient, quand on y remplace les dérivées partielles de Ç, tj, Ç.par leurs valeurs,

e = ^ e- (A« + Bp + Cy),

d'où

(4) A* 4- Bp -J- Cy = 0.

Cette équation exprime que la vibration a lieu dans le plan

de l*onde ; nous devions nous attendre à cette conséquence, la transversalité des vibrations étant exprimée par Tidentité

Si Ton compare les équations de condition (3) .aux équa* lions (5) du n® (145), on voit qu*elles ne diffèrent de celies*ci que par l'introduction des quantités aH, ^H, yH. Ces quantités sont donc, à un facteur constant près, les composantes de la force de liaison; par suite, les cosinus directeurs de cette force sont proportionnels à a, p, y. La force de liaison est donc normale au plan de Tonde, et cette conséquence mathématique de rincompressibilité de l'éther aurait pu remplacer la seconde des hypothèses de Fresnel.

154. Les valeurs de la vitesse de propagation de Tonde plane s'obtiendront en éliminant A, B, C, H entre les équations (3) et Téquation (4). Si nous admettons avec Fresnel que la force élastique résultant du déplacement d'une onde plane, est indépendante de la direction de Tonde, la fonction des forces Wj ne doit pas dépendre de a, p, y, et, par suite, le polynôme ndoit se réduire à un polynôme homogène du second degré en A, B, C, multiplié par un polynôme homogène du second degré de a, p, y dont la valeur est constante ; ce dernier polynôme ne peut être que a^ + P* -j- Y^- ^" P**®" nanties axes de coordonnées parallèles aux axes de l'ellipsoïde de polarisation II = I, on aura

n = (aA> 4- 6B» -f- cC«) (a» + p^ + /^) = aA« + 6B> + cG>

et par suite,

idïl . idïl ,-, i dïl ^

En portant ces valeurs dans les équations (3) nous obtenons

AV» = ak — «H,

(5) ■ BV» = bk — pH,

CV» = cC — yH; d'où,

Si nous multiplions ces dernières égalités respectivement par a, p, y y et si nous additionnons, nous trouvons

Aa + Bp + Cr = -H(^ + ^^ + ^^),

et si nous tenons compte de inéquation de condition (4), nous avons

2 fit ^2

Cette équation déterminera V; on aura donc deux valeurs pour la vitesse de propagation.

155. Il est facile de trouver une expression de Y en fonction de A, B, G. Il suffit de multiplier sucessivement chacune des équations (5) par A, B et G et d'additionner. On obtient ainsi

(A» + B^ + G») V^ = aA} + ÔB« + cC^

Or les équations (5) jointes à Téquation (4) ne déterminent que des quantités proportionnelles à A, B, G; nous pouvons donc satisfaire à ces équations et par suite aux équations du mouvement par des valeurs de A, B, G satisfaisant à la rela-

DOUBLE BÉFRACTIOM 237

lion

(6) n = <i\' -|- ôB* + cC» = 1.

On a alors

L'interprétât ion géométrique de cette expression est évidente; la vitesse de propagation est inversement proportionnelle à la longueur du rayon vecteur de l'ellipsoïde n^ 1 ayant pour direction celle du déplacement. Il en résulte que l'ellipsoïde

a\' + bB*-j-cG' = i

n'est autre que l'eDipsoTde d'élasticité de Presnel.

156. Nous terminerons l'étude de la théorie de Presnel en faisant remarquer qu'il n'est pas nécessaire de supposer l'éther incompressible et qu'on peut arriver aux mêmes conséquences d'une autre manière. Il surfit de supposer que l'équation de l'ellipsoïde de polarisnlion est d'une forme particulière.

Si nous multiplions la première des équations (5) par a, la seconde par ^, la troisième par y et si nous additionnons, nous obtenons

V» (A* + Bp + Cy) - Aa« -j- Btp -]- CC7 - H ;

et comme d'après la condition (4) le premier membre de cette relation est égal à zéro, nous en tirons

H = Aa« -f- Bip + Gcy.

Admettons que l'équation de l'ellipsoïde de polarisation soit (7) n =(flA^-fôB*+cC') («'+?'+7') — 2H (Aa+Bp+CY) =1 ,

-jrj

OÙ H a pour valeur Texpression précédente. En portant celte valeur de II dans les équations (5) du n° 145 déduites des équations du mouvement dans un milieu élastique non assujetti à des liaisons, nous obtiendrons

AV» = aA — otH — j^ (Aa + Bp + Gy),

(8) BV» = *B - pH - 2| (Aa + Bp 4- G^),

fin

GV = cC- tH -JI (Aa + Bp -f- Cy);

nous déduirons de ces équations en les multipliant respectivement par cL,p,y et additionnant les produits

-(A.+Bp+C,)(.f+ff+,^).

OU, en remplaçant H par sa valeur,

V»(A« + Bp + G-r) =

Une solution de cette équation est

(9) Aa -f- Bp -f- Cy = 0,

équation qui est celle que nous avons déduite de la condition B = o exprimant rincompressibilité. Quand cette équation est satisfaile, les équations (8) se réduisent aux équations (5). Nous retrouvons donc ainsi les équations (4) et (5) obtenues en supposant Téther incompressible.

Une autre conséquence de Téquation (9j est que la normale

au plan de ToDde est perpendiculaire aux directions de vibration satisfaisant aux équations du mouvement. Comme, d*une manière générale, ces vibrations ont pour directions les axes de l'ellipsoïde de polarisation, le plan de Tonde est un plan de symétrie de Tellipsoïde de polarisation déterminé par Téquation (7).

THÉORIE DE GAUCIIY

157. Plans de symétrie optique dans les cristaux biréfringents. — Gauchy admet que dans tout milieu aniso- Irope, Téther qui s'y trouve contenu admet trois plans de symétrie rectangulaires. La forme extérieure d'un certain nombre de substances cristallisées nous montre qu'une telle symétrie existe pour les molécules matérielles dans les cristaux appartenant aux systèmes cubique, hexagonal, rhomboédrique, quaternaire ou orthorhombique; il est donc rationnel d'admettre que dans ces substances la même symétrie se présente pour les molécules d*éther. Mais pour les cristaux des deux derniers systèmes cristallins, le système clinorhombique et le système anortbique, on n'a plus trois plans de symélrie et rien, a priori, ne nous autorise à admettre Texistence de ces trois plans dans Téther. En réalité, Texpérience montre qu'au point de vue optique les cristaux anorthiques et clinorhombiques possèdent trois plans de symétrie; mais ces plans, au lieu d'avoir des positions fixes par rapport aux éléments de symétrie du cristal, ont des directions variables avec la durée de la vibration, c'est-à-dire avec la longueur d'onde de la lumière. Si donc nous admettons, avec Cauchy, l'existence de

trois plans de symétrie rectangulaires dans tout milieu aniso* Irope nous devrons toujours supposer la lumière homogène el nous négligerons ainsi les phénomènes dus à la dispersion, comme nous lavons fait dans Tétude de la théorie de Fresnel, où les plans principaux de Teilipsoïde d'élasticité n'étaient autres que les plans de symétrie optique.

Nous choisirons ces trois plans de symétrie comme plans de coordonnées. Par raison de symétrie, le premier membre II de Téquation de Tellipsoïde de polarisation ne doit pas changer quand on y fait a= — aetAi= — A, ou ^= — p etB= — B, ou enfin y = — y et G = — G. Il en résulte que II ne doit contenir que des termes de la forme suivante,

a^A», pU^ Y>A>, PyBC,

^2^2^ P^BS fB\ ayAC,

a«G*, p^^G», fG\ upAB,

Le nombre de ces termes étant égal à 12, n pourra contenir 12 coefficients numériques arbitraires et Téquation de l'ellipsoïde de polarisation sera de la forme

(1) Aî»(Xa3 + |jLp> + vY2) + B«(X'a« + [iL'p« + vV) +C> {W + fx^'p^ ^ z-'ya) ^ 2pPyBG + 2^Y*GA + 2rapAB= i.

158. Conséquences de l'hypothèse des forces centrales. — Pour Cauchy toutes les forces sont centrales; aussi, dans sa théorie de la double réfraction admet-il implicitement qu'il en est ainsi. Nous avons fait remarquer (17) que dans rhypothèse des forces centrales, le nombre des coefficients

Dumériqucsde In fonction W, se trouvait réduit; nous devons donc nous attendre à avoir dans ce cas un certain nombre de relations cotre les douze coefficients numériques de l'ellipsoïde de polarisation. Cherchons ces relations.

Dans le premier chapitre de cet ouvrage, nous avons vu que si les forces sont centrales, on u

p, = 2(Da:DÏ + DyD^ -j- OzDl), p, = Dï» + Di» + DC",

Dans le cas d'une onde plane l, i), i; étant de la fcirmi)

S = A«', >i = l)«', i: = Ci!f,

noua aurons

D, = ^Be'(.D«+pD!/ + ,Dj), ■ Dt = ?2 Cs' (.D« + pDj, + ,D.) ;

L* LUHikll. t

m THtORIB MATHÉMATIQUE DE LA LUMI&RE

et par conséquent,

f, = 2dP = (^)' .'• (A- + B" + C") (2i«Dx)",

Il est Tacile de constater que dans p„

coef. de «»B» — coef. de 4«p\B = (~\ e*^Ùx*, coef. de a»G' — coef. de 4xtAC = (^V e'^Dx',

et que dans pj,

coef.de a» B» -coef.de 4ipA,B=4 (^\ «"•'(Da^Dy'-Da^DyDarDy)

coef.de*»C»-coef.de4aYAG=4('^)e»''{Dar»D^'-DxD*DxDi)

D&DS pf et pj, la relation

coef. de x»B* — coef. de 4x?AB = coef. de*»C' — coef. de 4«7AC

est donc satisfaite ; par suite elle l'efit dans Wj et aussi dans II. Par permutations circulaires, nous pouvons en déduire deux autres. Les douze coeflicienta numériques du premier membre de l'équation de l'ellipsoïde de polarisation étant liés par trois relations, neuf seulement de ces coefRcienU sont arbitraires, Lets trois relations entre les coefficients de l'équa-

DOUBLE BÉFRACTfOW

tioQ (i) sont:

159. Vibrations quasi-transversales et vibrations qnasi-Iongitndinales. — Lies vibrations d'une onde plane se propageant dans un milieu anisolrope devant être dirigées suivant les axes de l'ellipeoïde de polarisation (147) il faut, pour qu'elles soient rigoureusement transversales ou longitudinales par rapport au pinn de l'onde, que ce plan soit un d<>s plans principaux de l'ellipsoïde de polarisation. Cette condition sera réalisée si la normale au plan de l'onde est un des uxes de l'ellipsoïde, c'est-à-dire si e, p, y satisfont aux équations

^^-2rfÂ' ^^-2rfB'

Tirant de l'équation (I) de l'elUpsoïde de polarisation de Cauchy les valeurs des seconds membres de ces dernières équations et remplaçant ensuite A par «,-6 par p et C par Y, nous obtenons après réduction

s = )«' + rf' + n" + îT' + 'f'.

s = IV + f 'f + vV + pP' + ?■'■

Puur qu« ces équations soient satisfaites quels que soient

244 THÉORII:; MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRK

a, p, y, il faut que les coefficients de a*, p^, y* soient les mêmes dans les trois équations ; on a donc

|x -f r = [a' = fx" -f- p, V -|- q znz ^* -|- p ■=. v''.

Or ces relations jointes aux relations (2) déduites de l'hypothèse des forces centrales exigent que Ton ait

et elles deviennent alors,

Ces dernières relalions conduisent aux égalités

>a» + fxp* + VY=" — pot^ =z X a^ + [x'p» + v y» -< pp*

11 ost facile de s'assurer que ce sont là les conditions auxquelles conduisent Tapplicalion à Téquation (i) des formules connues qui expriment qu'un ellipsoïde est de révolution autour d'un axe ayant pour cosinus directeurs a. p, y. Par conséquent, les vibrations ne peuvent être rigoureusement transversales ou longitudinales que si Teilipsoïde de polarisation est de révolution autour de la normale au plan de l'onde. Une telle conséquence est inadmissible, car les deux ondes planes à vibrations rectangulaires et transversales qui ré-

sullent de l'onde plane incidente aurnienl mAme vitpese de propagation el la double réfraction ne s'expliquerait pas.

Ainsi les hypolh-ses de Gauchy conduisent à admettre qu'une onde plane donne naissance, en te propa^oant dans un milieu nnisotrope, à trois ondes planes dont les directions de vibration ne sont ni normales au plan de l'onde, ni situées ditns ce plan. Uais la biréfringence étant très faible dans toutes lessubslancea jouissant de la dnuble réfraction, les vibrations de deux des ondes planes seront quasi-transwrsates et celles de la troisième, quasi-longitudinales.

L'existence de vibrations quasi-transver.-alcs n'eït pas (absolument contraire à nos connaissances sur la direction des vibrations lumineuses, car si l'expérience nous apprend que dans l'air les vibrationH doivent cire ri(i;oureusement transversales, rien ne nous prouve qu'il en e»>t ainsi à l'intérieur d'un cristal. Quant au rayon dont les vibrations sont quasi-bingitudtnales, Cauchy ne put tout d'abord expliquer pourquoi il n'avait d'existence réelle ; il est probable que s'il avait eu occasion de revenir sur la double réfraction, il eut admis que ce rayon était évanescent.

160. Titeues de propagation des ondes. — \a théorie de Fresnel se trouvant véririèc par les expériences les plus délicates, toute théorie de lu double réfraction doit conduire aux mêmes conséquences que colle de Fn'sriel; en particuli<r on doit arriveraux mOmes v/deurs pour lesvilesscs de propagation des ondes réelles. Ces vitesses étant, dans la théorie de Cauchy, inversement proportionnelles aux axes de l'ellipi^oidc de polarisation et, dans celle dePresneUauxaxes de l'ellipse E d'intersection du piandt-l'onde avec l'ellipsoïde d'élaslicili', il

faut, pour qu'elles aient une même valeur, que l*ellipse E se confonde avec Tune des sections principales de l'ellipsoïde de polarisation. Or sMl en était ainsi, te plan de l'onde, qui contient l'ellipse E, serait un plan principal de l'ellipsoïde de polarisation de Cauchy, ce qui ne peut avoir lieu, comme nous venons de le démontrer. Par conséquent, les vilesses théoriques de propagation des ondes ne peuvent avoir les mêmes valeurs dans les deux Ihéories. Mais en assujettissant, comme le fait Cauchy, Tellipsoïde de polarisation à passer par lellipse E, les différences entre ces valeurs deviennent de r(»rdre des erreurs expérimentales.

En effet, soit

l'équation de Tellipsoïde de polarisation de Cauchy rapporté à ses axes. A cause de la faible biréfringence des cristaux, le plan de l'onde fait un angle infiniment petit avec l'un des plans principaux de cet ellipsoïde, par exemple, avec le plan z = o. En appelant a, p, y les cosinus directeurs de la normale au plan de Tonde, a et ^ seront des infiniment petits. D'après nos conventions, l'iniersection de l'ellipsoïde par lo plan de Tonde est Teilipse E. L'^s inverses des carrés des axes de cette section sont donnés par les racines de l'équation en R,

en négligeant len carrés de at et de p cette équation se réduit à la suivante

dont les racines a ei b sont précisément les inverses des

carrés des deux axes principaux de Tellipsoïde de polarisation situés dans le plan z = o. Par conséquent, ces axes ne diffèrent de ceux de Tellipse E que par des infiniment petits du second ordre; il en sera de même dejleur^ inverses et par suite des valeurs des vitesses de propagation.

161. Équation de Tellipsoïde de polarisation de Cauchy. — En résumé, Gauchy admet l'existence de trois plans de symétrie optique, suppose les forces centrales et assujettit son eitipsoïde de polarisation à passer par Tellipse d'intersection du plan de Tonde et de Tellipsoïde d'élasticité de Fresnel. Cette dernière hypothèse permet de trouver facilement l'équation de l'ellipsoïde de polarisation.

L'équation de Tellipsoïde d'élasticité étant

celle du plan de Tonde

(lA + pB -f yC = 0,

Téquation de l'ellipsoïde passant par l'intersection de ces deux surfaces est de la forme

n = (oA» + ÔB^ + cG«) -f- (aA 4- pB+ Y^)(*i A+P4B-friG)=^ .

Cette équation sera homogène et du second degré par rapport à «, p, 7 et par rapport à A, B, G, en l'écrivant

n = {ah? + «G» 4- cc») (a> 4- p» 4- 1*)

+ («A + PB -H tG) |a,A -j- p,B -f t,G) = 1,

et en admettant que «i, p^, Yi ^^"^ ^^^ fonctions linéaires et homogènes de a, p, y. Les plans de coordonnées étant les

plans de symétrie optique, l'équation précédente ne doit pas changer, quand on change simultanément les signes de a et de A, ou de p et B, ou enOn de y et C. Les fonctions linéaires a^, p,, y^ doivent donc se réduire à

en portant ces valeurs dans inéquation de Tellipsoïde de polarisation, elle devient

(1) n = (a* 4- p« + Y») (aA» ^ 6B> -f cG>) +

-f (aA + PB + yC) [a.oLk + ô.pB + c,yG) = i.

Si nous admettons maintenant que ies forces sont centrales nous aurons entre les coefficients de cette équation, trois relations dont la première est

coef de a^B' — coef de 4apAB = coef deot^C^ — coef de 4ayAC ;

èlie donne :

Les deux autres conduisent à

c — 4 (6, + cj = a — A{b^ -f a^), « — * {Ci + a<) =-- 6 — 4 (c^ + b^).

Ces trois dernières relations peuvent d'ailleurs s'écrire a —T ia^ =• b — \b^ = c — 4C| .

Telles sont les conditions introduites par Thypothèse des forces centrales; il serait facile de montrer que, quand elles sont

DOUBLE RÉFRACTION ii9

remplies, le plan de l'onde n'est pa» un plan de aymétrip de l'ellipsoïde.

162. Si nous abandonnons l'hypothèse des forces centrales, le pian de l'onde pourra devenir un plan de symétrie de l'ellipsoïde de polarisation. 11 Tant pour cela que la perpendiculaire au plan de l'onde soit un axe principal, c'est-à-dire que a, p, y, satisfassent aux équations des directions principales de l'ellipsoïde {!) du paragraphe précédent. La première de ces ëquations est

-|-^«,.(«A+pB-f yC);

en y remplaçant A, B, C par a, p, f elle donne, après simplification,

Les deux autres équations conduiraient à

Pour que ces trois dernières équalionâ se réduisent à une, il faut et'il sulBt que l'on ait

Kn particulier, si on a

le plan de Tonde sera un plan principal de Tellipsoïde de polarisation et les vibrations seront rigoureusement transversales et longitudinales. Les vitesses de propagation des ondes dont les vibrations sont transversales sont inversement proportionnelles aux axes de relJipse d'intersection ; celle de Tonde dont les vibrations sont longitudinales est proportion nelle à Tinverse de Taxe normal à Tonde, c'est-à-dire à la racine carrée de

■s = (c + 1) («* + P* + t') + 1 («i«* + *iP* + c.T*) ;

quantité qui, par suite des relations (2), se réduit à

Or, puisque a^ b c sont positifs, il résulte des relations (2) que iii, 64, C4, sont négatifs; S sera négatif, la vitesse de propagation des vibrations longitudinales est imaginaire, et le rayon longitudinal évanescent.

On retrouve donc ainsi très facilement toutes les conséquences de la théorie de Presnel.