L4-PM+7N = Q
nous aurons
e = é'{T + ,vg).
De cette dernière expression nous tirons,
rf*î Le calcul de la dérivée seconde -r-s donne
par conséquent nous aurons pour Af,
a posant
dx^*^ dy
Enfin nous trouverons pour
gl = -,.Y.W.
équations (t) cette équation devient :
(5)-,.y.pL=iL-f+.>(î^-.T-^)-,.(l.0).
Si on néglige les termes qui contiennent en facteur les puissances de [x, cette équation ae réduit à
169. On peut mettre cette équation et les deux qu'on déduirait de la même manière des deux derniéreséquationsdu mouvement sons une autre forme en introduisant les quaD-
DOUBLE RÉFRACTION i6\
lilés l, m, n défliiies par les relations suivantes rfN rfM
rfL dN ' ~" </* dx
En elTel d nous développons l'équation (6), elle ileviont :
dt* dx* dxdy dûcdz d'L dm d*L rf'N Q
Mise sous celte forme, il est facile de voir que celle fqui tion n'est autre que la suivante
Par conséquent les trois équations du mouvemenl nous donneront le ^oupe d'équations
dn dy'
dz '
dt dx'
dm
flfr. '
dont chacune est formée aveu /, tn, n, de la même inanirri! que ces quantités sont formées avec L, M, N.
363 THËORIB HATHÉHATIQUE DE LA LUMIÈRE
De l'équation (5) nous pouvons tirer une relation entre le» valeurs moyennes des quantités qui y entrent. L, H et N étant des fonctions périodiques, el la valeur moyenne de la dérivée d'une fonction périodique étant nulle, nous aurons
les quantités affectées d'un indice représentant les valeurs moyennes de ces quantités. En remplaçant Q par sa valeur (4) et en écrivant immédiatement les deux équations analogues à la précédente qui s'en déduisent par permutation, on obtient un nouveau groupe de relations :
j 1" [py. = 1.. - . (.L, + pu. + ,N.)
(III) V'[pM].= M,-M»l.. + PM. + ,N.)
( V[pN). = N. -■,(.L. + pM. + ,N.)
Enfin les équations (1) du mouvement nous donnent une dernière relation. Nous en tirons en dérivant respectivement chacune d'elles par rapport hx,if,x et additionnant
^ rf ^,d d^
rf*9 f/*e rf*e
da:* dy* dz*
ou, puisque le second membre est identiquement nul
d d*\ d d}r^ d (Pl dx P dfl + dy f dl* + dz P dl* ~ "■
Or, pour les valeurs de \, i\, C définies par les relations (2), on a
par conséquent l'identité précMente peut s'écrire
OU
•'(£ f^+if^+È''') + W"^ (■'- + ?" + yN = 0.
Si, comme nous l'avons dit, nous négligeons les termes contenant f., nous aurons simplement
Nous avoDS donc pour déterminer V, les ron'clions L, M, N et les valeurs moyennes de ces fonctions, les trois groupes d'é<|uations (I) (II) (III) et l'identité (IV). Au premier abord le problème semble indélerminé, puisque la Tonction f est inconnue. Nous verrons cependant qu'il peut être résolu sî on ne cherche que les quantités susceptibles d'une mesure expérimentale; mais auparavant nous allons établir deux propriétés des fonctions périodiques qui nous permettront de démontrer la périodicité des quantités /, m, n, et de déterminer les valeurs de ces quantités.
170. PropriàtâB des fonctions périodiques. — 1* Si u ùlv sont deux fonctions périodiques de 2, on a la relation suivante entre les valeurs moj'ennes
En elTet, le produit tio de deux fonctions périodiques est une fonction périodique; par conséquent, la valeur moyenne
de la dérivée de ce produit sera nulle. On a donc
ou
["t]+['il=»-
puisque la valeur moyenne d'une somme est égale à la somme des valeurs moyennes des parties qui la composent.
2^ Si p et f sont deux fonctions périodiques de a?, y, z, satisfaisant à
dœ^ dœ^^ dy^ dy^^ dz ^ dz '
la fonction ^ doit se réduire à une constante. En effet, d'après la propriété précédente ou a
dx dx\n
et par conséquent
\J \dx'^ dx^ dy^ dy^ ds^ dz) ]~
=-K(â)"+(DV(â)')].-
Mais par suite de notre hypothèse, le premier membre de cette égalité est égal à et on a
Si p est posilif, la quantité entre crochets est le produit de deux quantités positives et sa valeur moyenne doit être positive ; elle ne peut donc être nulle comme l'exige l'égalité précédente, que ai
fê)'+(|)'+(ây=o,
ce qui exige que chacun des termes soit nul, c'est-à-dire,
dx dy dx
Or, cette suite d'égalités n'est vérifiée que si 9 est une constante.
Remarquons que ai on Tait p = 1 dans la relation qui, par liypolhèse, lie les fonctions p et f , cette relation devient Af = 0. Par conséquent, si une fonction périodique ^ est telle que l'on ait &<p = 0, celle fonction se réduit à une constante.
171. Valeurs d«B qoantitéa 1, m, n. — Le groupe d'équations (11) exprime que
tdx -\- mdy + ndx
est une difTérentielle exacte. Si noua désignons par ^ la fonction dont cette quantité est la difTérentielle, nous aurons
En dérivant la première des équations du groupe (I) par rapport à x, la seconde, par rapport à y, et la troisième, par
366 THÉORIE M^fTHÉMATIQUE DE U LUMIÈRE
rapport àz, puis additionnant, nous obtiendrons
d^^ dy"^ dz" '
ou, en remplaçarnt l, m, n par les expressions précédentes,
/i-Tîa ~ //.il I //^i — acp — u.
ûfcî ' dy^ ' rf^
Montrons que qp est une fonction périodique. L, M, N étant, par hypothèse, des fonctions périodiques, /, w, n seront, d'après les équations (1) des fonctfons périodiques ayant pour valeur moyenne zéro; par conséquent, les dérivées partielles de la fonction (p seront de la forme
•^ = V Asin [ax + ^y + c^ -f c?) = V A sinO,
^=2 Bsin {aœ + by-\-cZ'\'d)=Y^ Bsine,
^ =2 Csin (oo? + ôy + c-a^ -f- rf) =2 Csin 0.
En dérivant la première de ces égalités par rapport à y et la seconde par rapport à a?, nous obtenons deux expressions de
la même quantité , J ; ces deux expressions doivent être
identiques. On a donc identiquement
Va* cos ô = VBa cos 0,
et par conséquent,
kb .= Ba.
Oa obtiendrait d'une manière analogue
Ac= Ca; nous avons donc
abc et par suite,
En intégrant nous aurons
ç — — ^DcoB e + C"
If ef.1 donc une fonction périodique, et puisqu'elle sutiârail à Af ^ 0, elle doit, d'après la propriété des fonctions périodiques précédemment démontrée, se réduire à aneconstanle.il en résulte que l, m, n qui sont les dérivées partielles de f ont pour valeur 0.
172. Recherche des quantitÀB L, M, N. — Puit^quejes quantités /, m, n sont nulles, le groupe d'équalion» (I) nocs donne les relations
^rfM f^E^o ^„£^'o
dy dx ' rfs- dx ' dx d;/ '
qui expriment que
Ldx + Mrfy + Nd3 '
est une diOërentielle exacte. En désignant par } la fiinctinn
968 THÉORIE HATHËNATCQUE DK LA LUHIÈRR
tlonl celle quantité est la difTérenlielle eiacle.nnua auroas (1) Ldx 4- Mrfy 4- Nrfa- — rf|,
équation t[ui peut remplacer les groupes (I) et ',11). Si l'on coonaiiisaîl cette fonction <J< on en déduirait immédiatement les valeurs de L, M, N, qui sont les dérivées partielles de ^ par rapport à a;, 3/, z. Nous allons montrer que, pour des valeurs données des valeurs moyennes L^, Mg, N^ de L, U, N, il existe une fonction <^ satisfaisant aux conditions imposées par les hypothèses de H. Sarrau et qu'il n'en existe qu'une en négligeant la constante d'intégration.
itemarquons que Lg, Mg, N„ étant des constantes,
L^dx + Morfi/ -f- N^c^»,
est une difTérehtielle exacte. Par conséquent on a
(2} (L — L,) rfa; + (M — M„) rfy -(- (N*— NJ di =d-/,
df représentant la diU'érenlieile d'une certaine fonction / qui doit élre périodique. Kn effet, les dérivées partielles L — L^, M. — M,„ N — Ng de cette fonction sont des fonctions périodiques puisque, par hypothèse, L, H, N sont périodiques ; de plus la valeur moyenne de chacuna de ces dérivées est évidemment nulle. La fonction / doit donc être périodique. L'intégration des équations (1) et (2) donne
-}.= L„a;-^M„y-l-Ng2-|-x:
relation qui nous montre que, si à des valeurs données de ['»• M„, Ng correspondent plusieurs fonctions i^, ces fonctions ne peuvent différer entre elles que par la partie périodiqtie f.
DOUBLK RÉFRACTION 3li9
Par consëquent, pour démontrer qu'il ne peut exister qu'une
fonction >]< il nous suffit de démonli'cr qu'il ne. peut > avoir
qu'une seule fonction périodique y.
Pour cette démonstration considérons l'équation (IV). En
y remplaçant L, M, N par ^> -^^ -r^i elle devient :
Si nous admettons qu'il existe deu\ fonctions J,, et 1, satisfaisant à cette équation, la différence L, — ji, devra également y satisfaire. Or cette différence est une fonction périodique égale, d'après ce qui précède, à la différence/, — /^ des parties périodiques des fonctions -j, ett^j ; elle doit donc se réduire à uneconslante. Par conséquent les deux fonctions Ji, et '^^ ne diffèrent que par une constante.
178. HontrouH qu'il existe une foncti'in '!> satisfaisant à la relation (3).
Considérons la fonction
p(Lî + M»-|-N^).
Sa valeur moyenne est Hssenliellemeni positive puisque p est une quantité positive et le second facK-ur une somme de carrés. En outre elle ne peut devenir nulle, car il faudrait que l'on eflt L = M = N := 0, ce qui est impossibliî puisque tes valeurs moyennes L,,, M,,, N,, qid sont données ne sont pas nulles en général. Cette valeur moyenne doit donc passer par un minimum auquel correspond une certaine valeur da la fonction -j^. Si nous donnons ft / nu nccnùaseinent 5/ les accroissements SL, SH, SN de L, U, N siillsfont en vertu des
Tiim"'' «f^THÉMATIOCK DE U tUHIÈRE
■ ■,1- ,icf^ fiiJH'niun's à la relation
^^j r, (L5L+M5M-î-mN>] =0.
Or, la valeur de ■{<
.J, = L„a;-|-M„y-t-Nos4-/.
Par conséquent on aura
hln additionnani ces relations membre à membre on obtient une égalité dont le premier membre est nul d'après la relation (4) ; on a donc
Si nous transformons chacun des termes de celle égalité en nous appuyant sur la priiprii'ti> dt-s ronclions périodiques dé-
monlrée précédemment (170), nous obtiendrons
Celte égalité devant être satisfaite quelle que soit la valeur dnnnée à S/, on doit avoir
Il existe donc une fonction / et par suite, une fonction ^, telles que les valeurs de L, M, N, qui s'en déduisent satisfont à Téquation précédente.
Il est facile de démontrer que si
pour LQ = i, M^ = Nq = on a ^ = ^^, Mo = i, L., = No = ^ = h»
No = i, Mo = Lo = ^ = ^,,
la forme la plus générale de la fonction ^ sera
"^ = Uh + Mo+2 + No^3-
En elTet, puisque ^^^ ^2^ ^3 satisfont à l'équation (5), la fonction } doit y satisfaire également. De plus les v^eurs moyennes des dérivées partielles de ^ sont bien égales à Lq, Mq, N(), car on a
puisque par hypothèse
m.-- [ti- [f].=»-
On verrait de la même manière que les valeurs moyennes des dérivées partielles par rapport à ^ et à ^ sont respectivement Mo et N^.
