Direction des vibrations d'une onde pluie
Si A, B, C sont les composanles de la vibration de Presnel celles de la vibration de .M. Sarrau seront, d'après les relations (6),
Art, BJ, Ce,
Désignons les composantes de la vibratiun de Neumann par A'.B'.C; nous savons qu'il existe entre A,B,G,A',B,C',«,p.Y
DOUBLE RÉFRACTION 275r
les trois relations
Aa + Bp -f- Cy = 0»
A'a + B'p + C'y = 0, AA' + BB' + ce = 0.
Les deux premières expriment que les vibrations de Fresnel etde Neumann sont dans le plan de l'onde, la troisième que ces deux vibrations sont rectangulaires. Elles vont nous permettre de trouver la direction de la vibration diaprés M. Sarrau»
Multiplions les équations (VI) par A^ B', C et additionnons ; nous aurons
V«2aA' = ^oKX' - H^JotA',
équation qui diaprés les relations précédentes se réduit à
A'Aa + B'B* + C'Cc = 0.
Cette dernière relation miMitre que la vibration de M. Sarrau est perpendiculaire à celle de Neumann. Comme en général la vibration de M. Sarrau ne se confond pas en direction avec celle de Fresnel puisque dans les corps anisotropes, a, b, e ont des valeurs différentes, elle n*est pas située dans le plan de Tonde ; nous verrons bientôt qu*eUe est perpendiculaire au rayon lumineux. Dans le cas des corps isotropes, a, ^,e deviennent égaux et la vibration de M. Sarrau ayant alors la même direction que celle de Fresnel se trouve dans le plan de Tonde.
Les théories de Fresnel, de Neumann, de M. Sarrau conduisent donc à la même équation pour la vitesse de propagaûon; elles ne diffèrent que parla direction de la vibration. En outre
THÉonlK MATHÉMATIQCE DE LA LUMIÈRE , les milii-'ux îsolropeâ elles donnenL pour ci^tle directii»» soit es"*' ^^ l'inlerseclion du plan de polarisation et du plan de l'onde, soit celle de la nurmale au plan de polarisalioD conlenue dans le plan de l'onde. Les observations ne pouvant âlre faites qucdaiis l'air, milieu qui jOuit de l'isotropie, l'eipêrience ne pourra indiquer laquelle de ces trois théories doit être délinitivemenl acceptée.
176. Ëguatio&B du mouTement. — Nous avons, à propos de la dispersion, e.tposé les hypothf'ses particulièrcB â M.Boussinesq et nous avons vu que les équations du muuveroent d'une molécule d'éther sont :
etles deuï qui se déduisent de celle-ci 'par permutation. Dans ces équations p est la densité de l'iHher, p, celle de la matière au point considéré ;l, ■i\,!i les composantes du déplacement de la molécule d'éther; 1,,'ri,, K,, cclle^du déplacemenlde la molécule matérielle. Ces dernières quantités doivent dépendre du déplacement et de la vitesse de la molécule d'éther, c'est-à-dire de l, 1], !; et de leurs dérivées. Lorsque nous voulions expliquer la dispersion nous avons dû tenir compte de ces dérivées, mais dans la théorie de la double réfraction od peut les négliger et considérer En ^it Ci comme des fonctions de l, 1), 1^, seulement. D'ailleurs, comme l, i|, ( sont des quantités très petites on peut, avec nne approximatioD très
DOUBLE nÉPRACTION ST7
surftsanle, prendre poiir^,;!), ,);,, les termes du premier degré des développements de ces fonctions par rapport à \, i^, C. Les composaDtes du déplacement d'une molécule matérielle seront alors des Tonctions linéaires des composantesdu déplacement de la molécule d'éther et pour un système d'axes de coordonnées convenablement choisi on aura ,
En substituant ces valenrs dans les équations du mouvement nous obtiendrons
et deux équations analogues. Si nous posons
f + Pi* = J' f + Pi* = j' P + Pi'=;' elles deviendront
a dl' ~ ' <4r'
c dl' ^ dt
177. Propagation d'une onde plane. — Soient i, t), ^ les composantes des vibrations d'une onde plane ; nous pouvons poser
i/8 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Si nous €alciiloDs quelles sont alors les valeurs des quanliiés qui entrent dans les équations (1) nous trouvons
d'où nous déduisons
g = - ^ e'. (.1^ -f pu. -f- yN.)
et
En portant ces valeurs de ^-j-î ^j AÇ dans la première
des équations du mouvement (1), nous obtiendrons une nouvelle équation à laquelle nous joindrons les deux qui 8*en déduisent et nous aurons
^^ = L. - * («L, + pM. + yNo).
i>=M.-p(«Lo + pM, + YN,),
^ = No - Y («Lo + pMo + yNo).
DOUBLE RËrRACTION il9
Ces équalioDS sont précisément celles que Doun avons déduites des hypothèses de H. Sarrau (176) ; la théorie de H. Buussinesq doit donc conduire aux mêmes conséquences que celle de M. Sarrau.
178. Relations entre leBOomposantes des vibrations de Fresnel, de Neumann, de H. Sarrau. — On peut donner aux équations (1) du mouvement une autre forme en posant
dy dx
rfXrfZ
~ dx dœ
La substitution dans u, v, w> des valeurs de X, Y, Z donnée!) par le groupe (I) conduit à
et deux égalités analogues ; par conRéquenI les équations (I)
deviennent
(TU) ^= bu
Nous allons montrer que l, tj, C étant les composantes de la vibration de M. Sarrau, X, Y, Z sont proportionnels à celles de la vibration de Neumann et u^v, to k celles de la vibration de Fresnel.
Si dans X, Y, Z nous remplaçons les dérivées partielles de It T), C par leurs valeurs tirées des relations (2), nous obtenons pour Tune de ces quantités X,
âtV
;p ^^(pNo - yMo ;
et si nous posons,
A' = pN, - yM„ (3) B' = yL, - «N„,
C' = aM^ — PLq,
nous aurons pour X, Y, Z,
X=:?pA'6^ Y = ^B'e^, Z = ^C'6^,
c'est-à-dire que X, Y,Z sont respectivement proportionnels à A', B', G'. Or des relations précédentes (3), nous déduisons im-
DOUBLE RÉFRACTtON S8I
médîittement tes deux suivantes,
A'Lo + B'Mo 4- CN, = o.
La première exprimant qu'un déplacement ayant pour composantes A', B', C appartient au plan de l'onde, Itf seconde que ce déplacement . est perpendiculaire k la vibration de U. Sarrau, A', B', C doivent d'aprëa ce que nous savons sur les directions des vibrations de Neumann et de M. Sarrau, être proportionnels aux composantes de la vibration de Neumann. Il en est également de même de X, Y, Z.
Considérons maintenant u, v, lo. Ces quantités étant formées avec X, Y, Z comme X, Y, Z le sont avec l, ii, ï, nous aurons la valeur de u en remplaçant dans la valeur X précédemment
inbsti-
Nous aurons donc pour u, v, w
= - — e'{^k' - iC) = - ^ e'B,
» = - ^ «'(«B' - pA') = ~ «T..
Ces égaillés monlrenl qui! les quantités m. v. w sont proportionnelles AUX quantités A, B, C définies par les relations
suivantes
A = pC - tB', B = yA' — «C, C = aB' — pA'.
De ces rtlalions on déduit facilement
Aa+Bp + CY = o; AA' + BB' + ce = 0.
Si donc A', B',C' sont proportionnels aux cosinus directeurs de la vibration de Neumann, A, B, C et par suite u, v, w seront proportionnels à ceux de la vibration de Fresnel, ces relations exprimant, la première que la direction A, B, C est dans le plan de Tonde, la seconde que cette direction est normale à la vibration de Neumann.
Dans la ^éorie électro-magnétique de la lumière on re* trouve les trois groupes d'équations (I), (II), (III) ; dans cette
théorie ;i:' ~^» "-t. sont les composantes de la farce électro-
motrice j x, y, z celles de la /brce magnétique et u, v, Wy celles du déplacement électrique,
179. Changements d'axes de coordonnées. — Les équations du mouvement dans les diverses théories de la double réfraction ont été établies en prenant pour axes de coordonnées des axes particuliers, les axes de symétrie optique du milieu. Les équations du mouvement mises sous la forme (III) présentent le grand avantage de se prêter à un changement d*axes et de dDnner facilement les cosinus directeurs de la vibration de U. Sarrau. Les relations qui existent
DOUBLE RËFRACTIOK 2S3
entre lea directions des vibrations de Fresnel, de Neumann et de M. Sarrau étant indépendantes du choix des axes de coordonnées pourvu qu'ils soient rectangulaires, les groupes de relations (I) et (II) permettront toujours de trouver les cosinus directeurs des vibrations de Neumann et de Fresnel quand on connaîtra les composantes \, i], i; de la vibration de M. Sarrau. Cherchons donc ce que deviennent les équations (III) quand on fait un changement d'axes Posons
au* + 6d» -f ew» = F(w, v, to). '
Les équations (III) peuvent alors s'écrire :
^"' dt'~ ïdu df»~ \dv d('~ idic'
L'équation du plan tangent à l'ellipsoïde F = 1 au point P de coordonnées — u, — v, — w est :
et la distance 0T(^. 19] du centreO de l'ellipsoïde à ce plan
Si donc on prend sur la droite OT une longueur OS = ^
. . . , ^ , rfF dF dp . ,
le* coordonnées du point S seront — rf"* ~ 7" ' "" 7~ *^ '
28i THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
à-dire le double de -j-^j -^S -ttj- Le point S se déduisant du
point P par une* construction géométrique indépendante de la direction des
axes, les valeurs de •:;:r» -r?» -77= auront
dt^ dt^ dt^
toujours la même forme quels que soient les axes. Les équations (lY) seront toujours vraies, mais F aura pour expression dans le cas le plus général
En développant les seconds termes des équations (IV), on obtient alors
— = — (atl -}- /b -)- ««?),
d^ix
^ = --{fu + hv + dw),
ce sont les équations de la double réfraction rapportées à des axes quelconques.
SURFACE d'onde. — PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE.
180. Surface d'onde. — Si nous supposons l'éther primitivement au repos et qu'à l'origine des temps on ébranle les molécules contenues dans une sphère de rayon très petit, les
molécules en mouvement au bout de l*unité de temps appartiendront à une certaine surface qu'on appelle surface dConde.
Cette surface est une sphère dans un milieu isotrope. En étendant aux corps non isotropes le principe de Huyghens, on peut trou ver l'équation de la surface d'onde dans ces milieux quand on connaît la vitesse de propagation d*une onde plane. Maison peut faire à cette extension du principe de Huyghens les objections que nous avons signalées dans le cas des isotropes, et pour être rigoureux, il nous faudrait recommencer pour les corps anîsotropes la justification à laquelle nous sommes parvenus dans le chapitre III. Nous nous bornerons à admettre la manière de raisonner de Huyghens sans en chercher la justification.
Considérons une onde plane PP' {fig. 20) passant par un
point d'un milieu q -p^^ -p^ — a'
anisotrope. Au bout de l'unité de temps, cette onde coïncidera avec
le plan QQ' parallèle Fig. 20.
à PP\ et situé à une distance de ce dernier plan égale à la
vitesse de propagation Y de cette onde.
D'autre part, l'ébranlement initial du point mettra en mouvement au bout du temps i les molécules du milieu élastique qui, d'après la définition de la surface d'onde, sont situées sur la surface d'onde S relative au point 0. Or, d'après le principe de Huyghens, le mouvement de l'éther en tout point de l'onde plane QQ' est la résultante des mouvements qu'envoient isolément chacun des points 0,0' de l'onde PP'. Les ondes élémentaires de ces points étant S, S',... il ne peut y
avoir de mouvement au-delà du pian tangent commun QiQj à ces ondes. De plus il y en a certainement au point O4 où ce plan Q|Q' touche la surface S; carQ^ étant extérieur aux autres surfaces d*onde S' etc ; le mouvement envoyé en Q| par le point ne peut-être détruit par le mouvement envoyé par les autres points du plan PP'. et comme le mouvement ne doit avoir lieu que dans le plan QQ', les deux plans QQ' etQ^ Q/ doivent se confondre.
Quelle que soit la direction du plan de Tonde PP' passant par le point 0, la surface d*onde de ce point sera toujours tangente à la position occupée par l'onde plane au bout de Tunité de temps ; par conséquent, elle est Tenveloppe de ces positions.
181. Direction du rayon lumineux. — Voici comment on peufr, en s'appu3'ant sur le principe de Huyghens, déterminer la direction du rayon lumineux. Soit P {fig. ai) la position
du plan de Tonde à un instant quelconque, et PMa nouvelle position du plan de Tonde au bout ^ de Tunité de temps.
Supposons maintenant que le plan P ne soit pas tout entier ébranlé, et que la partie éclairée de ce plan se réduise à un élément AB, ayant Fig. 2t. son centre de gravité en 0, très petit, d'une manière absolue, mais assez grand toutefois, pour qu*on puisse négliger les phénomènes de diffraction.
On obtiendra la portion éclairée du plan F en construisant les surfaces de Tonde qui ont pour centres les divers points de AB, et on cherchera les points de contact de ces surfaces avec le plan P'. Les points ainsi obtenus formeront un élément
plan A' B' ayant son centre de gravité en 0'. La droite 00* est alors le rayon lumineux cherché, d'où la règle suivante :
On obtiendra la direction du rayon lumineux en joignant le point au point de conlaet de la surface de tonde, qui a ton centre en 0, avec un plan tangent parallèle au plan de ronde.
Nous allons appliquer cette régie sans nous inquiéter des , objections soulevées par le principe de HuyghenB. Nous en donnerons d'ailleurs plus loin (189) une démonstration rigou~ reuse.
18S. Soient a, p, y les cosinus directeurs de la normale & une onde plane, V la vitesse de propagation de celte onde, el X, y, X les coordonnées du point où la surface d'onde est ren~ contrée par le rayon lumineux passant par 1 origine. Ce point appartenant au plan occupé par l'onde au bout de l'unité de temps , ses coordonnées satisfont à l'équation
(1) «a! + py + Yï = V;
comme il appartient également à l'enveloppe de ce plan on a aussi
(î) icrfoi + yrfp + xd-i = dV.
Quant & la vitesse de propagation V, nous savons que dans toutes les théories de la double réfruction que nous avons exposées, elle est donnée par l'équalion
qui, par dilTérentiation. donne :
s; "" + rfp "' T jj -
En y remplaçant dW par le premier membre de Tégalité (2) cette équation devient :
D*ailleurs a, p, y sont liés par la relation
qui donne par différentiation
(5) arfa + Pû?p + YcfY = ^•
Les deux relations (4) et (5), satisfaites à la fois |^ur toutes les valeurs que Ton peut donner à do. et d^y doivent être identiques ; nous aurons donc en introduisant une constante arbitraire K
d? , dF -,
Cherchons les valeurs de K et des dérivées partielles qui entrent dans ces équations. Pour cela rappelons que la vitesse de propagation, Y satisfait aux équations
AV> = aA — «H, (I) BV« = 6B — pH,
CV> = cC — yH,
H = Aaa -f B6p 4- CcY.
et qui par ëliminnUon de H nous ont conduit (154) à l'équation (3). Nous aurons
et, en remplaçant V* — a par sa valeur tirée de la première des équations du groupe (I),
Nous trouverons
rfF 2B ?^ 2G
rfp ~ H * rfy ~ H '
de la même manière.
Pour la dérivée par rapport & V nous aurons
dV Zl (V — a)' Zl (V> — ai< ~
Or nous avons vu (ISS) que si le point A. B, V, est sur Tellipsoïde d'élasticité, on a
