Construction géométrique de la surface d'onde

— Considérons une onde plane et prenons pour plan de figure un plan perpendiculaire au plan d*onde et passant par la vibration de Fresnel. Cette vibration sera représenlée par la droite OF {fiff, ââ). La vibration de Neumann, située dans le plan Fig. 22. de Tonde et perpendiculain» à

celle de Fresnel, sera normale au plan de la figure et se projettera au point 0. Le rayon lumineux et la vibration de M. Sarrau tous deux perpendiculaires à la vibration de Neumann, seront situés dans le plan du tableau ; soient OS, la vibration de M. Sarrau, OM, le rayon lumineux, droites qui sont rectan* gulaires entre elles. La position du plan de Tonde au bout de l'unité de temps est représentée par sa trace PM.

DOUBLE RÉIfltACTION S95

Le plan tangent h l'ellipsoïde d'élasticité ax* -|- btf* -f- et* =: i au point F de fînordonnées A, B, G a pour équation aAa; + iBy + cC* = I.

Les cosinus directeurs de la normale à ce plan sont proportionnels à «A, 6B, eC, c'eal-à-dire aux composantes de la vibration de M. Sarrau. Ce plan langent sera donc perpendiculaire au plan de la figure sur laquelle il se trouvera représenté par la perpendiculaire FQ sur OS. — ,Ce résultat peut être obtenu d'une autre manière. La droite OF est un axe de^'ellipse d'intersection E de l'ellipsoïde d'élasticité par le plan de l'onde; par conséquent, la tangente en F à cette ellipse est perpendiculaire & OF, et, comme en outre elle est située dans le plan de l'onde, perpendiculaire au plan de la' figure, elle est elle-même perpendiculaire à ce dernier plan. Le plan tangent & l'ellipsiiïde en F contenant cette tangente sera aussi perpendiculaire au plan de la f)ti;ure.

Considérons la sphère décrite du point comme centre avec un rayon égal à l'unité. Si nous prenons sur la droite OQ une longueur OS = ^ le point S e»t le pôle du plan FQ par rapport & cette sphère. Par conséquent, le lieu du point S quand le point F décrit l'ellipsoïde d'élasticité sera l'ellipsoïde polaire réciproque de l'ellipsoïde d'élasticité, lïet etlip- BOÏde réciproque a donc pour équation

Menons le plan tangent en S à cet ellipsoïde; il a pour pOle

le point F; par conséquent» il est perpendiculaire au rayon OF,* et il coupe le plan de la figure suivant ST. Nous allons en déduire que la droite OS est un axe de l'ellipse d*interseclion Ë' de l'ellipsoïde réciproque S par un plan perpendiculaire au rayon lumineux. En effet, la tangente en S à cette ellipse est située dans le plan de section et dans le plan tangent à Tellipsoïde ; ces deux plans étant perpendiculaires au plan de la figure, la tangente est aussi perpendiculaire à ce dernier plan, et, par suite, au rayon vecteur OS qui doit alors être un axe.

Montrons maintenant que Ton a OM = OS. Les droites OM et OP étant respectivement perpendiculaires à OS et OF, les angles FOS et POM sont égaux. Nous aurons donc, puisque OP, vitesse de propagation normale d'une onde plane, est égal à Tin verse de Taxe OF de Tellipse E,

cos Ô OF cos 6 D*autre part le triangle OFQ noqs donn^

os = JL= «

OQ OF cos

Nous avons donc bien OM = OS.

Le point M étant un point de la surface d'onde, nous pourrons construire cette surface de la manière suivante ! Couper Tellipsoïde réciproque S par un plan quelconque, et porter sur la normale OM à ce plan des longueurs égales aux axes de Tellipse E' d'intersection.

186. Sections de U surface d'onde par les pM^ns de S]^étrie. — Prenons pour plans de figure Tun des trois

plans de symétrie optique du milieu. Ces plans étant If.n plana principaux de l'ellipsoïde d'élasticité seront également les plans principaux de l'ellipsoïde réciproque S. Un plan perpendiculaire au plan de la ligure et passant par le centre de cet ellipsoïde contiendra donc un de ses axes, celui qui est perpendiculaire au pian de Qgure.

Si OS (/tff. 23} est le plan de seclion considéré, on aura les deux points correspondants de la sur- r\g' si.

face d'onde en portant sur la normale OH & ce plan la Ion* gueur OH := OS et la longueur OH' égale à l'axe projeté en 0. Les deux points H et U' Font situés dans le plan delà ligure, et on obtiendra l'intersection de la surface 'd'onde par ce plan en faisant tourner le plan OS autour de la normale passant par 0. L'un des axes des sections ainsi obtenues étant l'axe projeté en 0, la longueur OH' aéra constante et le point H' décrira un cercle. Le point M décrira une ellipse qui n'est autre que l'ellipse AB d'intersection de l'ellipsoïde réciproque par le plan de la ligure, ellipse dont on a fait tourner les axes de 90-.

L'intersection de la surface d'onde par chacun desplans de symétrie se compose donc d'un cercle et d'une ellipse. La connaissance de ces intersections Fig. 2t, permet de se rendre asse^ bien compte de la forme de la surface d'onde. Si nous supposons que l'on ait a>6>c la partie

â98 THÉORIE MATHÉMATrQUE DE LA LUMIÈRE

de la surface d*onde comprise dans le trièdre où les trois coordonnées d'un point sont positives aura la forme représentée par la figure 23.

Dans le cas particulier de cristaux à un axe l'ellipsoïde d'élasticité est de révolution ; Tellipsoïde réciproque, et par suite la surface d*onde le sont également. L'intersection decette surface par deux des plans de symétrie se compose à^une ellipse et d'un cercle; l'intersection par le troisième plan de symétrie est formée de deux cercles. — La surface d'onde se compose alors d'une sphère et d'un ellipsoïde de ré^ volution tangents.

187. Ombilics et plans tangents singuliers de la surface d'onde. — Considérons un plan cyclique de l'ellipsoïde réciproque. Tous les rayons vecteurs de cette section seront des axes égaux; par conséquent, à un. plan cyclique oe correspond qu*un seul point M de la surface d'onde. Mais, à chaque direction OS d'un axe correspond un plan tangent normal au plan passant par OS et OM ; nous aurons donc une infinité de plans tangents en M. G*est un pomt conique. Gomme à chaque section cyclique correspondent deux points coniques, nous aurons quatre points coniques réels et huit points coniques imaginaires. On appelle encore ces points les ombilics de la surface d'onde.

Le cône formé par les plans tangents à la surface d'onde en un point conique est du second degré. En effet, il ne peut être du troisième degré, car la droite passant par deux de ces points rencontrerait la surface en six points, ce qui ne peut avoir lieu puisque cette surface est du quatrième degré.

La considération des plans cyclique^ de rellipsoïded'élasti-

DOUBLE RÉrHACTlOH ^^

cité conduit & une nouvelle propriété intéressante de là sur- Tace d'onde.

Si nous supposons que le plan de l'onde seit un plan cyclique, tout rayon du cercle d'intersection sera une direction de la vibration deFresnel. A chacune de ces directions correspond un plan tan^nl PM à la surface d'onde; mais comme J ' OV^

confondent. Leurs poinlH de contact avec la Burrace d'onde ne se confondent cependant pas, car à clinque direction de OF correspond une direction particulière de OS et, par suite, de OM. Par conséquent, le plan PU correspondant à une section circulaire de l'ellipsoïde touche la surface d'onde en une inHnilëde poiuls distînctH. Ces points forment une courbe qui doit être du second degré, car, en général, la section d'une surface par un plan tangent singulier se composant de deux courbes confondues, chacune de ces courbes est d'un degré égal & la moitié du degré de la surface. D'ailleurs, cette courbe du second degré est un cercle. Rn effet, les directions asymptotiques de la surface sont données par les termes du plus haut degré Sic'Saa:' ; deux de ces directions sont celles d'un cercle, et comme pour les plans lang'mts singuliers les directions asymptotiques doivent se confondre deux à deux, puisque les courbes d'intersection se confondent, les quatre directions asymptotiques sont celles de cercles. La courbe d'intersection de la surface par un plan langent singulier se compose donc de deux cercles confondus. Il y aura quatre de ces plans tangents singuliers qui seront réels, un ellipsoïde ayant deux directions de sections cycliques k chacune desquelles correi^pondent deux plans tangents singuliers.

■*" •• "Tis

Bien d'autres propriétés de la surface d*onde ont été étudiées par divers mathématiciens. En particulier, nous citerons les procédés élégants indiquéb par M. Mannheim pour trouver les rayons de courbure et tracer les lignes de courbure de la surface d'onde. Mais nous n'insisterons pas sur ces propriétés qui n'ont aucun intérêt au point de vue de l'Optique. Seule, la considération des ombilics et des plans tangents singuliers a une grande importance. On sait, en effet, qu'elle a conduit Hamilton à la découverte de la répraction conique intérieure et de la rèfracdon conique extérieure que Uoyd a pu mettre en évidence par des expériences délicates.