PROPAGATION RECFILIGNG DE LA LUMIÈRE
188. Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu isotrope. — Nous avons déterminé plus haut(181) la direction du rayon lumineux dans un milieu cristallisé en nous appuyant sur le principe de Huyghens ; mais ce prin- €ipe, quelles que soient l'utilité et l'importance de son rôle en optique, prête à un grand nombre d'objections dont nous avons cherché à donner une idée dans la première partie do cours.
Aussi ne sera-t-il pas inutile d'expliquer ici comment on peut déterminer la direction du rayon lumineux dans un milieu isotrope ou anisotrope en s'affranchissant du principe de Huyghens et des difficultés sans nombre qu*il soulève. Nous commencerons par le cas le plus simple qui est celui des milieux isotropes, et nous écrirons les équations du mouvement
DOUBLE RÉPRACnON transversal sous la forme habituelle
ChercboDS à satisfaire & ces équations en faisant:
Si nous regardions A, B, G comme des constantes, nous retomberions sur la ttiéorie ordinaire de la propagation d'une unde plane indéfinie. Hais alors la question de la direction du rayon lumineux ne se poserait pas, puisque tout l'espace se trouverait également éclairé. Nous devons donc supposer qu'une portion seulement de l'éther est agitée par des ondulations et par conséquent que A, B, C sont des fondions de 1», y, X et (.
Nous prendrons une unité de longueur comparable ft nos unités habituelles, de telle sorleque X sera une longueur 1res
petite et -r- une quantité infiniment grande ; (si dans l'expo-
gilion de la théorie de M. Sarrau, nous avons regardé celte quantité comme très petite c'est que nous avions pris une
30â THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
unité de longueur comparable à la distance qui sépare deux molécules malérielles). Au contraire nous supposerons que les fonctions À, B, C et leurs dérivées des divers ordres sont finies.
Les considérations qui vont suivre ne s'appliquent donc pas, du moins sans modification, au cas où les fonctions A, B, G sont discontinues et où par conséquent leurs dérivées ne sont pas finies ; dans ce cas, en effet, il se produit des phénomènes de diffraction et il y a déviation du rayon lumineux.
Substituons les valeurs (1) dans la première des équations
du mouvement, il viendra, en divisant par — c** -ry»
Nous négligerons les termes en X^; si nous remarquons que pV^ = i , nous verrons que les termes indépendants de X disparaissent ; les deux membres contiendront alors le fac-
teur T— Si nous faisons disparaître ce facteur, il restera sim-
plement
On trouverait de même
Si nous substituons les valeurs (1) dans Téquation 8 i= et que nous la divisions par e^, il viendra
^iit .d\ .dB .dC ^
Cette équation nous montre que C est un infiniment petit du même ordre que X. Quant à l'équation (2), elle a pour intégrale générale :
A = fonction arbitraire de œ, y et z — V^
Ainsi la valeur de A au temps t et au point dont les coordonnées sont Xy y, et z -{- V/, sera la même qu*au temps et au point a?, y, z. Si à Torigine des temps il n*y a de lumière sensible qu*à Tintérieur d'unepetile sphère ayant pour centre le point x^y, z; k l'époque t, il n'y aura de lumière sensible qu*à l'intérieur d'une petite sphère du même rayon ayant pour centre le point a?, y et ^ 4~ ^^* ^^ d'autres termes, la lumière se sera propagée dans la direction de l'axe des z^ c'est-à-dire perpendiculairement au plan de l'onde.
Ainsi dans un milieu isotrope le rayon lumineux est normal au plan de fonde.
189. Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu anisotrope. — Passons au cas d'un milieu cristallisé, et prenons par exemple les équations de M. Sarrau :
adt^~^ dx
^ ' b dt^ ^ dy
crf^>""^ dz' Cherchons à y satisfaire en posant
P = ^ ^aa? + py H^ Y^ - vA, L| M, N étant des fonctions de x, y^ z et /.
Si L, M et N devaient être des constantes Lq, Mq, N^, ces constantes et V devraient satisfaire aux équations
(l)^ = L„-«H, I^=Mo-pH, I!iîfi=N.-YH.
H = aLo + pM, + yNo- Posons alors :
et cherchons à déterminer les trois fonctions f, g et h.
Pour obtenir ces trois fonctions, substituons dans les équations du mouvement à la place deÇ, tj, Ci leurs valeurs, c'està-dire,
S = (V + ^) e^, 71 = (Mo/"+ A) é^, Ç = N^e**
Nous obtiendrons ainsi trois équations différentielles entre /*, g et h. Diaprés leur mode de formation ces équations seront :
1° Linéaires et homogènes par rapport kf^ g et A et à leurs dérivées partielles des deux premiers ordres ;
â° A coefficients constants, après que Ton aura supprimé le facteur commun e^. •
Éliminons maintenant </ et A entre ces trois équations ; il restera une équation différentielle unique qui définira /*.
Cette équation sera encore linéaire, homogène et à coefficients constants ; mais elle sera d'ordre supérieur au second.
EUe ne contiendra pas f; car les équations du mouvement doivent être satisfaites quand on fait
Elle ne changera pas quand on multipliera à lafoisX, x, y^ x
et ( par un mémefacteur, ce qui revienlà changer simultanément et dans un même rapport l'umléde longueur et celle de temps. Soit:
un terme quelconque du premier membre de notre équation ; A est une constante indépendante de X et D" /" une des dérivées partielles d'ordre m Acf. Quand on changera \x, y,i et t en kk, Aic, ky, As, et kt, ce terme se trouvera multiplié par A'"". Pour que l'équation ne change pas, i) faut que m — p ait mémo valeur pour tous les termes de l'équation. Nous multiplierons notre équation par une puissance de X telle que m — p soit égal à 1.
Alors les coefOcienls des dérivées du premier ordre ne contiendront pas X ; ceux des dérivées du sei^ond ordre contiendnmtlefacteurX; ceux desdérivéesdulroisiëmeordrecontiendront le facteur X* ; el ainsi de suite. Hais 2 étant très petit, nous pouvons négliger les termes qui contiennent ce fadeur ; il ne nous restera plus alors que les dérivées du premier ontre et l'équation en f s'écrira
|i, [i', |j,* étant des constantes.
L'intégrale générale de cette équation sera :
/■ = fonction arbitraire de ir — \>-', y — ft't et z — yTi,
ce qui veut dire que les cosinus directeurs du rayon lumineux sont proportionnels à [i, ft et ix' et que la vitesse de propagation, estimée non pas normalement au plan de l'unde, mnis dans la direction du rayon est ^jx' -|- |*'* + (*'*■
L4 LUMitU. 20
On pourrait déterminer [a' (x' et ^l" en efiectuant tous les calculs que nous venons dlndiquer ; mais cela est inutile. En effet les équations du mouvement devront être satisfaites si l'on fait /'= e*-^*, d'où ^ el A = constante très petite X e*-^* et
Lq, Mo et Nq étant desconstantes très peu différentes de Lq» M^ et Nq. On aura alors
E=:Loe^ -n^Mie^ ÇrzNiéî»*';
Or nous avons vu que si l, 7|, C sont égaux à des constantes multipliées par e^ et que l'on pose :
X étant choisi de telle façon que a* + P* -f- t* = i*;i>n devra avoir
Nous désignerons comme nous l'avons déjà fait plus haut le premier membre de cette équation par
Comme a* -}" P^ + 7^ = * î ^^us aurons également
DOUBLE KÉPRACnON 307
La relation (3) étant homogène en «, p, t et V subsistera encore quand on aura multiplié & la fois i, ^, t ^t V par un même Tacleur. Elle est donc encore vraie, même quand on ne EDppose plus que la somme a* -{- p* -^ y* soit égale à I .
Ainsi la relation (3) devra être satisfaite quand on y remplacera a, p, T et V par les coefficients de a;, y, i- et — { dans P', c'est-à-<tire par
On aura donc
S/i'+èï+^' + r
Gela est vrai avec le degré d'approximation adopté plus haut, c'est-A dire en supposant que X est très petit ; on a alors en négligeant X*
[C'.+è)"+?'+''r=[(-'+f+'''+iT'=
et
Il reste donc en tenant compte des relations (3) et (4):
rfF, edF dF
dp+^dW = ^^dW'
dF „dF__ dF dy '^^ rfV~"^ dy'
Si Ton compare ces équations aux équations (6)etdu§(182), on verra que le point dont les coordonnées sont (x, [l et il' n*est autre que le point que nous avons appelé 0' dans ce paragraphe (voir figure 21) et dont les coordonnées étaient désignées par œ, y et z.
Comme les cosinus directeurs du rayon lumineux sont d'après ce que nous venons de voir proportionnels h fx, [l et (x'^ ; la droite 00' de la figure 24 est bien parallèle au rayon lumineux; ce qui est conforme au résultat où nous avait conduits Tapplication du principe de Huyghens.
