Application du principe des forces vives
Pour pouvoir appliquer le principe des forces vives, il faut supposer qu*une portion seulement de Téther est ébranlée;
car si toot Tespace était éclairé, la force vive totale serait infinie et Tapplication du principe deviendrait illusoire.
Nous supposerons qu'à l'origine des temps l'éther ébranlé se trouve renFermé dans un parallélipipède rectangle CDEF(/?^.26)
limité par deux plans parallèles au plan d'incidence, par deux plans parallèles au plan de l'onde incidente et par deux plans perpendiculaires aux quatre premiers. Nous supposerons de plus que les dimensions de ce parallélipipède soient très grandes par rapport à une longueur d'onde de façon à n*avoir pas à tenir compte des phénomènes de diffraction.
Que deviendra l'ébranlement de l'éther au bout d'un temps t. L'ébranlement parti d'un point m du parallélipipède CDEF cheminera d'abord dans la direction du rayon incident jusqu'à sa rencontre en [jl avec le plan de séparation ; là il se divisera en deux parties, l'une ira de fien m en suivant le rayon réfléchi, l'autre de [x en m" en suivant le rayon réfracté. Il marchera
d^ailleurs avec une vitesse Y le long de mfx et de [/.m' et avec une vitesse V le long de [im*^ de sorte qu'on devra avoir :
OU
(7) n . [xm^ = fxm'.
Ainsi au temps da lumière partie du parallélipipède GDËF occupera deux parallélipipèdes : le premier CD'Ë'F^ occupé par la lumière réfléchie aura deux faces parallèles au plan d'incidence et deux faces parallèles à Tonde réfléchie.
Le second CiyE^F', occupé par la lumière réfractée aura deux faces parallèles au plan d'incidence et deux faces parallèles à Tonde réfractée. Sur la figure ces trois parallélipipèdes sont représentés en prenant pour plan du tableau le plan d'incidence.
Soient g^, q^ et q^ les masses d'éther contenues dans ces trois parallélipipèdes. La valeur moyenne de Ténergie d'une masse d'éther ébranlée/par exemple par la lumière incidente» sera proportionnelle d'une part à cette masse, d'autre part à Af 4" B? + CJ ; le théorème des forces vives s'écrira donc :
y. (AÎ+BÎ-i-GÎ) = ?, (Ai + BI + CJ) 4- 7, (Ai4-B|+Cî)
, Il est clair que q^^=^q^\ il faut chercher le rapport de 9$ à Çi . Les volumes de nos parallélipipèdes seront entre eux comme leurs sections faites par le plan dlncidence, c'est-à-dire comme les rectangles GDRF, C'D'Ë'F'. Gomme d'autre part la densité dans le second milieu est n' fois plus grande que dans le premier, on aura
23— aC^E;'C^ y, "" ^ CE CD
On a, en vertu de Téquaiion (7) :
d'où
= - CE' = i- CE.
D'autre part,
CTf = AB cosr, CD = AB cos t ,
d*où
£j cosr sini cosr a^Ya
^1 cost sinr cos» y^ ot.
Le principe des forces vives peut dont; s'écrire ïi(AÎ + BÎ+CÎ-AÎ-Bî-Cî)=:ï^(AÎ+B|+CÎ)
Nous pouvons décomposer le rayon incident en deux autres, Tun polarisé dans le plan d'incidence, l'autre perpendiculairement à ce plan.
Pour le premier A^, C|, A,, C,, A,, G, sont nuls.
Pour le second B|, B^ et B, sont nuls.
Le principe des forces vives doit être vrai pour chacun de ces rayons séparément de sorte que Téquation des forces vives se décompose en deux :
(8) i^ (Bî - Bîj = J» Bî,
(9) f^ (A? - Ai 4- Cî - CJ) = p (Ai + Cî)
Les équations (5), (6), (8) et (9) suffisent pour déterminer
Ajf B,, Cj et A,, Bj, C, quand on connatl A^,B| et C|.
20S. Premières conséquences. — Si nous divisons Féquaiion (8) par la seconde des équations (5) il vient :
(10) li (B, - B,) = Ï3 B,.
Si dans Féquation (9) nous remplaçons G| , G^ et G, par leurs valeurs tirées de (6) il vient :
ou en divisant par la première équation (5), ou
(11) ^^.ziAj = Ai..
Les deux équations (8) et (9) peuvent donc être remplacées
par les équations (10) et (11) qui ont l'avantage d*étre linéaires.
L*équation (10) peut s'écrire (si l'on se rappelle que
(12) Ml+Bp^Bp,
A| Aj • Ag
De même l'équation (11) peut s'écrire OU en tenant compte des équations (6)
Cette équation et Téquation (12) s^écriront plus symétriquement (en se rappelant que les p sont nuls)
A| Aj Aj
A| Aj Aj
auxquelles on peut ajouter la suivante :
A| Aj Aj
que Ton déduit de la seconde équation (5) en observant que
ftj tt* QL«|
les p sont nuls et que r^ = r* = r^
A| A2 Aj
Sous cette forme symétrique il est aisé de voir quelle est la signification des équations (13). Nous avons, en effet, en nous rappelant que les quantités que nous avions appelées co sont supposées nulles,
Ç, = A,co8P,,
Cl =C<cosP<;
d'où
x = __IiA,9,nP..
dx X|
de sorte que :
fj-ij =»--■". ^-^^^^
Ainsi, la seconde équation (13) peut s'écrire : dz dx"^ dz dx dz dx
Elle signifie que -^ T" ^^^ ^^^ fonction continue. De
même les deux autres équations (13) signifient que —* — '-r-
rtT il
et 3 -r-* sont des fonctions continues. Ces conditions
dy dz
peuvent remplacer le principe des forces vives.
Je dis que -7~ est aussi une fonction continue. En effet ^ et i)
sont continues et il est aisé de voir qu*il en est de même
de -T- et -H' Mais à cause de la transversalité des vibrations, dx dy
on doit avoir dans les deux milieux
dx dy*^ dz
Donc -r- est aussi continu.
dz
Ainsi dans les hypothèses de Fresnel non seulement \ et t},
d^ rfÇ cfn dl dX. dn . dX, , ,
mais encore -; "T'j — "t' 3 "j^et-^ sont des
dz dx dx dy dy dz az
fonctions continues.
204. Théorème de Mac-CuUag. -- Multiplions la seconde équation (5) par li et ajoutons la à (10) de façon à éliminer B^, il viendra
(14) 2B,ï^-B3(p- + ïa) = 0.
Éliminons de même A^ entre la première équation (5) et Téquation (11), il viendra :
2A7ll+îl^-A,(ïi + îi + ï» + ï»)=0.
