OU

La comparaison des équations (14) et (15) donne :

A| B, C^ Aj B, C,

=: 0, du plus symétriquement

*4 Pi T«

Cette équation prouve que le rayon incident, la vibration incidente et la vibration réfractée sont dans un même plan.

En d*autre8 termes la vibration incidente est, en direction êeuiement, )a projection delà vibration réfractée sur Tonde incidente.

On démontrerait de même que la vibration réfléchie est, en direction, la projection de la vibration réfractée sur Tonde réfléchie.

205. Loi de Bro'wster. — Supposons que le rayon réfléchi soit perpendiculaire au rayon réfracté, c*est-à-dire que Tonde réfléchie soit perpendiculaire à Tonde réfractée.

Toute droite située sur le plan de Tonde réfractée se projettera sur le plan de Tonde réfléchie suivant la droite d'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire suivant Taxe des y.

Quelle que soit donc la direction de la vibration réfractée et par conséquent aussi la direction de la vibration incidente, la vibration réfléchie sera parallèle à Taxe des y.

En d'autres termes, quel que soitle plan de polarisation du rayon incident, le rayon réfléchi sera entièrement polarisé

334 THÉORIE MATHÉMATIQUfi DE LA LUMIÈRE

dans le plan d*incldence. Il en sera donc encore de même quand la lumière incidente sera naturelle.

206. Réflexion totale* — Si le second milieu est moins réfringent que le premier, n est plus petit que 1; il peut arriver alors que a, soit plus grand que i et par conséquent que ys soit imaginaire.

L'angle de réfraction est alors imaginaire, la lumière ne pouvant se transmettre dans le second milieu se réfléchit toute entière et Ton dit alors qu'il y a réflexion totale. Dans ce cas les formules de Fresnel deviennent illusoires, car le rap-

port j^ par exemple est imaginaire. Nous avons vu que dans

le cas ordinaire Fresnel avait introduit l'hypothèse que les deux rayons incident et réfléchi avaient même phase et que

Dans le cas de la réflexion totale ses formules lui donnent pour Y^ une valeur imaginaire de la forme

coscp -[- isin^ .

Fresnel admet, par une sorte dlntuition heureuse que le module dé cette expression imaginaire, c'est-à-dire 1 repré-

sente la véritable valeur du rapport -r^ et que l'argument de

celte même expression c'est-à-dire «p représente la différence de phase tù^ — (o^ qu'il avait jusque là supposée nulle.

Il a été évidemment conduit à cette hypothèse hardie par deux expériences antérieures qui lui avaient prouvé que si le rayon incident est polarisé rectilignement, le rayon réfléchi, quia d'ailleurs même intensité, est polarisé elliptiquement.

Quoi qull en soit, sa hardiesse a été pleinement justifiée par rexpérience.

207. Objections contre la théorie de Fresnel. — L'analyse qui précède a été entre les mains de Fresnel un admirable instrument de découverte; c'eslà ce point de vue qu'il faut la considérer sans y chercher une rigueur qui ne saurait s'y trouver. Les théoriciens y ont fait un certain nombre d'objections plus ou moins sérieuses que nous devons réfuter si nous voulons établir la parfaite concordance de la théorie des ondes avec l'expérience.

1* La restriction apportée au principe de la continuité en ce qui concerne les composantes normales parait assez arbitraire ;

2* L'hypothèse de (i>| = b>| que nous avons introduite plus haut ne parait justifiée au premier abord par aucune raison théorique ;

3« La formule de la réflexion totale, confirmée par l'expérience, parait due plutôt à un heureux hasard qu'à un raisonnement rigoureux ;

4* Si l'élasticité de l'éther est constante, sa densité devra être proportionnelle au carré de l'indice de réfraction, mais comme cet indice dépend de la longueur d'onde, cette formule conduit pour la densité de l'éther à des valeurs difierentes suivant la couleur de la lumière que Ton considère ;

5* Enfin la théorie précédente ne parait pas, pour une raison analogue, susceptible d'être étendue aux milieux cristallisés puisque l'indice de réfraction n'est pas une constante. Si donc la densité est regardée comme une constante,. elle ne saurait être proportionnelle au carré de cet indice.

208. Réfutation de ces objections. — Nous allons chercher à faire une autre exposition de la théorie de Fresnél, 8ans nous écarter de la pensée de son auteur, mais en nous mettant à Tabri de ces objections.

Nous écrirons les équations du mouvement sous la forme

a=s^A.-av

p^=e(A^ rfyy

? dT* = \^^ -d^y

Nous regarderons t i:omme constant et p comme variable; nous pourrons alors choisir les unités de façon que e = 1. Nous imaginerons ensuite que Tespace est partagé en trois régions; Tune occupée par le premier milieu, et où p pourra être regardé comme constant; Tautre occupée par le second milieu et où p aura une valeur constante diflTérente de la première ; enfin entre ces deux régions s^étendra une troisième région intermédiaire que nous appellerons coucJie de passage et où p variera très rapidement depuis sa première valeur constante jusqu'à la seconde. L'épaisseur de cette couche de passage sera finie, mais très petite par rapport à une longueur d'onde.

Si la surface de séparation est le plan des œy^ la couche de passage sera limitée par deux plans extrêmement voisins z = o, ^ =r ^, parallèles au plan de séparation.

Alors la densité p est une fonction de ^seulement, qui reste constante de^ = — oo à^=o, varie très rapidement de ^ = oàj7 = ^et prend de nouveau une valeur constante différente de la première àtz=hk:i^=-\-cc.

L'existence d'une pareille couche de passage semblera plus naturelle que l'hypothèse d'un changement brusque dans la nature du milieu, elle nous débarrasse d'ailleurs de toutes les difficultés relatives au principe de continuité.

Ceci posé, cherchons à satisfaire aux équations du mouvement en faisant :

X, Y et Z étant des fonctions imaginaires de z seulement. Alors It 7f, C seront aussi des fonctions imaginaires dont les parties réelles représenteront les véritables déplacement des molécules d'étber, conformément à la convention faite plus haut.

Les équations du mouvement deviennent alors

— p6»X = X" — wZ',

— p6»Z = — a»Z — iaX',

en représentant par des lettrea accentuées les dérivées de X, Y, Z, par rapport à z.

Dans chacun des deux milieux la densité p est constante et on trouve pour l'intégrale de ces équations

Z = Ce'^Vpb^-a* ^ C'ô-'*Vp*'-

Appelons c la valeur de Vp^^ — «^ dans le premier milieu et c la valeur de ce même radical dans le second milieu.

LA LUMIKftB. 22

Alors nous aurons en comparant nos notations à celles que nous avons employées plus haut :

^Tca. Stck* âira* a = ^ = * = «)

Al Aa a*

/» — — i I ■ /•' — Itf,

A| Aj

L'expression de X que nous venons de trouver se com> *po8e de deux termes; dans le premier milieu, le terme en e'^' correspond au rayon incident et le terme en 6 -'^'correspond au rayon réfléchi ; dans le second milieu le terme e'^'* correspondra au rayon réfracté; le terme en c'^'^ne correspondra à rien et son coefficient devra être nul. Dans le premier milieu on aura donc

Z = C«'« + C'ô-'", et dans le second milieu

X = AV*•^ Y = BV<=•^ z = cre^^*

Si nous comparons nos notations actuelles à celles que nous avons employées plus haut, nous trouverons :

p^ =z aa;'\-cz -{-bl, P^ = aa? — c^ -|- bt,

P, = oa? -f- ^'-^ +• ^^' A = A^e^i B = B^e^t' C = C/*"''

A'' = Aje**»» B'' = B^e^*' . C = C,«'«»'

dy dx ' dz dx ' dx dy '

les équations du moureinent deviennent

rf'E dv dw

^ dt*~ dx df

ri*TH 0^ ^

P rfï» ~da;~ dj'

^ ^du do **<*» ~ dy dat'

du . dt)

8 T- et -;- SI

az as

et comme la couche de passage est extrêmement mince, les valeurs de u et o des deux cAtég de celte couche seront extrêmement peu différentes. Dune u et v sont des Tonctions continues et par conséquent Unies.

On a

Ainsi les dérivées de E et de ti sont finies et par conséquent E et 1) sont continues. Gomme on a d'autre part

on voit que to est aussi continue.

Si l'on ajoute les trois équations du mouvement après les

avoir différentiées respectivement par rapport èi x, y et z \ il vient :

IM) .îLiezil .!(£?)

dx '^ dy ^ dx ~ '

ce qui nous donne ici ,

dT = "«P^-

Cela prouve d'abord que pC est une fonction continue et comme p est discontinu, C ne pourra être continu à moins d'être nul.

De plus l étant continu il en résulte que

1 d (pQ p dz

est continu. Mais dans les deux milieux p est constant

dp = 0, de sorte que cette expression se réduit à -j—

Ainsi, par le calcul rigoureux qui précède nous retrouvons les mêmes résultats auxquels une intuition heureuse avait

conduit Presnel : les fonctions ï, tj, u, r, w et — sont continues, tandis que C est discontinu.

En écrivant ces conditions, il vient

Ac — Ca 4- A'c — C'a = AV — (Ta. Bc - B'c = Vc', auxquelles il faut joindre les conditions de transveraalité : Aa + Ce = A'a — Ce = A'a — Ce' = 0.

RÉFLEXtON 341

Les conditions (15) sufHseat pour la solution complète du problème. Nous n'avons donc pas fait intervenir lé principe des forces vives ; ce principe est cependant certainement applicable dans le cas qui nous occupe; en effet les équations du mouvement dont nous nous sommes servis sont celles que nous avons obtenues dans le chapitre premier en supposant l'existence d'une fonction des forces: ce qui implique le principe des forces vives,

209. Réflexion totale. — Laquantitéc= -^qui se rapporte au rayon incident est toujours réelle; la quantité c' est aussi toujours réelle si le premier milieu est moins réfringent que le second. Hais, si n < 1, la quantité c' n'est réelle que s! l'angle d'incidence est assez petit. Si l'angle d'incidence dépasse une certaine limite, c' devient imaginaire et il y a réflexion totale.

Tant que c' est réel, les équations (15) nous donnent pour les rapports des quantités A, B, C, etc. des valeurs réelles; ce qui revient à dire qu'elles ont toutes même argument ou que toutes les quantités eu sont égales entre elles. Si l'on suppose que l'origine du temps ait été choisie de telle façon que u, soit nul, les neuf u seront nuls. Ainsi se trouve justifiée l'hypothèse de Fresnel.

Il n'en est plus de même quand c' est imaginaire et qu'il y a réflexion totale ; les rapports des coeflicients A, B, C, etc. dfviendront imaginaires. On verrait que les rapports

ABC ont pour module l'unité, ce qui prouve que l'intensité du rayon

34â THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

réfléchi est la même que f^eWe du rayon incident. Les argament8 de ces rapports représentent les différences dephaxe do rayon réfléchi et du rayon incident. Ainsi une analyse rigoureuse, que remploi des exponentielles imaginaires a rendue très simple, nous conduit au même résultat que Tinduction hardie de Fresnel.

. Quels seront alors les mouvements de l'éther dans le second milieu. Nous trouverons par exemple :

Yj = partie réelle de B''c'<«*+*'+'^''>

Comme e' est imaginaire nous pourrons poser

c — ih

d*où, en supposant qne Torigine du temps ait été choisie de façon que l'argument de B'" soit nul,

Yj = F'e-**cos(aa? -f- bt)

Nous reconnaissons ainsi qu'une certaine quantité de lumière pénètre dans le second milieu et que, si elle n'est pas observable, c'estÀ cause de la présence du facteur e "^^ qui est très rapidement décroissant quand z croit. Il en résulte que rintensité de la lumière réfractée n*est sensible qu'à une faible distance du plan de séparation, distance du même ordre de grandeur qu'une longueur d'onde.

On est parvenu à déceler la présence de cette lumière réfractée (1) par l'artifice suivant. Deux prismes de verre sont séparés par une lame d'air extrêmement mince ; cette lame est comprise entre deux faces parallèles AB et A'B', apparte-

(1) QciifCKB, Pogg. Ann.

Dant l'une au premier priKoie, Tautre au second. Un rayon lumineux traverse le premier prisme et vient rencontrer la face AB sous un angle d'incidence supt^rieur à l'angle limite ; la lumière réfractée pénètre danslalame d'air et si cette lame est assez mince pour que la lumière atteigne la face A'B' avant de s'être éteinte, elle pénétre dans le second prisme et se comporte ensuite régulièrement, de sorte que l'on peut observer la lumière transmise à travers les deux prismes et la lame

d'air.

Cette expérience parait avoir été faite par Fresnel (1) ; elle a été répétée plus récemment et complétée par M. Quincke. Le phénomène est tout à fait analogue à celui des anneaux colorés ; mais on n'observe pas alors les vives colorations que présentent d'ordinaire les lames minces. Il est aisé de se rendre compte pourquoi ; en effet- dans la théorie ordinaire des an^ neaux colorés, on trouve que Tintensité des rayons dont la

la longueur d'onde est X, est proportionnelle à sin y' ^ (désignant l'épaisseur de la lame et a un coefficient qui dépend de la direction du rayon lumineux. Pour certaines valeurs de X, ce sinus s'annule, ce qui fait disparaître les rayons de certaines couleurs et produit une vive coloration de la lumière. Ici a est imaginaire et les sinus ordinaires sont remplacés par des sinus hyperboliques qui ne peuvent s'annuler que si ^ = o. Les vives colorations n'apparaîtront donc pas.

Nous n'insisterons pas sur cette expérience ; nous nous bornerons à ajouter que les résultats concordent avec la théorie d'une façon assez satisfaisante, mais qu'il subsiste néanmoins de légères différences qui paraissent s'expliquer»

(1) FRBBNtL (?) cité par Vfrdbt, Leçons cToptique physique, t. II.

344 THÉORIE MATHÉHATIQUB DE LA LUHIÈRR

parce que. l'épaisseur de la cot^^ e^epo^^o^e ne serait pas tout à fait négligeable devant une longueur d'onde.

210. Objection relative à la dispersion. — Les considérations qui précèdent nous paraissent réfuter complètement les trois premières objections faites à la théorie de Fresnel. Nous reviendrons sur la cinquième à propos de la réflexion cristalline ; mais nous devons parler ici de la quatrième qui est relative à la dispersion. Pour la réfuter, il faut se reporter à ce que nous avons dit des théories de la dispersion.

Prenons par exemple la dernière des théories que nous avons exposées. Dans cette théorie, on considère l'action mutuelle des molécules d'éther et des molécules matérielles, et les équations du mouvement s'écrivent en appelant (, tj, C les composantes du déplacement d'une molécule d'éther, So^ii, C| celles du déplacement d'une molécule matérielle, p la densité de l'éther, p| celle de la matière, M un coefficient assez grand :

'^ = ^1 — 3r 4- M (yi, — -n), p< -M-=M(n— »!,),

PÂ5'='^i-^-t-«>i^4-^i. P<-^

pS^ = ^':-^+"('^'-'^)' p,^ = Mfî:-U

M, p et p^ doivent être regardés comme des fonctions de z qui, constantes dans chacun des deux milieux, varient très rapidement dans Ht couche de passage.

Supposons qu'on cherche à satisfaire à ces équations, en

faisant

on a alors d'où

Posons

p'=p+îf^i

il viendra, en remplaçant l^ par sa valeur dans la première des équations du mouvement

et de même

do!

p*.? = AÇ - f .

Tout se passe donc comme si chacun des deux milieux était homogène et avait pour densité p'. Mais cette densité fictive p' dépend de 6, c'est-à-dire de la longueur d'onde. Tout se passe donc comme si la densité de Téther n*élait pas la même pour

les différentes coulçurs, et la quatrième objection se trouve écartée.

La théorie de Briot, qui explique la dispersion en admettant que p n^est pas une constante mais une fonction périodique permet aussi de réfuter sans peine cette objection. Gela ne serait pas aussi aisé si on admettait la théorie de Caucby.