THÉORIE DE NEUMANN ET MAC CULLAGH
211. Neumann et Mac Gullagh ont fondé sur d^s hypothèses toutes contraires à celles de Fresnel, une théorie qui est cependant également confirmée par Texpériehce. Dans Tétude de cette théorie, nous adopterons un mode d'exposition qui diffère beaucoup de celui des inventeurs, mais qui fait mieux ressortir la véritable raison de ce fait étrange.
Soient S, i^, C les projections sur les trois axes du déplacement dû à la propagation d^une onde plane quelconque, de sorte que l, t), C soient les parties réelles de
Ae«*, Be«*, Ce^,
ou
P = %(our + Py+y^-VO.
Si Ton pose
dl^ dfi di dl^ dti dl
dy dz dz dx dx dy
ri, ceiw seront les parties réelles de
A'c«*, We^, Ce^
ou
A' = Ç (pC - yB), B' = ?f ' (yA - aC), C = ^ (aB - pA).
Si Ton regarde ti, v, 10 comme les projections sur les trois axes du déplacement dû à la propagation d'une seconde onde plane, il y aura entre les deux mouvements vibratoires représentés respectivement. par l, -vj, ( et par u^ v, to les relations suivantes :
1® Les deux vibrations (Ç, tj, Ç) et (u, v, to) seront toutes deux dans le plan de Tonde (qui sera le même pour les deux mouvements vibratoires); mais elles seront pek*pendiculaires Tune à Tautre.
2® II y a entre les deux vibrations une différence de phase
égale à Q (à cause du facteur t qui entre dans A", B' et C).
3*^ L'amplitude de la vibration (u, v, w) sera & celle de la vibration (Ç, yj, Ç) dans le rapport y*
212. Revenons maintenant à la théorie de Fresnel que nous venons d*exposer; nous avons vu que si Ton appelle Ç|, tji, C^ ; ^29 ''la» Ca! ^sf 'Ha* ^a* ^^^ composantes du déplacement dû respectivement à la lumière incidente, à la lumière réfléchie, et à la lumière réfractée, des considérations théoriques ont conduit Fresdel à établir entre ces neuf quantités certaines relations que Texpérience a confirmées.
On peut former alors les quantités u^^v^^w^; u^v,, fo^;
U3, V3, 1^73 ; de la façon suivante :
Wj 3=1 — -^ — — "•> ' dy , dz
^9 difi*
^ — — ■ ij«
Supposons avec Neuroann et Mac CuUagh que la vibration est parallèle au plan de polarisation, perpendiculaire par conséquent à la vibration de Fresnel.
Supposons en même temps que les trois composantes des vibrations incidente, réfléchie et réfractée sont respectivement u^, v^, w^; ti^, t?2, to^; u^, v^, w^ ces quantités étant liées par les mêmes relations que dans la théorie de Fresnel.
Nous allons montrer d*abord que ces hypothèses ne sont pas contredites par Texpérience, c*e&t à-dire que les résultats vérifiables expérimentalement sont les mêmes que dans la théorie de Fresnel.
£n effet, les vibrations (^, t^, Ç) et (u, o, w) sont perpendiculaires entre elles, d'où il suit que la direction des vibrations incidente, réfléchie et réfractée est dans la théorie de Neumann perpendiculaire à ce qu'elle est dans la théorie de Fresnel; mais, comme nous supposons en même temps que le plan de polarisation est parallèle à la vibration et non perpendiculaire comme Timaginait Fresnel, le plan de polarisation qui est seul accessible à Texpérience, est le même dans les deux théories opposées.
Soient I^, I^, I, les intensités des lumières incidente, réflé* chie et réfractée dans la théorie de Fresnel ; soient I/', I^, I3 les intensités des mêmes lumières dans la théorie de Neumann. Soient X|, X, et X3 les longueurs d'onde correspondante.
Gomme les intensités sont proportionnelles aux carrés des amplitudes, on aura
Comme X| = X, = nX, on aura
îi — 11, Ik— n^h.
Ainsi le rapport de l'intensité de la lumière réfléchie à celle de la lumière incidente est la même dans les deux théories, de sorte que les expériences qui déterminent ce rapport ne permettent pas non plus de décider entre elles.
Le rapport rf est au contraire différent de rapport r' ; mais
si nous supposons par exemple que le premier milieu soit l'air et le second le verre, on pourra observer l'intensité de la lumière incidente, mais on n'aura aucun moyen d'aller observer dans le verre celle de la lumière réfractée; il faudra attendre, pour que cette observation devienne possible, que cette lumière soit sortie du verre par une nouvelle réfraction pour pénétrer de nouveau dans Tair. Son intensité sera devenue alors I4 dans la théorie de Fresnel, I4 dans celle de Neumann et puisque la longueur d'onde sera de nouveau égale à X|, (longueur d'onde dans l'air) on aura :
de sorte qu'il viendra encore
De même les expériences d'interférence telles que celle des trois miroirs ne peuvent permettre de donner la préférence à Tune des deux théories. Si deux rayons interfèrent de façon à se détruire c*est que les valeurs de l, t), et Ç relatives à ces deux raj ons sont respectivement égales et de signe contraire. Il en sera alors évidemment de même des valeurs de :
(H^ d-n c?$ c?Ç dji di
dy dz dz dx dx dy
En résumé hs deux théories sont toutes deux également bien conformes à t expérience,
213. Principe de continuité. - Nous avons vu, (203) que u^v^w sont des fonctions continues. Comme ces fonctions représentent dans la nouvelle théorie les composantes du déplace-
ment, nous voyons que ces trois composantes sont continues. Le principe de continuité nest donc plus ici soumis à la même restriction que dans la théorie de Fresnel où les composantes parallèles au plan de séparation devaient être continues tandis que la composante normale pouvait être discontinue.
Cette condition de continuité s'exprime en écrivant que pour ^ 1= o, on a
(1) M| 4- Ua = W3; î?< -f- t?2 = »8 ; îr< -j- w?2 = t<?,.
214. Densité de Téther. — Voyons quelle doit être dans la nouvelle théorie la densité de Téther. Reportons-nous à ce que nous avons dit plus haut au sujet de Tapplication du principe des forces vives (202). Ce principe doit être applicable aussi bien dans Thyputhèse de Neumann que dans celle de Fresnel. Soient t?^, i?2 et t?3 les volumes de trois parallélipipèdes d*étber GDEF,
C'D'E'P' el CïïlSV. Soient p« et f^ les densités de l'ëther admises par Fresnel dans le premier et le second milieu ; pi et pâ ce que doivent être ces mêmes denNÏtés dans Itt nouvelle théorie ; on aura d'après l'une des hypothèses de Fresnel
Le [wiDdpe des forces vives s'écrira dans la théorie de Fresnel (î) f, (t.,1, - 1.,1,) = p,r,l„
. et dans celle de Neumann
(3) p; («,!.' -f,Ii) = p|r.li.
L'équation (2) donne
d'où
ou enfin en comparant à (3) :
Ainsi dans la théorie de Neumann, la densité de Célker doit étrt regardée comme constante et son élasticité comme seule variable.
En résumé les hypothèses que nous avons faites équivalent aus suivantes qui sont celles qui ont été énoncées par Neumann et Mac Cullagh :
1* La vibration est perpendiculaire au plan de polarisation ;
2° La densité de l'éther est constante ;
3* Les trois composantes du déplacement sont des fonctions continues .
215. Théorème de Mac CuUagh. — Soit [fig, 27} un point du plan de séparation; menons par ce point trois droites Oly OR' et OR dont ks projections sur les trois axes soient
R respectivement, w^ , t?^ , tt?| ; Mj, »j, «?, ;
ï'a» ^'a* '^a- ^^^ ^^^^^ droites représenteront en grandeur et direction, dans la théorie de Neumann, les vi- \ / ^y^ brations incidente, réfléchie et ré- ^^.^.^St: fractée. D'après les équations (1), OR
\ est la somme géométrique de 01 et
\ ^ de OR', c'est-à-dire la diagonale du
Pig 27. parall<Mogramme construit sur 01 et
OR'. Les trois droites 01, OR et OR' sont donc dans un même plan.
Cherchons à déterminer ce plan. Soient OF et OF' les directions des vibrations incidente et réfractée dans la théorie de Fresnel. Le plan lOF est celui de Tonde incidente, le plan R'OF celui de Tonde réfractée. D'après un théorème démontré plus haut (204), OFestla projection de OF' sur Tonde incidente. Les deux plans, 10F et F'OF sont donc rectangulaires ; de plus Tangle IFO est droit; donc 01 est perpendiculaire au plan FOF' et par conséquent à OF' ; OF' perpendiculaire à la fois à 01 et à OR est perpendiculaire au plan ROL Donc le plan ROI et le plan de Tonde réfractée sont rectangulaires. Donc U flan des trois vibrations 01, OR et OR passe par le rayon réfracté.
Ceci permet de résoudre le problème suivant: connaissant en grandeur et direction la vibration incidente 01 (dans la théorie de Neumann) construire les vibrations réfléchie et réfractée.
Par 01 et le rayon réfracté faisons passer un plan qui coupe Tonde réfléchie suivant une certaine droite OR' et Tonde réfractée suivant uiie droite OR. Par le point I menons une parallèle à OR' jusqu*à sa rencontre en R avec OR, puis par le point R une parallèle à OIjusqu'àsa rencontre enR' avec OR*. Nous avons ainsi construit en grandeur et direction les droites OR et OR'.
Si Ton veut énoncer le théorème sans faire intervenir la direction de la vibration, il faut dire:
Le plan de polarisation du rayon réfracté coupe le plan de polarisation du rayon incident suivant une droite perpendicur laire au rayon incident et le plan de polarisation du rayon réfléchi suivant une droite perpendiculaire au rayon réfléchi.
THÉORIE DE CÂUGHY (i)
216. Cauchy prend pour point de départ le principe de continuité auquel il n'apporte aucune restriction ; non seulement S, Y) et 2^ doivent être des fonctions continues, mais il en est de
même des dérivées -r-? "7^ ®^^' (^^ ^'^° prend pour plan
des xy le plan de séparation).
Il serait impossible desatisfaireà ces conditions si Ton n'admettait qu'à côté des vibrations transversales susceptibles d*étre observées, il se propage également des vibrations longitudinale^ inaccessibles à l'expérience. Nous ne devons donc
(i^ Nouveaux exercices de mathématiques, Comptes rendus^ passim 1836 et 1839. Œuvres complètes t première série, t. IV, passim et pHnclpalemeut page 112 tqq. première série, t. V, page 111.
LA LUyiÊRB. 23
pas admettre que la vitesse de propagation des rayons lungitudinamc soit nulle; elle ne peut non plus être réelle, sans quoi une portion de la force vive due à la lumière incidente serait absorbée par ces ondes longitudinales et Texpérience n'indique aucune trace d'une semblable perte de force vive.
Nous sommes donc conduits à supposer que cette vitesse de propagation est imaginaire ; elle sera par exemple û dansle premier milieu et te' dans le second. D'ailleurs c et e' seront très petits. De cette façon les rayons longitudinaux serolft évanescents (53) et n'absorberont pas de force vive.
Soient Ç|, t^i, Ç^ les composantes du déplacement dû aux vibrations transversales, Ç,, t)^» Cs ^^^ composantes du déplacement dû aux vibrations longitudinales, on aura :
5 = ç* + Ça 1 Tl = "ni + "na » î = ^4 + ïj >
cherchons à satisfaire aux conditions en posant comme plus haut (210)
les X, les Y et les Z étant des fonctions de z seulement. Nous aurons, dans le premier milieu , c'est-à-dire pour
Xg = Ae+ *% Ya = Be+ *^ Z, = Ce+ *^ ; et dans le second milieu, c'est-à-dire pour ^ >
Xj = A!e-^'', Ya = B'e-'^S Z, = CéT-*».
Écrivons que la vitesse de propagation dans le premier milieu est û, il viendra
On trouve de même
Nous TOyiuis d'abord que t et t' étant très petits, A et A' seront 1res grands. Par conséquent les facteurs e^' (dans le premier milieu où 7 <o) et e'-*'-(dans le second milieu où 7> o) seront très petits à moins que la valeur absolue de z ne soit très petite. Il n'y aura donc de lumière longitudinale sensible que dans le voisinage immédiat du plan de séparation ce qui explique pourquoi elle est ioobservableet n'absorbe pas de force vive.
Ecrivons que la vibration (S,, t),. Ï,) est longitudinale; nous aurons :
^ ' dy dz dz dx dx dy
Cela montre aue -r* , est continu ; il en est de même
^ dy dz
de — — T*- puisque d'après le principe de Gaucliy, X, ij, C
sont continus ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Donc
-r-^ ?* est continu, de même que -p' H-' ■ r*'
dy dz ^ dz dx dx dy
Ainsi ai l'on ne considère que la lumière transversale observable les quantités que nous avons appelées plus haut u, v, u? sont continues comme dans la tbéorie de Fresnel.
Les conditions (2) peuvent aussi s'écrire.
a — ih a -\- ih'
Donc YI2 = et comme tj est continu, 7)| devra Tétre aussi comme dans la théorie de Fresnel.
Il vient ensuite dans le premier milieu
dx * dz et dans le second milieu
ou, ce qui revient au même, dans le premier milieu
« "È+""{è+1ifhO'
et dans le second
La vibration (Sf^'v^oCi) étant transversale on aura dans les deux milieux
, ^ I -T-t =: 0. (tj^ est indépendant de y) ;
et comme ;7""f"T"®8t continu, cela signiûe que j^-Ht^ ®^^ également continu.
Si donc nous appelons II et ÇJ les valeurs de l^ et de Cs dans le premier milieu, mais infiniment près du plan, de séparation, et de même l^ et Ci les valeurs. dç Ç, et Cj d^os le second milieu et infiniment près du plan de séparation, nous aurons
et les équations (3) et (4) donneront
^^' dœ dx~b*''* *'\dx^dz)
Si la vitesse de propagation des vibrations longitudinales était la même dans tous les milieux, on aurait c = 6''^; le se-
cond membre de Tégalité (5) serait nul et --r^ serait continu.
Il en en résulterait que -j^ et par conséquent l^ seraient
des fonctions continues et il y aurait concordance comptèle avec la théorie de Fresnel.
Mais il est plus naturel de supposer t^t; dans ce cas,
comme c et t sont tous deux très petits, le second membre de (5) n'est plus nul mais seulement très petit et la concordance avec la théorie de Fresnel n*est plus qu'approximative. En particulier le rayon réfléchi devrait présenter des traces de polarisation elliptique.
La théorie de Gauchy a paru un instant recevoir une confirmation éclatante quand les expériences de Jamin ont décelé Texistence de ces traces de polarisation elliptique que le géomètre français avait prévues. Mais de nouvelles expé-
riences du même physicien ont cessé de concorder avec les {^révisions de Gauctiy.
Soient û, te^ le^ les vitesses de la lumière longitudinale dans i'air^ dai^s Teau et dans le verre ; les observations de Jamin sur la réfraction de l'air dans le verre devraient fournir le
rapport -7^ ; de même en observant la réfraction de Tair dans
Teau, puis de l'eau dans le verre, on devrait trouver les rap-
ports -7 et -^•
lie premier rapport devrait être égal au produit des deux autres; il n'en est rien.
: Aussi la théorie de Gauchy estrelle aujourd'hui abandonnée et préfôre-t-on expliquer les phénomènes observés par Jamin en admettant que Tépaisseur de la couche de passage (208)
n'est pas négligeable devant une longueur d'onde.
