RÉFLEXION CRISTALLINS
Il y a deux théories principales de la réflexion cristalline; la première est une extension de la théorie de Neumann et Mac-Guliagh; la seconde est celle de M. Sarrau qui peut élre regardée comme une généralisation des théories de Gauchy et de Fresnel.
THÉORIE DE MÂC-CULLAGH (I)
217. Hypothèses fondamentales. •— Mac-CuUagh et Neumann admettent les mêmes hypothèses que dans le cas de la réflexion vitreuse :
1* La vibration est parallèle au plan de polarisation; 2^ L'élasticité de l'éther est variable et sa densité constante; 3* Le principe des forces vives est applicable; 4* Les trois composantes du déplacement (, ir| et C sont des fonctions continues.
218. Équations du mouvement lumineux. — Rappelons d*abord quelles sont les équations de la double réfraction rapportées à des axes quelconques (179).
Soient X, Y, Z les trois composantes de la vibration de M. Sarrau; (, y[, 2^ celles de la vibration de Neumann, u, v, to
(1) Mac-CuIlagliyTrausactioua dtf TAcadémm royale dlrlaode, vol. XVIII; Journal de LiouvilU^ première série, lome Vil, page 217; Neumann, Jourval de LiouvHle, première série, tome VII, pnge 369, traducllon d*un mémoire lu & TAcadémie de Berlin, le 7 décembre 1835.
celles de la vibration de Fresnel, il vieodra :
dy dz dy dz^ dt* du
dX dZ __^ ^ rf^Y <AV^
"^ - d:^ " d^' "^ - rf^ ■" rfa?' dt^ -^ dv
.dY__dX^ \^—^ __£?!, ^*Z rfWj, rfa? c/y' cfa; dy dt^ dw
2W2 = au^ + ô»« + CM?» + levw + 2/V<m? + "iguv.
Si Ton observe qu'en tenant compte des expressions de u et de V, on a
il viendra
d^l d rf»Z rf rf^Y rf g?W> flg dWa dt^ "^ rfy rf/2 rf^ dt^ ~ dy d^'y dz rfÇ^ '
ou .
On en déduirait par symétrie deux équations analogues
Gela posé, nous allons reprendre Thypothèse de la couche de passage que nous avons exposée plus haut (208) et montrer que cette hypothèse est équivalente à celle de Neumann.
Dans la théorie de la double réfraction on regarde les coefficients de Wj comme des constantes. Mais ici nous n'avons plus affaire à un milieu homogène. Nous devons donc regarder ces coefHcients a, 6, c, e, f, g comme variables.
Nous considérerons toujours deux milieux séparés [lar une couche de passage extrêmement mince; cette couche de passage aéra hmitée par deux plans parallèles, & savoir par le plan des xy et par un plan infiniment voisin. Dans chacun des deux milieux les coefficients de Wj conserveront des valeurs constantes; dans la couche de passage au contraire ils varieront irèa rapidement. Remarquons de plus que, si l'un deR plans qui limitent la couche de passage est pris pour plan des xy, ces coefHcients seront fonctions de t seulement. On aura alors par exemple :
■^ = gu-\-bv-\-e«>.
„ „ „ dz^ dx^ dx^ ,/t
Je dis maintenant que les équations que je viens d'écrire équivalent aux hypothèses de Neumann et Hac-CuUagh.
219. Densité de l'éther. — En premier lieu elles entraînent le principe des forces vives et la constance de la densité de l'éther. En efTet nous avons vu dans te chapitre 1" que
sipestladensitéderélberetque j Vi^d-: repriisente la fonction
des forces, l'équation du mouvement s'écrira
m rf'E d rfW, d rfW, d rfW,
^^> ^ dt*~ dx rfÇ; dy (^; dz rfîi ■
Cette équation devient identique à l'équation (1) si l'on y fait p=l.
L'existence d*une fonction des forces entraîne le principe des forces vives. On est obligé d'ailleurs, pour identifier les équations (1) et (2), de supposer p=i, c'est-àrdire de regarder la densité de Téther comme constante^ ce qui est précisément rhypolhèse de Neumann.
220. Principe de continuité. — En second lieu les équations du mouvement telles que nous venons de les écrire entraînent la continuité de (, tj, C qui constitue la seconde hypothèse de Neumann.
En effet, supposons qu'on cherche à satisfaire aux équations du mouvement en faisant comme nous l'avons fait plusieurs fois dans la théorie de la réflexion vitreuse ,
X^, Yf , Z^. $i, 7|4, Co ^4> ^4> ^h étant des fonction de z seulement.
Les équations du mouvement donneront :
d\ ç . rfX , . -
Ces équations montrent :
1*" Que les dérivées de $, 7|, X et Y sont finies et que ces quatre quantités sont par conséquent continues; â^ Que Ç et tr sont égaux à Y et à iq au facteur constant près
ta. Donc 1^ et w sont continues comme Y et 7| le sont ellesmêmes.
Ainsi :
1* Les trois composantes l, t^, ^ de la vibration de Neumann sont continues ;
2" Les deux composantes de la vibration de M. Sarrau parallèles au plan de séparation, c*est-à-dire X et Y sont aussi continues.
221. Vérifications expérimentales. — En écrivant que X, Y, ^, 7| et C sont des fonctions continues, on a un nombre suffisant d'équations pour déterminer en grandeur et direction les vibrations réfléchie et réfractée, quand on connaît la vibration incidente. Ncms ne croyons pas utile toutefois de former ici ces éqniations linéaires et de les résoudre effectivement; il n'y a là qu'un calcul algébrique qui est assez long mais ne présente aucune difficulté. Nous nous bornerons à dire que les prévisions de la théorie ont été confirmées par Texpérience.
Dans toutes les expériences qui ont été faites, le premier milieu était monoréfringent et le second cristallin et dans les développements qui vont suivre nous supposerons toujours qu'il en est ainsi. Une des difficultés principales provient de ce que toutes les substances connues sont assez peu biréfringentes; il en résulte que le plan de polarisation diffère peu en général de ce qu'il serait avec une substance isotrope. On a tourné cette difficulté en prenant comme premier milieu un liquide dont l'indice de réfraction diffère peu de l'indice moyen du cristal. Dans ces conditions on peut observer des déviations très considérables du plan de polarisation. Les déviations ob-
servées paraissent concorder suffisamment avec les déviations calculées.
Il semble toutefois que certains cristaux présentent des anomalies. Ainsi le diamant qui est du système cubique et devrait se comporter par conséquent comme un corps isotrope donne lieu à une polarisation elliptique très intense.
222.RéfractionuniradiaIe.— Si un rayon incident tombe sur un cristal, il se partage en un rayon réfléchi et deux rayons réfractés; ces deux derniers sont entièrement polarisés. Supposons maintenant que le rayon incident ait été polarisé par son passage à^travers un nicol; quand on fera tourner ce nicol, les intensités des deux rayons réfractés varieront; dans une des positions du nicol, Tun des rayons réfractés disparait; dans une autre position, c*est Tautre rayon réfracté qui s'éteint. On dit alors qu'il y a ré/Yactton uniradiale. Les directions de la vibration incidente qui correspondent à cette extinction de l'un des deux rayons réfractés s'appellent les deux directions uniradiales.
228. Théorème de Mac-CuUagh. — Le théorème de Mac-Gullagh (215) est susceptible d'une généralisation remarquable par son élégance (i), mais que nous énoncerons sans démonstration.
Il faut d'abord donner la définition du plan polaire d'une des vibrations réfractées. Nous considérons un des deux rayons réfractés; par un point quelconque menons une parallèle ON à la vibration de Neumann et une parallèle OM au rayon. Construisons la surface de Tonde qui a pour centre le point O
(i) Mac-Gullagh, Journal de LiouvilU, première série, tome VII, 1S42.
et qui vient couper en M le rayon lumineux OM. En ce point M menons le plan tangent à la surface de Tonde et abaissons du point H une perpendiculaire OP sur ce plan tangent; nous appellerons R le chemin que la lumière aurait parcouru ^, dans le premier milieu pendant le temps que met dans le second milieu un ébranlement parti du point pour parvenir au point M ou en un point quelconque de la surface de Tonde qui passe en M.
Prenons ensuite sur le prolongement de OP un point tel que :
Rf OP'
Joignons MT ; le plan mené par ON parallèlement à MT s'appelle le plan polaire du rayon réfracté considéré.
11 résulte de cette définition que si Ton change la direction du plan de séparation en faisant varier en même temps la direction du rayon incident, mais de telle façon que celle du rayon réfracté ne change pas, le plan polaire ne changera pas non plus, pourvu que Tindice de réfraction du premier milieu soit resté le même ; la direction de ce plan dépend au contraire de Tindice de réfraction du premier milieu.
Voici maintenant en quoi consiste le théorème de Mac-Cullagh.
Dans le cas de la réfraction uniradiale, on obtiendra le dé* placement d*un point quelconque du premier milieu en composant les déplacements dus à la vibration incidente et à la vibration réQéchie ; quant au déplacement d*un point du se-
cond milieu il se réduira au déplacement dô à la seule vibration réfractée qui subsiste, puisque nous avons supposé le nicol orienté de façon & éteindre la seconde vibration réfractée.
Si donc nous construisons en un point du plan de sépara* • tion trois droites représentant en grandeur et direction la vibration réfractée, la vibration incidente et la vibration réûéchie, la première sera la somme géométrique des deux autres. Ces trois droites sont donc dans un même plan.
L'analyse de Mac-Cullagh montre que ce plan n'est autre que le plan polaire de la vibration réfractée, 224. Proposons-nous maintenant le problème suivant: Connaissant en grandeur et direction la vibration incidente, construire la vibration réfléchie et les deux vibrations réfractées.
La construction de Huyghens nous permettra d^abord, connaissant le plan de Tonde incidente de construire les plans de Tonde réfléchie et des deux ondes réfractées ;nous connaîtrons également le rayon réfléchi et les deux rayons réfractés.
Nous en déduirons les directions des deux vibrations réfractées 0R| et OR'^ ; puisque dans la théorie de Neumann la vibration réfractée doit être menée dans le plan de Tonde perpendiculairement au rayon (215).
Nousconstruisons ensuite les plans polaires des deux vibrations réfractées ; ces plans polaires couperont le plan de Tonde incidente suivant les deux directions uniradiales.
Soit 01 la vibration incidente donnée, nous la décomposerons, par la règle de parallélogramme en deux composantes OT et or dirigées suivant ces deux directions uniradiales.
Le premier plan polaire qui passe par OR' et OT coupera Tonde réfléchie suivant une droite OS'. Nous achevons le pa-
rallélogramme Ol'R'S' dont un côté est 01' et dont l'autre côté et U diagonale sont dirigés suivant OR' et OS'. Alors OR' représentera, non seulement en direction, mais en grandeur la première vibration réfractée, el OS' représentent en grandeur et en direction ce que serait la vibration réfléchie si la vibration incidente se réduisait & 01'.
On construirait de même un second parallélu-
Pig. î».
gramme 01" R'S" dont un côté serait 01" ; dont la diagonale OR' représenterait en grandeur el direction la seconde vibration réfractée; dont enfin le second côté OS" représenterait ce que serait la vibration réfléchie si ta vibration incidente se réduisit A 01".
On n'aurait plus ensuite qu'4 composer OS' et OS" par la régie du parallélogramme pour avoir la vibration réOéchie totale OS.
S25. Remarque, — Il est aisé de se rendre compte d'après ce qui précède pourquoi les phénomènes de la réflexion cristalline s'écartent d'autant plus de ceux de la réflexion vitreuse que l'indice du premier milieu eernpprocheplusde l'indice moyen du cristal. En effet l'écart entre les deux ordres de phénomènes sera d'autant plus grand que le plan polaire déflni plus haut s'écartera plus du plan NOP ; c'est-b-dire que l'angl<; PTH sera plus voisin de 90**. Les substances connues étant peu biréfringentes l'angle POM est petit et par conséquent PM est petit.
Pour que Tangle PTM ne soit pas petit, il faut (}ue PT soit petit. Or :
PT-gp-OP.
OP Il faut donc que OP soit très voisin de R. Or -rr- est le rapport
de la vitesse de propagation de Tonde réfractée à celle de Tonde incidente. Ces deux vitesses doiventdonc être très voîsines ce qui exige que les indices moyens des deux milieux soient peu différents.
THÉORIE DE M. SARRAU (i )
