Gela posé, proposons-nous le problème suivant
Un rayon lumineux tombe sur une surface métallique sous une incidence égale à 9 ; quelle est la direction du plan imaginaire de Tonde, du plan de Tonde, du plan d'absorption, et le coefficient d'absorption?
Le plan d'absorption ne peut être que le plan de séparation des deux milieux que nous prenons pour plan des xy. Nous prendrons le plan d'incidence pour plan des œz.
Soit r Tangle du plan imaginaire de Tonde avec le plan des a?y, c'est-à-dire Tangle imaginaire de réfraction. Soit r Tangle du plan réel de Tonde avec le plan ûesay^ c'esl-à-diro Tangle réel de réfraction.
Is plan iimginaipe de V-mnét devra avoir pour équation
a?sîn r' '■\- z cos r' =
ou
swr' = -^ (cosx -f t sm x),
On amr»?^KUitre pari
3ir
P = -r- {œBinr -\- zco^r — V^,
ei
X étant le coefïicient d*absorption.
L'équation du plan imaginaire de Tonde s'écrira alors
-r- smr -j- z {-^ cos r — tx j = 0,
On a donc :
tang r' =
ysinr
— cosr — tx
De l'équation (1) on tire aisément cotr sous la forme :
cotr' = A — «B;
on a alors
cotr = A,
âTtBsinr
ce qui détermine Tangle réel de réfraction et le coeCBcient d'absorption «
229. Équations du mouvement lumineux dans un milieu absorbant. — On a proposé diverses formes pour les équations du mouvemenl dans un milieu absorbant L'une des plus générales est celle de Voigt (i) qui s'écrit :
avec deux autres équations analogues pour -y^ et C* auxquelles il faut joindre la condition de transversalité S = o.
La théorie électromagnétique de la lumière a conduit Maxwell à une équation de même forme, mais où les coefficients ay c ei e sont nuls.
Ces équations ou d*autres analogue*} ne peuvent évidemment rendre compte de la propagation de la lumière dans les milieux peu absorbants qui produisent un spectre dé raies ou de bandes.
Quel que soit le nombre des dérivées partielles de ^ qu*on y introduise, on n'arrivera jamais à rendre compte de la prodi^ gieuse variété de ces spectres. En revanche ces équations paraissent rendre assez bien compte des phénomènes optiques que présentent les métaux.
Cherchons à satisfaire à Téquation (2) en faisant
La partie réelle de cette exponentielle imaginaire sera alors la véritable valeur de Ç ; t sera la période de la vibration, V sera la vitesse imaginaire de propagation ; a , p', y seront les
(1) GoUlDger Nachrichten, 1884, page 137 Bqq,
cosinus directeurs du plan imaginaire de Tonde de telle sorte qu'on aura
(3) »'2-^p+Y'az:zi.
On trouve alors, en substituant cette valeur de l dans (2), supprimant les facteurs communs et tenant compte de (3) :
Cette équation montre que la vitesse imaginaire V dépend de T et par conséquent de la longueur d'onde, mais ne dé* pend pas delà direction du plan de Tonde.
sinr'
, Par conséquent Tindice imaginaire de réfraction —. est
une constante qui dépend de la couleur, mais est indépendante de rincidence. Il n'en serait pas de même de Tindice réel de
réfraction -:
sinip
230. Théorie de Cauchy (i). — Cauchy suppose que les hypothèses qui servent de base à sa théorie de la réflexion vitreuse sont encore applicables à la réflexion métallique.
De ces hypothèses il résulte, ainsi que nous Tavons vu, que si le plan de séparation est pris pour plan des xt/y les fonctions
,. t/Ç C?Tn c?$ rfÇ rfïi rfÇ
' *' dy dz dz dx dx dy
sont continues.
Nous venons de voir que, dans un milieu métallique, les équations du mouvement sont les mêmes que si Tindice de ré-
(1) Nouveaux exercices du mathématiques. Journal dé LionviUe^ preroiôro série, t. VU, p. 338.
fraclion était imaginaire. D'autre part, dans les idées deCauchy, les conditions à la limite sont les mêmes que dans le cas de la réflexion vitreuse. Il est donc inutile de recommencer les calculs; les formules de la réflexion vitreuse doivent rester applicables ; il suffit d'y remplacer Tindice de réfraction par sa valeur imaginaire.
Nous savons que dans Tétude de la réflexion vitreuse la théorie de Gauchy et celle de Fresnel conduisent aux mêmes résultats. Fresnel démontre que le rapport de la vibration réfléchie à la vibration incidente est égale &
sin (r — y) sin (r -f- <p)
si la lumière est polarisée dans le plan d*incidence et à
tang (^ — r) tang ((p -f r)
si la lumière est polarisée perpendiculairement à ce plan.
Les angles cp et r sont les angles d'incidence et de réfraction. Si Ton appelle N Tindice de réfraction, ces deux rappoKs sont égaux respectivement à
. C03» — VN^ — sin^(|p . , N' cosy — Vn^ — sin^ y
"" cos y -fv'N» — sin^y ' ~^ N> cos y +v'N^ — sin* y
Ces formules se déduiraient sans peine de celles que nous avons données plus haut (208).
Si a, p, Y sont les cosinus directeurs de Fonde réfléchie, X la longueur d'onde et V la vitesse de propagation dans le premier milieu, le déplacement dû à la vibration réfléchie sera la partie réelle de
\e'^ ou A'e*
OU
Si on passe à la réflexion métallique, il faut donner à N une valeur imaginaire ; A et A' sont alors imaginaires et on a
A = Aoô'*, A' = A'oc'f .
Alors le déplacement dû à la lumière réOéchie sera
AoC08(P + ^)
si le plan de polarisation est le plan d'incidence, et
Aicos(P + f)
si le plan de polarisation est normal au plan d'incidence.
11 y aura donc polarisation elliptique et la diflérence de phase des deux composantes du rayon réfléchi sera ^ ^~ y.
L'expérience confîrme très suffisamment les formules de Gauchy.
