partie de 20'', soit rrrri de seconde. Nous aurons alors
AC=r + r(l — ■i^cos<p.
Prenons maintenant des axes liés au milieu mobile. Il faudra remplacer dans Texpression précédente la vitesse absolue
d'entraînement v li — -^ j par la vitesse relative
Par conséquent nous aurons pour la vitesse de la lumière par rapport .à ces axes
V — v' coscp.
287. Temps employé par la lumière pour passer d'un point à un autre d'un milieu en mouvement. — Consi dérons un rayon lumineux allant d'un point Aq à un point Â^
Al
An
Vn
Flg. 34.
d*un milieu en mouvement en suivant la ligne brisée AoA|..A„ {fig, 34). Pour passer du point A, au pointAj» le rayon mettra
un temps égal à 377 ^-1^ Développons cette quantité
par rapport aux puissances croissantes de vi en nous arrêtant à la première puissance; nous aurons
A^ I A^AaCOSy y \^ ya '
Si nous menons une droite^y parallèle à la vitessedu milieu en mouvement Tangle des diverses portions de la ligne brisée avec cette droite est précisément Tangle d'aberration ^ qui
entre dansTexpression précédente; par conséquent A, AjCos® est égal à la projection A| A^ de A, Aj sur xy et le temps employé par la lumière pour aller de A, en Aj devient
Nous avons d'ailleurs t?' = -r et V = -^ r étant la vitesse
de translation du milieu et V la vitesse (fe la lumière dans le
vide ; en remplaçant v' et V par ces valeurs dans la somme
précédente, nouç aurons
Le temps employé pour aller du point Aq au point A„ sera la somme de quantités semblables. c*est-à-rdire
Le premier terme V -:^ représente le tismps qu'emploierail la lumière si le milieu était en repos, le second ne dépend que de la position des points extrêmes et nullement du chemin parcouru par la lumière pour aller de Tun à l'autre de ces points.
328. Phénomènes optiques dans un milieu en mouvement. — Une conséquence importante de la formule précédente est que les lois d^, la réflexion et de la réfraction, les phénomènes d'interférences ne sont pas affectés parle mouvement de la Terre.
Considérons en particulier le phénomène de la réfraction.
390 THÉORIE MAlIlÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Si  et B [fig, 35) sont deux points situés dans deux milieux di fférentSyle chemin AC6 suivi par la lumière pour aller deAàBest tel que le temps employé pour parcourir ce chemin est minimum. Pour montrer que les lois de la réfraction sont les mêmes quand les deux milieux sont en repos ou sont en mou-
A vement, il nous suffît de montrer que si ACB est le chemin le plus court quand les milieux sont en repos, il Test encore quand les deux milieux sont animés du même mouvement.
Soient, T le temps employé p jjj par la lumière pour aller de A
à B parle chemin minimum quand les milieux sont en repos ; T' le temps nécessaire pour parcourir un chemin infînimenl voisin ACB. Si ACB est celui qui correspond aux lois de la réfraction, on a T < T'. Or d'après ce que nous avons dit précédemment les temps employés pour parcourir les chemins ACB et ACB dans le cas où les milieux sont animés d'un mouvement de translation dont la vitesse est v, sont
A'B' étant la projection de AB sur une droite parallèle à la vitesse t? ; ils ne diffèrent de T et de T' que par une même quantité. Si donc on a T< T' on aura T, < T| et le chemin le plus court dans les milieux en repos sera encore le plus court quand les milieux seront en mouvement. Les lois de la réfraction sont par conséquent les mêmes dans les deux cas. Les phénomènes d'interférence des rayons lumineux ne
ABERRATION ASTRONOMIQUE 39i
dépendent pas non plus du mouvement du milieu où ils se produisent. Si T et T' sont les temps mis par deux rayons pour aller d*un point Aq à un point A;, dans le cas où le milieu est en repos, ces temps seront tous deux augmentés de la même quantité si on suppose le milieu en mouvement ; par conséquent la différence des temps ne variera pas et les phénomènes d'interférence resteront les mêmes dans les deux cas.
En un mot les phénomènes optiques ne peuvent mettre en évidence que les mouvements relatifs par rapport à l'observateur de la source lumineuse et de la matière pondérable. G*est ce qui a lieu dans Taberration où Tobservateur et Tastre observé ne sont pas animés du même mouvement ; c'est ce qui arrive aussi dans l'expérience de M. Fizeau où Teau contenue dans les tubes possède un mouvement relatif par rapport à l'observateur. Un seul fait ne s'accorderait pas avec ces conclusions ; c'est la variation du plan de polarisation de la lumière réfléchie sur le verre avec l'orientation de la direction lumineuse par rapport à la vitesse de rotation de la Terre. Cette influence a été constatée par M. Fizeau mais la difficulté des expériences ne lui a pas permis d'en être absolument certain.
2â9. Hypothèses de Fresnel. — L'explication que nous avons donnée de l'aberration et les conséquences que nous avons tirées de l'expression du temps employé par la lumière pour aller d'un point à un autre d'un milieu en mouvement, reposent sur l'hypothèse que la vitesse d'entraînement de
l'éther contenu dans un milieu en mouvement est t?(l ^V
L'indice do réfraction n n'est pas une constante; il varie avec
la couleur du rayon lumineux et n'est pas le même pour un rayon ordinaire et un rayon extraordinaire dans un milieu biréfringent. Il en résulte que la vitesse d'entraînement de Téther n'est pas la môme suivant qu'on considère un rayon extraordinaire ou ordinaire ou encore deux rayons de couleurs dilîérentes. On a pu vérifier, au moyen d'expériences suffisamment précises, que le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire ne sont pas entraînés de la même manière» Aussi ne doit-on pas admettre, comme paraît le faire Fresnel, que la vitesse d'entraînement de l'éther est indépendante de la longueur d'onde de la lumière et égale à la valeur moyenne des valeurs qu'elle prend pour une infinité de valeurs de la longueur d'onde.
Fresnel supposait que, quand un milieu transparent est en mouvement, la masse d'éther entraînée par le mouvement était l'excès de la masse contenue dans le milieu en mouvement sur la masse qui serait contenue dans nn même volume du milieu environnant. En appelant p^ la densité de Téther dans ce dernier, p la densité dans le milieu en mouvement, p — p0 sera la densité de l'éther- entraîné. Pour avoir la vitesse apparente d'entraînement de Télher contenu dans le milieu en mouvement, nous n'avons qu'à chercher la vitesse du centre de gravité de deux molécules M et M' dont l'une M a pour masse p^ et reste en repos et dont l'autre M' a pour masse p— po et possède la vitesse v du milieu en mouvement. Si nous appelons v^ la vitesse du centre de gravité, nous aurons, en appliquant le théorème des quantités de mouvement,
(p — Po -f Po) ^< ^ (p — Po) *' + Po >< ^ ;
d'où
Or dans la théorie de Fresnel on a, en désignant par Y^ et V les vitesses de propagation des ondes lumineuses dans les milieux de densité po ^^ P>
par conséquent on a pour la vitesse apparente d'cntrainement de Téther
Il n'y a là qu'un simple aperçu dont il est difficile de se contenter, mais nous allons chercher à justifier la façon de voir de Fresnel par une analyse plus rigoureuse.
240. Vitesse de propagation dans un milieu en mouvement. — On peut se rendre compte de l'entratnement apparent de l'éthcr en étudiant la propagation d'une onde plane dans un milieu en mouvement et en admettant que le déplacement des molécules d'éther dépend du déplacement des molécules matérielles. Si nous désignons par l et 5, les composantes suivant Taxe des x des déplacements des molécules d'éther et de matière, nous aurons, dans le cas où le milieu matériel n'est pas animé d'un mouvement de translation les équations suivantes (142).
39i THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Supposons maintenant que, Téther restant en repos, le milieu matériel possède un mouvement de translation de vitesse v normale au plan de l*onde; prenons pour plan des yœ un plan parallèle au plan de Tonde et cherchons ce que deviennent les équations précédentes.
l^ est une fonction de ^2- et de ^ seulement. Quand le milieu est en repos, la vitesse de la niolécule matérielle à Tinstant t
est -~^ ; mais par suite du mouvement de translation que
possède ce milieu le z de la position d'équilibre de la molécule augmente de vdi pendant le temps dl. Par conséquent 'accroissement de l^ pour un accroissement dtdu temps sera
et la vitesse de la molécule matérielle à l'instant t aura pour valeur
L'accélération à ce ménre instant sera
dw dw j^ dw dz
dt ^ 'dt"^ 'cÛ "dt
les dérivées de m?, placés dans le second membre étant des dérivées partielles. En remplaçant dans cette expression «? par sa valeur, on a pour l'accélération
dfi + ^^ dzdt ^ " ds'
L'équation du mouvement de la molécule matérielle est
ABEB RATION ASTRONOMIQUE 395
donc, en négligeant le carré de v,
Telle est Téquation qui doit remplacer Téquation (2). Quant à Téqualion (i) elle se réduit dans le système d'axes adopté à
puisque l ne dépend plus que de z et de t,
L*addition de ces deux dernières équations élimine M et nous donne
Nous supposerons que M est très grand ; l'équation (4) montre alors que M (Ç| — Ç) est fini. On en conclut que l^ — l est très petit et nous sommes conduits à admettre à titre de première approximation que Ton a Ç := Ç|. L'équation (5) 'devient alors
L'équation du mouvement dans le vide se déduira de la précédente en y faisant p, ;= 0; nous savons que dans c* cas, la vitesse de propagation est
Si on suppose le mouvement fumineux sn propageant dans
un milieu matériel en repos, il faut faire v = dans l'équation (6) qui donne alors pour la vitesse de propagation
Par conséquent Tindice de réfraction de la substance est
Pour avoir la vitesse de propagation dans le cas où le milieu matériel est animé d'un mouvement de translation suivant l'axe des z, cherchons à satisfaire à l'équation (6) par la valeur suivante de \
Nous obtiendrons après suppression des facteurs communs aux deux membres
(p + pj V» - 2rVp, = 1 ;
d'où nous tirons
Cette valeur V différant peu de la vitesse de propagation dans le même milieu supposé immobile, nous pouvons dans
le second membre de l'égalité précédente remplacer V par
sa valeur approchée --=== et nous avons
Vp< +P p + P< (P< -f p) Vp + Pi
OU puisque nous avons négligé les quantités qui contenaient le carré de v ,
Tout se passe donc comme ai l'éther se trouvait eatralné avec une vitesse égale à
P +P( Cette Torraule peut d'ailleurs s'écrire,
OU, puisque n =V/^ "-'
On retrouve donc la raéme expression que dans les théories de Fresnel. Ce n'est là qu'une premiéreapproximation. EnefTet ^, — l n'est pas nul mais seulement 1res pelil; la diiïérence est de l'ordre de la dispersion.
L'analyse du n° 142 montre que le rapport-^ qui est voisin de l'unité, dépend de la longueur d"onde. Pour rendre compte des expériences qui, comme nous l'avons vu, donnent
pourlavîtessed'entralnement ol 1 ^y n étant C indice de ré-
fYaction de la couleur considérée il faut admetireque cerapport est, qtielleque soit la couleur indépendant àev; nous ne connaissons aucune théorie sa tisfuisante pour Justifier cette hypothi^se.
