PROPAGATION RKCTILIGNE DE LA LUMIÈRE

à- dire à la surface réfléchissante avec une vitesse ? et il a cru

observer un tel rayon dans une lunette rasant la surface réfléchissante. Mais cette observation n'a pas été vérifiée par les expériences ultérieures, en particulier par les expériences que M. Quincke a faites sur les anneaux colorés. Nous avons vu qu'en faisant tomber de la lumière sur la base d^un prisme à réflexion totale, au point de contact de celle base avec une lentille, on observait des anneaux ou pluliM une tache lumineuse. Si le rayon tombe en dehors du point de contact et que le rayon réfracté se propage parallèlement à la surface comme le veut Cauchy, on observera encore des anneaux : or rien de pareil n'a été observé. 11 est aisé de le comprendre.

Les équations (2) sont encore les mêmes pour les ondes imaginaires, mais elles ne doivent plus recevoir la même interprétation. Les deux premières montrent encore que le rayon se propage perpendiculairement au plan d'onde, mais la dernière n'a plus la même signification quand on y fait c' imaginaire.

Les équations (3) et (4) nous apprennent d'abord quelles sont les valeurs de A, B, G sur la surface réfléchissante, et en particulier que ces valeurs sont nulles en dehors des parties de cette surface où tombent les rayons incidents.

La troisième équation (2) nous permettrait ensuite de calculer G en un point situé à distance finie de cette surface; mais cela est inutile; en un pareil point, en eflet, quel que soit G, X sera négligeable à cause du facteur c-*^'^ qui est très petit dès que z atteint une valeur notable. Ainsi pas de lumière près de la surface réfléchis^sante en dehors des points où tombent les rayons incidents à cause des équations (3) et

110 PROPAGATION RKGTILIGNB DE U LUMlfiRE

Pour X sufflsam metil grand, J^ eat reuréseDlé asymptuUquement par

J. = cus(a!-|)y/^

A partir d'un certain moment, J-, est donc < 1/ — Ainsi

pour X > 64, Jfl est toujours plus petit que -^ ReprenoDS l'équation fonda m l-h taie

Supposons en particulier que \ soit une fonction de z, de l et de p^ "4 a* + î/'- autrement dit queS ne change pasquand les axes tournent d'un angle quelconque autour de Kiz. L'équation prend alorslu forme :

= AJ„(Ap}cOs2:r0-|,).

A, h, l, T étant des constantes.

T est la période, / une quantité analogue b. la longueur d'onde X ^ VT. Nous pourrons appeler t longueur d'onde apparente par opposition à la longueur d'onde normale X.

Pour que l satisfasse k l'équation fondamentale, il faut que ces quatre conetantes soient liées par une relation. En effet :

tJVOK DKS PAISCKAUX TRÈS DÉLIÉS puisque seul le Tacleur Jg (Ap) dépend de p.

Substituons ces valeurs daos l'équation et nous ob condition :

Cette furmule nous apprend que l n'ent pas égal : que l > \.

Mais nous ne pourrons pus supposer que cette ( l — X aoit grande, car les phénomènes difTéreraicnt t des phénomènes lumineux pour qu'il nous soit permi: quer nos équations à ces derniers. La valeur de / donnera donc en quelque sorte une mesure de la fii peut prendre un faisceau luinincux, sans que les h propagation soient troublées.

Pour plus de clarté, prenons quelques nombres. P< exemple :

p = ^ ou Jo (Ap) = Jfl (64).

D'après ce que nous avons vu, on a :

L'intensité lumineuse est proportionnelle à JJ, c'i

112 PROPAGATION RKCTILIGNE DE LA LUMIÈRK

qu'elle sera plus petite que le jrr^ de Tintensilé en un point de

0^3-, dès que Ton sera a une distance de cet axe égale ou supé-

rieure à-r-n

Si nous considérons par exemple un cylindre de révolution

autour de 0-2 et de rayon égal à

et que nous prenions X =: r [jl, nous trouverons que Terreur

relative — r — est inférieure à rrr^-

Avec pQ = 640 [a, c'est-à-dire un diamètre de un peu plus

de i millimèlre, cette erreur devient inférieure à ,..^^ '

86. On serait tenlé de croire, d'après ce qui précède, que la

vitesse de propagation d'un faisceau très délié est égale à —

et par conséquent plus grande que la vitesse normale. Ce serait une erreur.

Reprenons en effet la formule

5z=AJo (^p) cos 27r — I V

et posons pour abréger

? = Jo W t'0s2:r (7 — rpY

Jusqu'ici A était considéré comme une constanle : nous le regarderons maintenant comme une fonction de ^ et de t.

I tli PROPAGATION llF.CTrLIGNË DE LA l.UUIÈnE

Notre relation se réduira donc à :

i^ c?A 6?op rfA c^9

Substituons aux dérivées leurs valeurs ; nous trouvons

et par suite

\^ dt~' dz

ou

dk y^'ïdk

dl'^ l dz'"^'

L'inlégrale générale de celle équation est la suivante :

La perturbation se propage donc avec une vitesse— r— = V- •

Celte vitesse est donc moindre que la vitesse normale. Cette

diJférence n'a jamais été observée, ce qui prouve que / — X

est toujours négligeable.

87. Propagation de la lumière non parallèle. —Pour étudier ce qui se passe dans le cas où le faisceau est formé de rayons qui ne sont pas parallèles, nous ferons un changement de coordonnées.

Considérons trois fonctions m, v, w de œ, y, z et les trois

116 PROPAGATION RKCTI LIGNE DK LA LUMIKRE

seront lea normales communes & ce!' surfaces ; ro sera une longueur comptée sur ces normales, la dislance des deux points («, V, w), [u, r, w + dw) sera dw et par suite c=zl.

Considérons deux des Gurfaces to, prenons sur la première un élément d'aire dot' inliniment petit et menons les normales en tous les points de son contour:

le pinceau de normales ainsi obtenu découpera sur l'autre surface un élément d'airo t/m" (AiJ- 12).

Soient a' et b' les valeurs des coefflcienla a et i rela-

tives Noui

dia', a" et b" Il s aurons

: valeurs relatives à dw"

Si donc nous posons :

s sera aux différents points d'un même pinceau de normales infïntment délié proportionnel à la section droite de ce pinceau. Soit:

ï = Acosp (w — V(),

t!8 PROPAGATfON RFXTIMGNK DE LA LUMIÈUR

reste :

d f d\\ /%sdk + k(h\ ,.

L'équation fondamentale devient donc : en remarquant que les termes enp* se détruisent et supprimant les facteurs communs :

\ ^ dt '" ^ dto 2 dio

ou

Vf ^ __ rdA. . d^ V dt'~~^^ d%o~~ dtc

comme s est indépendant de t

i dKsl's dAyJj.

V dt """ ' dw

Intégrons

ksjs = f (m, t?, ?^? — V^),

La perturbation se propage donc avec une vitesse "V rectiligne dans la direction des normales

aux surfaces parallèles lo = G**.

L'amplitude varie comme -p et par suite l'intensité est pro-

\s porlionnelle à -r c'est-à-dire qu'elle est en raison inverse de

la section du faisceau.