PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE
en écrivant la condition de iransversaliié
Or
d^ dX , , diû dr dk . . x
-7- = -,— CO8 0) — Asino)-; — r = -7- C06 <i> — pA sin o) — dœ dx dr dx dx r
Le premier terme ne contient pas p et est négligeable. Donc :
di P k '
-7- = — - Aa? sm tt).
dx r
-p* = — - By sin (o.
dy r ^
— = — - Cs- sin (I).
ctz r
La condition de transver?alité s'écrira :
Aa? + % + G^ = 0.
D'ailleurs
Si trois fonctions réelles A, B, G des coordonnées d'un point de la sphère satisfont à celte relation, il y a forcément sur la sphère deux points au moins pour lesquels simultanément A = o, B = o, G = o, et pour lesquels par conséquent Tintensité lumineuse serait nulle. En effet, entre les deux relations:
kdx + Bdy -f- Cdz = o
xdx -f- ydy -f- zdz = o
on peut éliminer dz par exemple et obtenir une équation
PROPAGATION RECTILIGNB DE LA LUMIÈRE ;inaires geront nulles à la fois; mais ces deux direcliona lïncideront pa=, de sorte qu'il n'y aura pas de direction .rnsilé nulle; mais celte circonstance ne suflirail pas h seule poiir expliquer l'égalité d'intensité dans loiiles les '.lions.
La valeur de 5 correspondant au phénomène physique sera la partie réelle de cette dernière solution.
Posons :
S, - v/~l Ç, = Ço.
Alors :
Remplaçons dans Téquation fondamentale
et supprimons le facteur e^- * ''^j il vient : OU :
Posons, pour abréger, ^ = a, ceci pourra s'écrire :
Nous avons ainsi à considérer deux équations. Ces équations rappellent par leur forme celle de Laplace AÇ = o qui définit le potentiel newtonien.
90. Nous allons tâcher de faire ressortir les relations qui peuvent exister, en raison de cette analogie, entre les fonctions $ et le potentiel newtonien.
A cet effet, supposons que l ne dépende que de t et de r, r
comme on a :
D'où :
Celle expression vérifie l'équation :
AÇ + a^Ç = o ; il en est de même de la fonction :
Ço =
et de la suivante :
obtenue en changeant a en — a, puisque Téquation ne contient que a^.
Enfin les parties réelles et imaginaires de Ç^ et Ç^ sonl séparément des solutions, ce qui nous conduit Gnalement aux solutions :
r cosar p sin ar
La seconde de ces fonctions présente une circonstance particulière, qui doit fixer notre attention. Tandis que toutes les autres deviennent inflnies pour r = o, celle-ci reste finie et égale à a pour r = o ; de plus, Ç est très petit pour r très grand.
aussi une solution :
.^■^ V/(n-VO
L'équation de Luplace
admet comme solutions :
et par conséquent :
'* rrii
Quelles que soient les constantes m/, \ est alors le potentiel des masses m^, Wo... w„ situées aux points (o?^, y^, ^|) ...
Nous voyons que l'analogie est complète.
Nous pouvons dire en effet qu'aux points fixes se trouvent des masses attirantes, la loi d'attraction étant telle que le potentiel soit représenté par:
92. Dans l'étude du potentiel newtonien, on passe du potentiel d'une masse attirante isolée à celui d'un volume attirant et d'une surface attirante ; ces potentiels vérifient encore l'équation de Laplace.
Nous allons procéder de même :
Soient (a?, y, s) les coordonnées du point mobile, [x\ y, z')
130 PRINCIPE BK HUVtiHIiNa
volume attirant, f reste iini et nous aurons :
puisque nous pourrons difTérencicr sous le signe /. De même :
et par conséquent:
= V>ii.
Donc l satisfaîl à l'équation fondamentale en dehors du volume attirant, tout comme le potentiel newtooien satisfait i. l'équation de Laplace.
93. A l'intérieur du volume attirant le potentiel ne vérifie plus l'équation de Laplace, mais celle de Poisson.
Pour savoir ce que devient -j^ •■■> etc., k l'intérieur du volume attirant, nous ne pouvons plus difTêrencter sous le signe y, parce que f devient infini pour r = o.
Posons :
rK.y,^-,>).
Tl r
La difléreiice if — <f, nu deviendra plus infinie pour r ^ o, puisque le numérateur s'annule en même temps que le dénominateur.
l,=f,,d.'=J'Ci^^
dt'
13^ PRINCIPE DE HUYGHËNS
de Tautre :
dt^ -J
dt*'^^
-y^J dt*
relation qui est la généralisation de Téquation de Poisson et qui peut s'écrire encore :
94* La même généralisation peut se faire dans le cas d'une surface attirante.
Soit dUù rélément de surface ayant pour coordonnées
En dehors de la surface attirante, \ satisfait à l'équation fondamentale et est continu ainsi que ses dérivées. Sur la
surface même, le potentiel newtonien est continu quand on
dS traverse la surface, mais non sa dérivée -p-
dn
En deux points infiniment voisins situés sur une même normale, mais, de part et d'autre de la surface, les valeurs de
dS
— diffèrent de 47c8, 8 étant la densité superficielle.
Posons :
^, =Jc^-^^ d.' =f„d.',
iU PRINCrPE DE HUYGHENS
Téquation de Laplace, cette fonction est identiquement nulle.
Si la fonction doit prendre sur la surface des valeurs données ^0, il y aura une fonction et une seule satisfaisant à cette condition.
Cette propriété ne peut être étendue aux solutions de l'équation :
sinoLT* En effet, prenons par exemple la fonction . Cette fonc-
tion vérifie l'équation, elle s'annule sur la sphère r = - et cependant n'est pas nulle identiquement.
Pour que le principe de Dirichlet piU se généraliser, il faudrait que a^ fût négatif.
