Envisageons maintenant l'équation

Considérons un volume limité par une surface fermée, sur laquelle on ait constamment Ç = o ; supposons que pour < = o,

Ç = O et -T = 0, la fonction Ç étant une solution de Téqua-

tion : Ç sera identiquement nul.

En effet, prenons Texpression :

:(i)'+-i(£)-+(i)'+(Di]..

la somme étant étendue à tous les éléments du volume.

dt

~~J \^^ dl^ "^ Zj dxdt dœ) '''

Le problème est déterminé et il existe une seule fonction Ç remplissant ces diverses conditions.

Admettons en effet qu'il y en ait deux, $ et Ç|, de sorte que pour ^ =

Ç = $4 = a dt dt ^

sur la surface :

et que :

^V»AÇ, =4«V»/-(a;,y,^,<).

Il est facile de voir alors que la fonction \ — \^ jouit des propriétés suivantes :

Pour / = o, Ç — Ç| est nul ainsi que sa dérivée — ^^-r. — ' Sur toute la surface

et enfin

î^j=iii = V»A (Ç - Ç,

dfi

Cette fonction est donc identiquement nulle et Ç = Ç^.

Il est probable, sans qu'on ait pu encore le démontrer, qu'il existe toujours une solution.

Si nous considérions le volume extérieur èi la surface fermée, en ajoutant la condition que ; soit nul à l'infini, le th«^orème serait vrai encore pour ce volume entier.

Il peut donc être étendu à tout l'espace et énoncé comme il suit :

et à cet instant même, c'est-à-dire pour / ^ o, tout soit au repos, autrement dit que pour :

et que les forces complémentaires ne recommencent à faire sentir leur action qu'à partir de Torigine du temps, alors /* = o pour ^ < 0, que, pour < > o, Ç satifasse à Téquation, /"étant une fonction que nous regarderons comme donnée : /"étant nul partout, sauf aux sources où cette fonction a une valeur déterminée — enfin que \ s'annule à l'infini. Nous avons vu que ce problème ne comporte qu'une solution ; il s'agit de trouver cette solution.

Soient (a?, y^ z] les coordonnées courantes d'un point, [x\ y\ z] les coordonnées du centre de gravité d'un élément d-z du volume occupé par les sources lumineuses, r la distance de ces deux points.

La fonction

Çr{x,y\z\l^'^d^

la sommation étant étendue à tous les éléments di' du volume occupé par les sources, remplit les conditions demandées ; \ est d'ailleurs fonction de {x,y,z\ puisque r en dépend.

Nous savons que \ vérifie l'équation; il reste à montrer que les conditions initiales sont remplies.

Or nous avons supposé que /'étant nul pour i^o^ mais si

t est :^ oil en est de même a fortiori de ( ^ — =r)? r et Vêtant

Kt PRINCtPE DE HUTGHEN8

La Bomme

érifleaussi l'équation : elle renferme deux fonclioliBarbitraires; I semble donc qu'elle doive convenir à la queslion. Mois il l'en est rien, comme nous allons le montrer.

Soil, en eiïet, une source de lumière homogène; prenons lour origine du temps l'instant où commence le mouvement, le mouvement étant périodique, pour t > o, f sera de la orme :

lour t < o, on a/"^ 0.

Supposons que t soit assez grand et r assez petit pour que

— - > o, où en d'autres termes, que le régime soit établi,

lors :

, doit avoir le signe — ; c'est donc seulement la première

ntégrale qui convient à la question. C'est pour cette raison

, , ,. sinarcosni , , , ,

ue la solution *- ne convient pas à la question,

insi qu'on l'a expliqué plus haut.

Nous étudierons donc en particulier le cas où la loi d'attracion est telle que le potentiel de la masse 1 placée au point

c', y', t") soit à une distance r égale à •

i PRIKCIPË ni: HUYGHENS

Fuur appliquer ce tliôorèmo au cas qui nous occupe, sup-

ïoiiï que Ç vérifie l'Oquulion :

que ;

iÇ + a*S ^ o

^tant la dislance des deux points (x, y', 3') et {x, y, 3), on ra bien :

lim çr == 1 pour r ^ u.

Nous aurons encore :

Multiplions (1) pur ip, la seconde par — Ç et ujoulons : ipiE — Si» = 0.

Dans la formule de Green, l'Intégrale du stcond membre «paraîtra donc, et il restera :

si le point [x' , y', 3') est extérieur ; — 4Trï', si le point est

:erieur au volume T.

Nous pouvons d'ailleurs écrire, en permutant les accents :

/(fâ'-^i)-

iU PRINCIPE DE HUYGHENS

sente la projection sur Taxe des ^ du déplacement d'une molécule d'éther, on aura :

dz représente un élément de volume occupé par les sources lumineuses a?', y', z' sont les coordonnées de cet élément; ^ est une fonction de a/, y\ z' et r' la distance de a?, y, ^ à

x\ y\ z' , Si le point a?, y, z est sur la sphère S', et que le

rayon de celte sphère soit très grand, — différera très peu de

- et il viendra, aux infiniment petits près du deuxième

ordre :

dr' Car — est égal à 1 à des infiniment petits près. La quantité sous le signe / est donc du troisième ordre, et comme la

surface de la sphère est très grande, du deuxième ordre, Tintégrale tend vers o. Le théorème est donc vrai; mais, pour qu'il en soit ainsi, il ne s'uf/ït pas que l s'annule à Vinfini, il faut eucore qu'il soit de la forme (3).

Il en résulte que, si on donne les valeurs de Ç et de —

en tous les points de la surface limite S, la formule donne la valeur de \ en un point quelconque du volume T. Mais, en général, il ne sera possible de se donner arbitrairement que

Tun des systèmes de valeurs, soit \, soit — ? parce que ces

f4t> PRINCIPE DK HUVGHENS

elle rencontre la surface to -}- dw

MMa = dn:

FI g. 13.

menons de même la normale HU, à la surface to :

MM, = dw 'if MM. ,., ,.,, ,

-j- = rrrz' = COS (M.HM, = 003 9.

dn MMj * ' "

Par conséquent :

<î(f' d'à' dr do'

dn dr an dr '

tj- élanl l'angle sous lequel la surface S est coupée par la sphère de rayon r décrite du point (a:, y, 2) comme centre.

148 PRINCIPE DB HUVGHËNS

exemple, sous la forme :

il considère ensuite les points de S comme des centres d'ébranlement et se propose de calculer quel sera l'ébranlement en un point P (œ, y, z] extérieur [/îjj. 14).

A cet effet, il admet que l'ébranlement provenant de l'éléinentdiu', de coordonnées [a;', y, 3'), situé sur S est représenté au point P par:

dvi'