CM
il suppose ainsi que l'amplitude de l'ébranlemenL varie comme l'inverse de la distance r du point P au point M {x\ y", 2'), et de plus varie avec la direction MP suivant une certaine l'onction /"(ifi) de l'angle 1 que fait la normale à rfu' avec MP. Fresnel ne fait d'ailleurs aucune hyputhèae sur la forme de celle fonction f; il suppose seulement qu'elle passe par un
maximum pour | =; o, à cause de la petitesse de % == a ; le
résultat sera d'ailluurs indépendant de la forme de^. Enfin pour avoir l'ébranlement total, Fresnel fait ensuite la e des ébranlements partiels; cette somme peut s'écrire:
Mjv
"■rfo)'
se Irouvc une bande infiniment mince. Considérons l'intégrale :
étendue à tous les éléments de celte bande ; cette intégrale sera infiniment petite, soit Vfjdr; r peut être considéré comme une constante pour tous les éléments de cette bande. Il viendra alors :
XWo)' ' = / radr —^ =r / a'e^-<«'Vir.
102. Dans ce qui suivra nous prendrons en général comme surface limite S une surface de Tonde, et la plupart du temps
nous supposerons cette onde sphérique.
Soit donc le centre de celte onde {fig. 15), P le point considéré [x^y.z) ses coordonneras, M le centre de gravité de d(ù\ (x\ y\ z') ses coordonnées ; r sera la distance MP et ^ Tangle que fait la normale OM à la sphère avec MP.
Joignons PO, celte droite rencontre la sphère aux points Q et Q'. Si nous décrivons du point P comme centre, comme tout à l'heure, deux sphères de rayon r et r -f- dr^ les deux courbes MN, M'N' se réduiront à deux petits cercles de la sphère S, ayant pour pôle Q, et que nous appellerons pour abréger cercles r et r -|- dr. Ces deux petits cercles limiteront
PniNC[PE DE HUYGHENS une bande infiniment mince et noua aurons
= f\'dm\
rintégrale étant étendue k tous les éléments de la Faisons un changement de coordonnées et pi détenniner la position d'un point de la sphère S i au point P, et l'angle v que Tait le plan MOP avec passant aussi par OP.
Menons par OP deux plans infiniment voieins <[ nés deux plans coupant la sphère suivant deux mi sant par Q et Q'. Ces deux méridiens et les deux et r -[- rfr découpent sur la sphère un petit quadr qui sera l'élément dio. Un calcul très simple mor
dto =^ — rdrd<f,
R étant le rayon de la sphère et a la distance OP. qucnt
Il faut maintenant fixer les limites de cette intégri Si la sphère est entièrement éclairée, il faut in ^ ^ et !p =^ 2n.
S'il y a un écran, deux cas peuvent se présenter cercle rest entièrement éclairé, et alors il faut int< entre et 2it ; ou bien le cercle r est en partie su il faut intégrer entre les valeurs de ^, ip, et ipj pondent aux bords de l'écran.
Supposons que nous ayons calculé <r : nous avons
Intégrons par parties en remarquant que
g vrrTar ^y. - . ^
^-•-4ar
V— la -Ti„ . I
ou
dr
Pour calculer la valeur du terme intégré, il faut savoir quelle est la plus petite valeur que puisse prendre r. Deux cas peuvent se présenter :
1» Le point Q est sur la partie éclairée de la sphère : la limite inférieure de r est alors PQ.
D'autre part, dans l'expression
= âf^'^f'
on peut regarder X comme une constante sur le cercler, et il vient :
, = - X / c^<p = Stt - X
= 2n^ll,[i + COS ^,).
Or au point 0, ^p = o et cos «f = 1, ce qui donne en définitive
103. Revenons au cas de la pphère, — Il résulte de ce qui précède que le l'arme tout connu est nul à la limite supérieure, qu'à la limite inférieure il est nul si le point Q est sur l'écran, et si le point n'est pas sur l'écran, il est égal à
En général l'intégrale du deuxième membre est négligeable, et on a simplement
Dans ces conditions, l a donc la même valeur au point P
qu'au point Q au facteur près — e' v^~^'*'*-qui exprime la variation de l'amplitude avec la distance (-) et la différence de
phase {e' v^~<«''.) ; on trouve par conséquent la même valeur de Ç que dans la théorie géométrique des ombres.
— Si le point P est k l'intérieur de la sphère, X est nul au point 0' et au point Q, car en chacun de ces points <J/ = tt et cos ^ = — 1, donc <y = o et Ç = o.
104, Puisqu'en négligeant l'intégrale
L'e-yl-^^^dr
nous retrouvons les propriétés géométriques des ombres, c'est cette intégrale qui doit représenter l'influence des phénomènes de diffraction.
L'intégration doit être effectuée entre les limites r^ etr^.
Nous aurons :
Kl g. 16.
Donnons k r un accroissement dr, nous obtenons le cercle r -[- c?r, qui rencontre le bord de Técran en M 4 et Mq, la valeur de cp en m sera tp^ + ^9\* ^^ ^" ^2^
?2 + ^?2- Appliquons la règle des variations sous le signe /
Nous ne pavons pas comment varie X, mais nous admettrons que X varie très lentement le long de la surface, puisque
la phase doit rester la même ; ■-r- sera fini et aussi/ ~c^, ce
terme sera négligeable, puisque nous ne considérons que les intervalles où <y' est très grand et que nous pouvons par conséquent négliger dans l'expression de «r' les termes qui sont seulement de grandeur finie.
Supposons qu'on parcoure le bord de l'écran dans le sens indiqué par la flèche ; soit s l'arc décrit dans ce sens :
M2M3 = ds^
M,M( =z ds^
Quand on marche dans le sens de la flèche, (p^ diminue ded^^.^^ (p^ augmente de 6^| .
Fig. 17.
1° -^ doil être de l'ordre de a ; :^ de Tordre de - ou de la dr crcp a
longueur d'onde X;
2° ^2 — ?4» c'est-à-dire l'angle sous lequel l'are M4M3 est vu de Q doit être uni.
Deux cas peuvent se présenter :
1* L'arc M1M2 est uni : comme r doit être sensiblement constant, il faut que M^Mj diffère peu d'un arc de cercle ;
2** L'arc M^Mj est infiniment petit; pour qu'il soit vu de Q sous un angle fini [fig, 17), il est nécessaire alors que cet arc passe très prés du point Q, et par suite que la droite OP passe très près du bord de l'écran.
