Correction relative aux lignes focales

M. Gouy, dans un récent tnavail, a montré que dans le calcul

de la quantité r, il était nécessaire d'introduire une correction relative aux li- gnes focales. Rappelons ce que sont les lignes focales.

ti\ -—4

(i) Soient S la surface de

l'onde, M un point de cette

surface ; la normale à S au (2)

c c, p point M sera un rayon lu-

M Ci P c.

(3) mineux. Soient C^ et Gj les

i'ig. 20. centres de courbure princi-

paux situés sur cette normale {fig. 20); considérons les points infiniment voisins de M et le faisceau des normales menées par chacun d'eux. Ce

que pour t = o elle se réduise à

et par suite soit nulle pour toute valeur de r non comprise entre r^ et r^ ; que pour ^ =o on ait

dt "^ r

enfin que l, fini et continu dans tout Tespace ainsi que ses dérivées, s' annuleà l'infini — cette fonction Ç sera entièrement déterminée, ainsi que nous l'avons vu au n° 95. Si cette fonction existe, il n'y en a qu'une seule. Or la fonction

satisfait à l'équation fondamentale — elle reste finie et continue ainsi que ses dérivées dans tout Tespace ; il ne pourrait y avoir doute que pour l'origine, c'est-à-dire pour r = o.

Mais pour r = o les deux termes du numérateur se détruisent; donc le numérateur et le dénominateur s'annulent simultanément et par conséquent l reste fini au voisinage de l'origine et peut même, si r est assez petit, être développé suivant les puissances croissantes de r et aussi de (a?, y, ^). En effet le numérateur change de signe quand on changer en — r : donc son développement par la formule de Mac-Laurin ne contient que des puissances impaires de r. Comme il faut diviser par r, le quotient Ç ne renfermera que des puissances pairos — il sera donc développé suivant les puissances de r^ et par conséquent suivant les puissances de os^ -{- y^ -\- z^.

'Csle

PBINCrPE DE HUYCHENS

ç ^ F (Vf + ■• )

lie valeur de ï représente une onde aphérrque convergente, :sl à-diie qui se propage ver» le centre de la sphi^re. Si au contraire

\t > r, ou 'Vt-\-r> Vf ;8t alors

onde est divergente, c'est-à-dire se propage en s'éloîgnant I centre de la sphère. Pour

ro < V/ < r„

)us aurons un'' combinaison des deux.

Nous voyons donc que l change j, de signe quand l'onde sphérique 'o ^/''^ de convergence devient diver-

gente. — Supposons pour fixer les idées qu'au temps ( =: (^i r = r,,, c'esl-à-dire que l'onde '''8 21- soit en Mj, et au temps ( = (,,

r ^ r,, l'onde soit en M^, de lé du ceniro Of/i?. 21).

CORRECTION RELATIVE AUX LIGNES rOCALES l'onde aura parcouru, pendant le temps (t, — {„). le ch

Au point M„, ô l'instant („, l'onde est convergente , F(V<. + r„

Au point H,, à l'instant (,, l'onde est divergente , F(V<.-r,) F(V<. + r„

Par conséquent la valeur de l au point M, à l'instant

la même qu'au point Mo à l'instant t^, au facteur pr

et au signe près; il y a donc une différence de phase de n

respondant à un retard de-- 11 nous faudra donc, quani

onde passe par un foyer, introduire cette correcliot; pourrait objecter qu'une onde de cette nature, c'est-j telle que ï, t[, ï soient fonction de ( et de r seulement, m rait être transversale, mais il est aisé d'étendre le rësu une onde sphérique quelconque.