Si nous avions choisi pour ^ la forme suivante
d F (Vf + r) — F (\t — r)
dm r
Ç vérifierait encore l'équation fondamentale, serait fii continu ainsi que ses dérivées même pour r = o. Pour
^~ dx r
l'oDde est convergente.
Pour
Vï>r,
S— rf F ;Vf — r) ^~ dœ r
l'onde est divergente.
l change encore de signe quand l'onde change de nature en passant par un foyer.
Nous serions conduits aux mêmes conclusions en prenant
pour i une dérivée d'ordrR quelconque, prise un nombre
quelconque de fois par rapport à chacune de? variables {a;,y,3),
A F ;V( + r) - F (Vf - r ) . ,. .
de — ^ '— ' ^ 1 ou même une combinaison
linéaire de ces dérivées. Ces conclusions s'appliquent ausisi & une onde sphérique quelconque qui, ainsi que nous l'avons vu au N" 90, peut toujours se mettre sous celle forme ; ï, -ri et C égalées k des combinaisons linéaires des dérivées de fonctions de r et de t.
110. Passage des ondes par une ligne focale. — Nous allons d'abord considérer un cas particulier simple, celui des ondes cylindriques.
Soit f la distance du point [x, y, x) à t'axe des x
p» = y> + zy s on a
^dz Ur si\~ z-"— \ = \IT^^W {zp + Vf)
;ette expression s'annule aux deux limites — i et -j- I.
— Comme nous supposons le mouvement périodiqup, nous liions donnera la fonclinnarbilraire F une forme particulière.
p ayant toujours la même signification et et elant é(cst à
7^^—j nous poserons :
F (zp -\- V() = cos (xîp + aVi) = cns [(LJtp -|- pt). Alors \ deviendra :
, / cos (ggp + pi) dz
La seconde intégrale est nulle, car la seconde fonction sous
e signe y est impaire, et les lioiiles sont égales et de signe
ontraire.
Il reste donc
cos HZp
Prenons une nouvelle variable u déflnie par la condition :
Zp = p — u
az ■=. •
Pour
^ 1= o, M = p et pour -r = ^ , m = o.
Substituons dans Texpression de <p.
^ ./—Ai. du
- J^ Vp» - (p - u)' ~ J^ V« (2p - M)
Si nous supposons que p soit très grand, — sera négligeable
Jp
vis-à-vis de Tunité et nous pourrons prendre oo comme limite supérieure.
Celte dernière intégrale est connue : elle se ramène facilement d'ailleurs aux intégrales de Fresnel ; sa valeur est
\fjze
PRINCIPE DE HUYGHËNS
Le chemin parcoui*a est donc égal non pas à un nombre entier de longueurs d'onde, mais à un nombre entier de longueurs d'onde augmenté de r-
Le passage par la ligne focale nécessite donc dans le calcul des phases une correction de ••
