L'application du principe de Huygens nous conduira

à la même conclusion :

^ Soient S une surface quel-

conque ; P, un point extérieur; PQ, une normale à S; M, le centre de gravité d'un Q t c p élément diù' de S, ayant pour

coordonnées [œ\ y', z*) [fig, 22). En conservant les notations que nous avons adoptées, nous aurons pour la première composante \ de la vibration au point P :

Kig. 22.

v/--ia p - 4. j

Xe-V-<ar^^^'

fde-^^'c/^

= — (je-v^-<«'' + i- Td'e '"^-^^'dz

Si le point Q n'est pas^très voisin du bord de Técran, les portions de l'intégrale relatives aux éléments diJ voisins du point Q exercent seules une influence sensible sur la valeur

et :

Pour évaluer 5, comme nous avons vu que / d'e-v^-^»'* était

négligeable, il suffit de substituer les limites dans le terme intégré. Pour la limite qui correspond au bord L, on a a = o, pour celle qui correspond au point Q, d a la valeur (2). Seulement dans le cas où les points sont dans Tordre QPG, cette dernière limite est la limite inférieure; quand les points sont dans l'ordre QCP, c'est la limite supérieure. Par conséquent, il faut changer le signe quand on passe d'un cas à l'autre et écrire :

(QPG) S = 5ç^g-»/IT«r.

(QCP) ç^^^^^g-^ar.

Tout se passe donc comme si l changeait de signe par le passage de l'onde à travers un foyer; il y a une perte de

phase de tt correspondant à un retard de -•

lis. Des raisonnements analogues s'appliquent à une surface S quelconque, sans faire d'hypothèse sur la forme de cette surface au voisinage du point Q.

Toujours avec les mêmes notations nous aurons au point P :

r ___y--la i^-Xe-^/'^^disy'

Ai: ! r

Prenons un autre système de coordonnées avec le point P

178 PUINCIPE DE HUYGHENS

Quant au second facteur e V-<«t^ i| faut calculer sa valeur au point M, c'est-à-dire la valeur de r en ce point. Or C^ etCj étant les centres de courbure principaux de la surface S au point Q, le point M étant très voisin de Q, on démontre que :

r = r^ -|- ma?* -f" '^y* en posant :

PC. PCj

■" 2QP.QG^ ~" 2QP.QG2

Les segments étant pris avec leur signe ; nous conviendrons donc de regarder PC comme positif si le point C est à droite de P, comme négatif si le point G est à gauche.

Cette expression de r n'est qu'une valeur approchée, obtenue en regardant a? et y comme des inûniment petits du premier ordre et négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second.

L'expression de \ prendra donc la forme :

Posons, pour mettre les signes en évidence :

v^ + vrïTi

I m I et 1 n I représentant les valeurs absolues de m et de n.

' 1 Lj •Ptj2

V 4QP^QC,.

QG,

L'intégrale se décomposera alors en un produit de deux autres :

La valeur de ces intégrales est connue. On sait en effet que : En posant x = [L^oux/y on trouve aisément :

/.^V.'^ = y/èl±^

ou en changeant V — ^ en — V — 1 :

Je *vC7.,«x»di„ = y/^ *-V-*

OU en réunissant ces deux résultats

et de même

Substituons dans l :

= 0§;fi!2 (, :p vc^) (1 == V-.).