HYPOTHÈSES DE KIRCHHOFF
115. Revenons au problème général de la diffraction. Nous avons démontré précédemment (98-iOi) le principe de Huyghens et donné l'application qu'en avait faite Fresnel. Nous avons trouvé
J \dn^ ^ dn) 47C
pour un point extérieur à une surface S, cette Tétant nulle
pour un point intérieur (pour la signification des notations, se reporter au § 98).
Pour déterminer \ il faut donc connaître les valeurs de Ç'
et de -T- aux différents points de S.
Fresnel choisit pour S une surface d'onde sphérique, par-
T est minimum ; pour FAA'F', aux points A et A'.
dx = o.
Nous avons une série de chemins
FA^AjF, FA^Air FA^A^P'
qui tous sont conformes à la loi de la réfraction ; on a donc en passant de l'un à Tautre:
dx = o et T = const.
Par conséquent, la différence de phase des rayons est la môme en Pet en F', et Tintensité sera aussi la même en ces deux points : ce qui autorise l'usage de la lentille. Seulement, si on rapproche de plus en plus la lentille de l'écran, le foyer F finira par se trouver en-deçà de l'écran; on aura encore des phénomènes d'interférence en F' ; mais on ne peut en conclure qu'il y en ail en F. Tous les rayons issus de F mettent, il est vrai, le même temps pour venir en F'; mais une partie d'entre eux est interceptée par l'écran, et les conditions d'interférence ne sont plus les mêmes en F' et en F.
Il nous reste maintenant à rendre compte de cette circonstance que les franges n'existent pas en-deçà de l'écran.
Kirchhoff a voulu l'expliquer à l'aide des hypothèses suivantes :
116. Hypothèses de Kirchhoff. — Il suppose que l'écran est un corps absolument noir, c'est-à-dire qui ne laisse passer ni ne réfléchit aucune lumière.
Ce corps diffère donc des métaux qui absorbent la lumière transmise sous une très faible épaisseur, mais réfléchissent une notable portion de la lumière qu'ils reçoivent.
la surface de l'écran regardant 0, G surface opposée de
récran {fig. 25).
c^- Soit \^ la valeur de \ en un
point (a?, y, z) extérieur à S.
Appelons respectivement, *, A»
B, G les valeurs de l'intégrale.
J \dn ^ ^^ dn) 4ir
Fig. 26.
étendues aux surfaces s, A, B, G.
Appliquons le principe de Huyghensà tout Tespace extérieur à «, et à la surface totale de l'écran (B + G).
D'autre part :
J \dn • dn) 47c
au voisinage de 0, on peut admettre que \ ne dépend pas de la présence ou de l'absence d'écran, le long de la surface B. Le long de G, on a:
Donc:
dn
Appliquons le principe à Ç^ pour l'espace extérieur à la surface S et à la surface de Técran :
\,=kJ^C
Raisonnons de même sur Ç, et intégrons le long des mêmes surfaces :
Par conséquent :
Il faudrait donc que G fût nul pour une portion de surface quelconque, quel que soit Ç^ et quelle que soit la forme de l'écran. Cela ne pourrait avoir lieu que si l^ était identiquement nul.
Cependant, si ces conditions ne sont pas rigoureusement compatibles, elles le sont au moins d*une manière approximative, quand on néglige les quantités de Tordre de la longueur d'onde. En se donnant alors deux des conditions, par exemple,
^ dn dn
les deux autres s'en déduiraient d'une façon approximative.
117« Nous ne connaissons pas suffisamment les propriétés des corps noirs pour pouvoir les mettre en équation. Il y a toutefois des cas où il serait possible d'écrire complètement les équations du problème de la diffraction.
Supposons, par exemple, que l'écran soit formé par un prisme de verre ; soit ABC une section droite de ce prisme que nous prendrons comme plan de la figure {flg. 26). Faisons tomber sur ce prisme un faisceau de rayons parallèles, perpendiculaires à son arête. Une partie HK du faisceau ne subit ni réflexion ni réfraction ; une autre partie MN est réfractée, enfin la partie PQ est réfléchie. Si la théorie géo-
Comme conditions aux limites, sur les faces du prisme, l
et — devront être continus.
an
Si les rayons n'étaient pas polarisés dans un plan perpendiculaire à Taréte du prisme, ou s'ils n'étaient pas parallèles à ce plan, si le corps avait une forme différente de celle d'un prisme, le problème serait beaucoup plus compliqué. 11 faudrait faire intervenir les lois de la réflexion vitreuse, et on ne pourrait plus séparer les trois composantes ^, i^, C ; il faudrait ainsi trois équations, chacune contenant ces trois composantes.
Si récran est formé d'un métal, on peut encore écrire les conditions aux limites; il est impossible de séparer les trois composantes, et la mise en équations est fort compliquée.
118. La mise en équations devient relativement simple dans le cas particulier où le métal est regardé comme un conducteur parfait. 11 suffit alors d'exprimer que la force électrique est normale au conducteur, formant écran. C'est le cas des oscillations hertziennes, vis-à-vis desquelles tous les métaux se comportent comme des conducteurs parfaits ; mais cela ne serait plus vrai pour les vibrations lumineuses, comme nous l'avons vu au n** 75.
Enfin les équations de condition deviennent encore plus simples, si on suppose que l'écran ait la forme d'un cylindre dont les génératrices soient parallèles à Ox. La première composante Ç doit vérifier l'équation :
AÇ + a»Ç =
De plus, l doit être fini sauf au voisinage de la source qui est ici l'excitateur. Au voisinage de l'écran, Ç doit être
HYPOTHÈSES DE KinCHHOP nul;carE,parall<^Ieà O^el, par conséquent est une cumposante tangentielle el la fore à l'écran.
Néanmoins la résolution du problème pi diflicultés, parce que la longueur d'ond l'ordre des quantités négligeables.
119. On pourrait s'attendre & trouver dai mènes de diffraction très intenses et absoli ceux que ferait prévoir la théorie géomél mais il n'en est pas ainsi. Gela tient d'i précision des expériences : ensuite ce résu surprenant si on compare ces phénomène d'électrostatique de la façon suivante.
Plus a. est grand, plus on 8e rapproche métrique des ombres. Supposons que « < et même, en passant tout de suite à la lin nul, alors
AÇ = o.
Cette équation est celle de Laplace.
D'autre part, l est fini et continu, sauf i source. Nous pouvons bien imaginer dans I électri^és, distribués de manière telle qui comporte dans leur voisinage comme 1 1 source. Au voisinage de l'écran, Ç = o. 11 e ce potentiel, si l'écran est en communicati
Or, dans ce cas limite, les expérience montrent que l'écran donne derrière lui électrique, et c'est dans ces conditions qu plus éloignés de la théorie géométrique dei
PROBLÈME GÉ>ÉRAL DK LA DIFFRACTION
120. Le problème de la dilTraclion est donc susceptible d'être posé de bien des manières ; maif', quelle que soil la façon dont on se le donne, quelle que soit la nature de l'écran, les phénomènes observés sont les mêmes II y a, il est vrai, une difTérence qui est évidente.
Soient une source de lumière, S l'écran (/î^r. 27). Parmi les rayons émanés de 0, les uns se propagent sans obstacle, les autres sont arrêtée par l'écran ; ils seront absorbés, si l'écran est un corps absolument noir; ils seront réfléchis, si l'écran est formé d'un métal.
Flg. 27.
Nous aurons donc seulement un faisceau transmis dans le premier cas, et au contraire nous aurons un faisceau transmis et un faisceau réfléchi dans le secord ras. Mais les franges de diffraction qui se produisent sur les bords du faisceau transmis sont les mêmes dans les deux cas, bien que les équations du problème soient très dilférentes.
Gomment cela se fait-il ?
Soient un point P (a;, y, z), Q le point de l'écran S le plus rapproché de P {/ig. 28;; représentons le bord de l'écran en
HYPOTHÈSES DE KIRCHHOFF EE', et soit H le point de ce bord le plus rapproché Posons :
MO = S PQ = r„.
Pour que les phénom^n<>s soient sensibles il faut que S
soit fini : autrement dit que B soit de l'ordre de vv l'ordre de la largeur des franges.
En général r^ est une quantité finie si nous considf comme étant du deuxième ordre, S étant de l'ordre sera du premier ordre i )a largeur des franges est do petite du premier ordre.
Si le point P se rapproche de Q, de façon & devenir mement voisin de l'écran, r^ devient de l'ordre de S.
quel/- soit fini, ce qui exige que S soit de l'ordre
c'est-à-dire du deuxième ordre ; par conséquent au voi de l'écran, la largeur des franges est très petite du dei ordre. Rigoureusement, comme l'épaisseur « de i'écra pas infiniment petite, il faudrait dire que cctie largeur l'ordre de \tX. Ces conclusions sont conformes aux ot lions, lesquelles montrent en effet que les franges devi de plus en plus fines à mesure qu'on se rapproche de I Or, pour trouver la valeur de 5 au point P, nous appliqué ta formule
en supposant que sur la parlie éclairée de S, Ç et -jr aient les
mômes valeurs l^ et — * que si Técran n'existait pas, et que
sur Técran Ç = -;-==: o ; en d'autres termes nous avons fait
an
le calcul comme si la théorie géométrique des ombres était applicable au voisinage immédiat de Técran, ce qui n'est pas rigoureusement exact ; il existe en effet sur le bord môme de récran des franges très fines comme nous venons de le voir, et sur une sorte de ruban mince dont la largeur est très petite du deuxième ordre, tout le long de Técran, nos hypothèses ne sont plus vraies.
Cette circonstance influera nécessairement sur les phénomènes qui se passent en P ; ce sera comme si la surface éclairée, au lieu d'être nettement limitée, présentait un bord en quelque sorte estompé, ce qui peut nous faire commettre sur la position de Técran une erreur e. Il résulte de ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent que cette erreur peut produire sur les maxima et minima en P un déplacement qui sera très petit du deuxième ordre, mais ce déplacement sera très pelit relativement à la largeur des franges en P, cette largeur étant du premier ordre, et nous observerons en P les mômes phénomènes que si la théorie géométrique était applicable sur récran.
Au point Q au voisinage de l'écran, nous observerons donc des franges dont la largeur sera très petite du second ordre et dont la position dépendra des données particulières du problème, entre autres de la nature et de l'épaisseur de l'écran.
En P, au contraire, à distance finie de l'écran, les franges auront une largeur plus grande, qui sera très petite du premier ordre, les franges précédentes n'auront pas d'influence
i PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DIPFHACnON
Dnns le cas généra), A est une fonction de {x, y, x, t),
iujetlie seulement à varier très lentemenl. Ici nous suppo-
'ons que A ne dépend pas de t, c'est-à-dire que le régime est
iblt et ne dépend pas non plus de y.
La condition de transversaiité se réduit alors à :
Posons pour abréger
Il faut que :
