CHAPITRE IX
123. Ondes cylindriques. — Soit une onde cylindrique, ayant pour axe Oœ; si les vibrations sont parallèles à Ox^
et la condition de transversalité devient
Ç ne dépend donc que de y, z, t.
Posons
y = p COS ti)
z = p sin 0),
? deviendra une fonction de p, (o, t.
L*équation
(1) A2Ç + an = O,
2u0 DIFFRACTION DES ONDES CONVERGENTES
à laquelle doit satisfaire $, prend en fonction de p, cd, la forme :
^ est une fonction périodique de <i> et peut être développé suivant la formule de Fourier:
Ç = A0 -(- ^< ^^S 0) + ^2 ^^8 ^^ "h ••• + ^n cos n(i> -|- jx^ sin u) -f- jXj sin 2<i) -[~ ••• "h H» sin no).
X^, X| ... X;,, jxq, jX| ... jXrt étant des fonctions de p. Substituons à l cette valeur dans (2).
l = Vx„ cos no) -j- y^(A/i sin wo)
= V — n*X„ cos nu) -(- V — n^jx^ sin wo.
Le premier membre de (2] doit être identiquement nul : les coefficients de cos nu> et de sin noi doivent être nuls identiquement :
Xn satisfait donc à Féquation différentielle :
Faisons a = 1 X„ = m.
,.. d^u . i du , ( , n*\
X,» doit rester fini pour p = 0. Les seules solutions de Téquation (4) qui restent finies pour p = sont de la forme
u = AJ„ (p),
A étant une constante et J„ (p) la fonction de Bessel :
, „ (l)T. .(!)• , (I)' il
+2)(nH-3)
Pour avoir X» il suffît de changer p en ap :
De même :
Xn = A„J„ (ap),
y.n = ^nh (ap).
Substituons ces valeurs de X;,a de [in dans Ç, il vient ;
l 1-=: A^Jo (ap) -|- J4 (ap) (A, cos co -f- B^ sin cd) -f-Jj (ap) (A3 cos2to)-|-Ba sin2(o) +. . .-{- J^ (ap) (A» cosno)-]- B^ sinno))
124. Nous allons appliquer cette formule à Tétude des phénomènes qui se passent au voisinage d^une ligne focale.
Flg. 29.
Soient un miroir en forme de cylindre parabolique (/f^. 29), ASB la parabole de base ; nous supposerons que les extrémités A et B sont également distantes de S : le plan mené par
Taxe SF de la parabole parallèlement aux génératrices du cylindre sera un plan de symétrie.
Une onde plane tombe sur ce cylindre : les plans d'onde sont perpendiculaires à Taxe SP. D'après la théorie géométrique de la réflexion, les rayons réfléchis pas^nt par le foyer F et les ondes réfléchies passent par la ligne focale, menée en F parallèlement aux génératrices du cylindre. Les rayons formeraient donc un faisceau limité par les plans parallèles aux génératrices, dont les traces sur le plan de la fîgure sont AFA' et BFB'.
Prenons la ligne focale comme axe des a;; comme plan des œy le plan contenant cet axe et Taxe SF de la parabole : ce sera le plan de symétrie. Posons ensuite :
y zn p cos <o ^ = p sin (0.
Supposons que la vibration soit parallèle à Ox ; nous pourrons écrire :
Ç = /•(p, <o) cos pt + f^ (p, <!)) sin pt,
\ doit vérifier l'équation
Aï + an = 0.
Nous avons trouvé que Ç devait alors être de la forme (^) :
î = AqJq (ap) -\- A|J^ fap) cos (o -(- A^Jj (ap) cos 2(o -\-
+ B4J4 (otp) sin <i> -|- BjJa (ap) sin 2<o +
Aq, A^, , Bq, B|, ne dépendent pas de p et de <o, mais
(1) Pour plus de détails sur les propriétés de ces équations et des fonctioDS Jn {p), voir Tisserand, Traité de mécanique céleste.
Bont fondions de t.
K„ = A, coa pt -\~ a; BÎn pt Bb = B^ C08 pt -|- B; sin pt.
Le plan des œp étanl un plan de Bymétrie, i ne change pas quand on remplace m par — «>, les termes qui conliennent les Biniis doivent donc être nuls, el l'expression de Ç se réduire
ï =2A,J„(«p}cOBnw
Si p devient très tp'and, nous pourrons calculer une valeur asymptotique de l. Nous avons donné déjà (85) une formule asymptotique pour J,, (p) :
Mri = ^fc„.(,-i).
D'autre part, )es fonctions J sont liées par la relation de récurrence :
»j.W = |tJ.-, (p) + J.., (p)l
j., (ri+j.*, ip) + --j,(i.)
quand p devient très grand, le second membre tend veni et approximativement :
d'où:
hn (p) = (- Ij-Jo
Pour calculer J^, nous ferons usage de la relation
d*où nous tirerons :
'• = \/ip ''" (p - i)*
En effet différencions :
'''''= \/è ^"^^p - i) - pV^'" («^ - î)
dp
Le second terme contenant p en dénominateur est négligeable, et il reste
^=.y/ïco8(p-j) = Jo(p).
D'une manière générale, nous aurons quel que soit n :
J»(?) = V/|co8(p-ï + n|).
Posons pour abréger :
et pour p très grand, nous aurons :
$ = ^^A^n (— 1)'* cos f cos 2nu) + ^EA^n+i (— 1)" sin ^ cos (2n + 1) o),
ce que j'écrirai :
(1) $ = HB cos ij; + HG sin ^
avec
B = ^Aj„ (— 1)» cos 2nû)
C = 2Aa„+, (— 1)'» cos (2n + 4) (o.
Hemarquons que les coefficients A^ et par conséquent B et G dépendent du temps. B ne contient que des multiples pairs de (o et ne change pas quand on remplace cd par tt — u>.
Au contraire C, qui ne renferme que des multiples impairs de ^>, change de signe quand co se change en tt — co.
125. Gette expression donne la valeur deE quand on s*écar(e beaucoup du foyer. Mais à une grande distance du foyer, il n'y aura pas de diffraction sensible ; nous pourrons donc
admettre que Tamplitude qui est en raison inverse de \/p, est égale à H à Tintérieur du faisceau et à o à Fextérieur. Il convient d'observer de plus que Tonde est convergente en-deçà du foyer et divergente au-delà.
Soit p la demi-ouverture SPA du miroir.
Pour les valeurs de «d comprises entre et + p, Tonde est
convergente, d'où :
î = H cos ( ap — 2 "hP^i = H cos(y + pt)
Pour (o compris entre + p et tc — p, on est en dehors du faisceau et il n'y a pas de lumière :
Pour ($} compris entre 7t — p et w, Tonde est divergente et
Ton a :
Ç = H COs(ij;— p^)
En comparant cette expression de Ç à Texpression (4) et identifiant les coefficients de cos ^ et de sin r^, nous trouverons :
p < co< TT — p
B = cos pt G = sinp^ B = o G = o B z= cospt G = sinp^
Ces fonctions B et G sont donc définies entre et tt et par conséquent entre — w et -f- 7t. Il suffit pour étendre la définition à ce second intervalle de changer co en tc — w, ce qui modifie le signe de G sans changer celui de B.
La formule de Fourier permet alors de calculer les coefficients A ; on trouve :
ONDES CYUriDRIOUES
126. Revenons à présent h la valeur exacle de l : dan: plan des xz, qui est le plan mené par la ligne focale perpen culaircment à l'axe SP, l'expression asymptotique d< serait nulle.
Pour ce plan focal, «o = - et par suite :
cos (2n + 1) o> = C0s2n(ù = (— 1)" Donc:
Pour achever le calcul nous allons nous servir de l'expr sion de Jj„ [cLp), sous forme d'intégrale définie suivant sinus et cosinus des multiples de y. On sait que:
gV^,ptt,9 j^^2\Crïj,sinip + 2J,C082T, + 2v/^J,sin = J, + a^Jj- cosânip + 2V^2 J,« + , sin {în+
En développant e*'-*»P™f par la formule de Fourier comparant, il vient :
