DISPERSION ET ABSORPTION DE LA LUMIÈRE PAR LES MILIEUX ANISOTROPES
146. Lés lois de la dispersion et de Tabsorplion de !a lumière et des radiations en généraJ, par les milieux cristallisés, ont été, dans ces derniers temps, l'objet de travaux importants Nous citerons en particulier les travaux de .M. Carvallo (*) sur la dispersion, ceux de M. Becquerel sur l'ahsorption.
Il s'agissait de savoir si les lois classiques de la douMe réfraction sont rigoureuses ou seulement approchées; on d'autres termes, si la surface d'onde est exactement une surface de Fresnel, ou si elle en diffère de quantités qui soient . c Tordre de grandeur des termes qui représentent la disper^ior.
Jusqu'alors on croyait que cette dernière opinion était la vraie. M. Carvallo a montré au contraire, en opérant sur .!«'s cristaux uniaxes, que, pour une couleur déterminée, la mu-
(*j Carvallo, TIiùsp.
face de Tonde se décompose en deux surfaces qui sont une sphère et un ellipsoïde, ou tout au moins les écarts sont de l'ordre des erreurs d'expérience. Il en sera probablement de même dans les cristaux biaxes. Quand on passe d'une couleur à l'autre» les deux surfaces changent de dimension, mais non de nature.
Ces résultats s'expliquent très bien dans la théorie de Helmholtz, comme l'a établi M. Carvallo, et comme nous allons le voir.
Nous prendrons la théorie sous sa forme la plus simple : c'est-à-dire que nous admettrons l'existence de deux sortes seulement de molécules matérielles, les unes mobiles, les autres immobiles.
147. Considérons un élément de volume dr : cet élément renferme des molécules d'éther, des molécules matérielles mobiles et des molécules matérielles immobiles.
Les molécules d'éther sont soumises aux forces provenant des molécules d'éther extérieures à l'élément dx et aux forces provenant des molécules matérielles ; les molécules matérielles de l'élément ds sont aussi soumises à ces deux espèces de forces, et en plus à une résistance, analogue au frottement et qui produit l'absorption. Soient p la densité de l'éther dans l'élément dx ; Ç, vj, Ç les composantes du déplacement d'une molécule d'éther; pi et ^o^io ^^ les quantités analogues pour les molécules matérielles mobiles.
X^c^T, Y^rfr, ZqC?t seront les projections sur les axes de la résultante de toutes les forces qui agissent sur l'éther de d-: et proviennent de l'éther extérieur à d-c.
Xc^T, Yci^T, Zd-: seront les projections de la résultante des
lumiArb. II. — 17
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actions des molécules matérielles sur Télément d*éther c?t. X^rfr, Y^(iT, Z^rfr, les projections de Taction résultante de Tétlier et de la matière immobile sur la matière mobile de dr et
les projections de la résistance passive. Les équations du mouvement de Téther seront :
(1) pf = x. + x
et deux autres analogues.
Celles du mouvement de la matière seront :
«t deux autres analogues.
Or (§ <37).
Pour déterminer X... X^... supposons qu*on donne aux molécules d'éther de Télément d-c un déplacement virtuel (tl, Bt), SQ et aux molécules matérielles un déplacement virtuel [Zl^f Stji, 8C|). Le travail virtuel résultant de ce déplacement sera :
f{XZl -f- YSt) + ZSC + X^SÏi + Y^Sti^ -f- Z^5C^) dx l'intégrale étant étendue à tous les éléments c?t du cristal.
Ce travail doit être égal à Taccroissement virtuel 8V d'un certain potentiel V.
Supposons, comme on le fait toujours, que le rayon d'activité moléculaire soit très petit, nous pourrons diviser le volume total en éléments dr très petits en valeur absolue, quoique très grands par rapport au rayon d'activité ; le potentiel total sera égal à la somme des potentiels partiels qu*on obtiendrait en ne laissant subsister qu'un seul de ces éléments. Il étant le potentiel relatif à un élément dx, nous pourrons poser :
V — f\ldr
sv =JmdT=J[ii\i\ -f- sx^ay dx
n est évidemment une fonction de £, t), Ç, Ç|, t)^, Ç^, donc
Identifions les deux expressions de 8Y.
r, dn rj àn
Substituons ces valeurs dans les équations (1) et (2), il vient
Comme les ; sont des quantités très petites, Il peut être développé suivant leurs puissances croissantes en négligeant les termes qui sont de Tordre de grandeur du cube des l,
n sera donc un polynôme du second degré par rapport aux Ç, et ses coefficients seront des constantes si le cristal est homogène.
De plus n sera homogène du second degré. En eflet, comme n n'est défini que par ses dérivées, il n'est déterminé qu'à une constante près, et nous pouvons annuler le terme de degré 0.
Dans l'état d'équilibre les Ç sont nuls et aussi les forces; les dérivées de n doivent donc s'annuler en même temps que les S, par conséquent les termes de II qui seraient du premier degré sont nuls.
Nous ferons sur Tordre de grandeur des coefficients les mêmes hypothèses que dans le cas des milieux isotropes {§ 139), les termes en R^ seront encore négligeables en général sauf pour certaines radiations très voisines des radiations absorbées, il restera
^QN ^*ï aï: d^ j dn
148. Nous allons considérer une onde plane dont la normale a pour cosinus directeurs /, m, n.
Soit Texponentielie :
où p = — > T étant la période, et at a pour partie réelle np, n
étant rindice de réfraction, et pour partie imaginaire le coefficient d'absorption A, et posons
Ç = As l^ = A,e
7) = Be ■'^i = ^4*
C = Ce Î4=C^8
(suivant une remarque que nous avons déjà souvent faite, nous ne conserverons en définitive que les parties réelles de ces expressions (§ 22-23).
D'après cela :
L'équation (4) peut s'écrire (S) hP% + rf(; = 0-
Posons :
Q = n + p,|(?î + viî + î:î).
Q sera encore un polynôme homogène du second degré par
rapport aux Ç.
dQ dn
dQ du . 3.
Introduisons ces expressions dans les équations (3) et (5), nous trouvons :
(6) fâ^ = ^'^-d^+d^
par permutation des lettres nous en obtiendrons deux autres, analogues à la dernière, de sorte que
dQ dQ dQ c?Ç| c?7)| dÇ^
Q étant un polynôme homogène du second degré, ces dérivées sont homogènes du premier degré. De ces trois équations nous pourrons donc tirer Ç^, t)^, C^ en fonction linéaire de S, 7), ^ en substituant à ^{, iq^ Ki ces expressions linéaires dans le polynôme Q, Q restera homogène du second degré par rapport à Ç, ïj, Ç.
Représentons par -^ la dérivée de Q par rapport à Ç, en considérant les six variables indépendantes et pa^.T^ cette dérivée en considérant l^, vj^, Ç^ comme des fonctions de \ définies par les équations^(6)
2Q__dQdQ(^dQdri^.dQd^ 1)Ç "~ û?Ç "T" c^^ cfÇ "•" rfT)^ dfi "^ dl:^ dX.
mais les trois derniers termes sont nuls d'après les équations (6) : il reste
c^Ç"" d\ Donc :
Les coefficients de Q dépendent de p, c'est-à-dire de la couleur considérée. Regardons pour un instant 2^, y), \ comme des coordonnées. Q = 1 sera Téquation d'un ellipsoïde.
En prenant pour axes de coordonnées les axes de symétrie
^vt-r;iT
de cet ellipsoïde, Q prendra la forme
149. Si le cristal est orthorhombique, il a trois plans de symétrie qui sont forcément les plans principaux de Tellipsoïde ; quelle que soit la couleur considérée, la direction des axes est indépendante de la couleur. Si le cristal n*est pas ortborhombique, rien ne nous autorise à supposer a priori que certains plans soient des plans de symétrie ; Torientation des axes peut alors dépendre de la couleur.
Remplaçons dans Téquation (7) les Ç en fonction de e :
M = AAe = — Aa^e [P -f- m^ + n^) == — AaU
= y\-f' = const. e
dQ
D'où :
et deux autres équations pareilles.
Posons :
puis remarquons que
9 = yA = V- 1 a (P, -\-m-^-i- ni,,
^dx
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nous aurons enlre ly vi, I;, les quatre équations :
[ («•-«)£ = -\Cn" aie
j (." — 6)1, = — V^Tam»
nous permettront d'éliminer i, ii, i;.
- v'^rî ., = ,. £5 = .. 2^ (- v/^ï .0),
,n défir.ilive
«Ue équation est celle de Fresnel. Les dimensioas de la 'ace et ta direction des axes dépendent en {général de la leur, puisque a, b, c en dépendent, sauT dans les cristaux système orlhorhombique où l'orientation des aies est épendante de la couleur.
lous avons supposé qu'il existait seulement une espèce de lécules mobiles. En en supposant un plus grand nombre,
nous aurions pu conduire le calcul tout pareillement, seulement nous aurions trouvé plus d'équations :
dQ dQ dQ
-jr-=0 — = •— =0,
dKi au d^n
équations qui donnent ^ ... ^^ en fonction linéaire de l, t), (, etc.
La théorie de Helmholtz rend donc bien compte des phénomènes de dispersion dans les milieux cristallisés.
Dans la plupart des autres théories, on est conduit k introduire des dérivées d'ordre supérieur, par rapport à x, y, z,
d*l telles que t-j» etc. Dans ces conditions, il est impossible
d'arriver aux lois découvertes par M. Garvallo, à moins d'introduire encore des dérivées d'ordre supérieur par rapport au temps.
