Mode de représentation des vibrations

Nous représenterons les variations de cette ellipse par les

déplacements de Taffixe de l'imaginaire u -|- yf--ivy c'està-dire du point ayant u pour abscisse et v pour ordonnée {fig. 41).

Si -r est réel, v = o, le point représentatif Q est sur Taxe

des u : la vibration est rectiligne puisque ^ est réel, Tangle de sa direction avec Oœ étant 6, on a :

j = tang 6 = M

Donc :

OQ = tang 6.

Si — est purement imaginaire, les deux composantes pré-

sentent une différence de phase de - ; la vibration est elliptique

et ses axes sont dirigés suivant les axes de coordonnées. Le point représentatif N est sur Taxe des v. ON est le rapport

des axes t- A

Si on a OP = 4, le point P représente une vibration circulaire — = v^— 1, de même le point P' tel que OP' = 4

ou Y = — >/— -1. La première vibration est droite, la

deuxième est gauche.

D*une façon générale d'ailleurs, les points situés au-dessus de Ow (t? < o) représentent des vibrations droites : les points situés au dessous (t? < o), des vibrations gauches.

Supposons que le rayon vienne à traverser une lame crisitaliisée, dont les sections principales sont orientées suivant les axes de coordonnées : Ç et ti se propagent avec des vitesses inégales ; leurs phases varient de quantités inégales, les

modules A^ et B^ ne changent pas, mais t- change et devient

THÉORIE DE M. MÂLLARD 279

par exemple

Le point M', qui représente la nouvelle vibration, sera donc tel que :

OM' = OM MOM' = iù

Tout se passe comme si le plan avait tourné d'un angle co autour du point 0, a> étant la différence de phase introduite par la lame cristalline. Pour des rayons de même couleur, cette différence est proportionnelle à la différence des temps employés par les deux vibrations pour traverser la lame, par conséquent proportionnelle à l'épaisseur de la lame et à son pouvoir biréfringent n — n'.

Pour des rayons de couleurs différentes traversant une même lame, n — n' est indépendant de la longueur d'onde si nous négligeons la dispersion ; la différence de temps est donc la même pour tous les rayons. Or (û est égal à 2ir quand cette différence est égale à une période entière : <» est donc en raison inverse de la période, ou en raison inverse de la longueur d'onde.

157. Proposons-nous de chercher quel sera, dans le mode de représentation que nous avons adopté, le lieu des points correspondants à des vibrations dont on donne soit l'orientation des axes, soit le rapport des axes.

Pour trouver ces lieux, nous nous appuierons sur le théorème suivant :

Théorème. — Soit une quantité complexe

I / — 7 a 4- bt

' c '- dt

a, b, c, d étant des constantes imaginaires, t une variable réelle — Qaand t varie de — oo à + «s , le point {«, v) décrit un cercle.

Désignons en effet par a^, b^, c^, d^ les imaginaires conjuguées de a, b, c, d:

Doù

• (c + dl) (c, + d^)

sv'^ P.

Pu Pv Pai Pi ^^^nt ^^^ polynômes du second degré en t. Ces polynômes ne peuvent donc être indépendants et nousaurons une relation de la forme :

équation qui représente un cercle.

Cela posé, considérons les points qui représentent les ellipses ayant leurs axes diriges suivant Oa^, Oi/, faisant un angle avec les axes de coordonnées.

Les projections des vibrations sur Oa' et Oy sont :

S' = S cos e + ^ ain 6 = {A cos 8 -|- B sin 9) e^^P'

if]' = — Î8in9 + ficosô = (— Asin9-|-Bcos9}c^'--^'"

THÉORIE DE M. MALLÂRD 281

Soit T le rapport des axes :

— A sin 6 -f- B cos 6 / — j

Acosô + BsinO ""

ou comme :

u + V— i V — tang 6 I — -

1 + (w + V— ^ ^) t-ang 6

Si nous cherchons le lieu des points tels que 6 = const, t sera

une variable réelle, liée à u + V — î^ par une relation homographique. Nous venons de voir que, quand t varie de — oo à -(-00 , le point (u, v) décrit un cercle. Ce cercle passera par les points P et P', précédemment déGnis [fig. 41). En effet, ces points représentent des vibrations circulaires, dont les axes ont une direction indéterminée.

Si nous laissons t = const, c'est-à-dire si nous nous donnons la forme de Tellipse et que nous fassions varier 6, c'està-dire Forientation de cette ellipse, tang est encore une

variable réelle liée à w + V — ^^ pa** une relation homographique. Le point (m, v) décrit encore un cercle.

Si nous prenons ON = t, ON' = ->le cercle passera par ces

points N et N', ces points correspondent à des ellipses ayant leurs axes dirigés suivant les axes de coordonnées : Tellipse N' est égale à Tellipse N, mais elle a tourné de 90«. Par raison de symétrie, NN' doit être un diamètre. Gomme d'autre part

1 = ON . ON' =I)P^ = ÔF^ les deux cercles NN' et PP' se coupent orthogonalement.

158.11 nous sera commode dans la suite de remplacer cette représentation plane par une représentation analogue sur la sphère; nous effectuerons cette transformation par une projection stéréographique, le plan des (w, v) étant le plan du tableau et TorigineO des coordonnées ; ur, le point de contact de la sphère avec ce plan. Cette projection, comme on le sait, conserve les angles, et les cercles se projettent sur des cercles.

Au point M du plan correspond le point m où la droite YM rencontre la sphère. Nous conviendrons de représenter l'ellipse M par le point m {/îg, 42).

Kig. 42.

L'axe des u se projettera suivant un grand cercle passant parO et que nous appellerons équateur. Les points de Téquateur représenteront par conséquent les vibrations rectilignes.

Soient Q un point de Taxe des w, q sa projection sur la

sphère,

OQ = tang 6

si nous prenons le diamètre de la sphère égal à 1, donc :

20 = OCq

THÉORIE DE M. MALLARD

Tangle des axes de Tellipse avec les axes de coordonnées sera donc égal à la demMongitude du point q.

Deux points diamétralement opposés ont des longitudes qui diffèrent de w. Elles représentent donc des vibrations rectilignes rectangulaires entre elles .

Fig. 43.

Les points de Taxe des v se projettent sur un grand cercle perpendiculaire à Téquateur, que nous appellerons premier méridien. Un point N se projette en n [fig, 43)

OCn = l = latitude OVn :

ON = tang 5

Le rapport des axes de Tellipse représentée par le point n est donc égal à la tangente de la demi-latitude de ce point n.

Pour le point P, OP — OV et par suite OVP = 45% et

OCp = 90**. Le point P se projette donc au pôle p de Téquateur. Les deux pôles de Téquateur correspondent aux vibrations circulaires, les divers points du premier méridien, aux ellipses dont les axes sont divisés suivant les axes de coordonnées. Ces ellipses sont droites dans Thémisphère nord, gauches dans Thémisphère sud.

L'orientation des axes ne dépend que de la longitude. Les lieux des points tels que B = const sont des cercles passant par p et p\ c'est-à-dire des méridiens.

La forme de Tellipse ne dépend que de la latitude ; les lieux des points correspondant à une forme donnée sont des parallèles.

Supposons que le rayon lumineux traverse une lame biréfringente, mais dénuée de pouvoir rotatoire. Si les sections principales de la lame sont dirigées suivant les axes, tout se passe comme si le plan autour de ou la sphère autour de OV tournaient d'un angle o) ; les points et V correspondent aux sections principales ; Tazimut des axes de Tellipse est proportionnel à la longitude. Mais les points et V ne jouent aucun rôle particulier ; quand on fait tourner les axes dans le plan des œy^ cela revient simplement à changer l'origine des longitudes.

Considérons une lame dont les sections principales aient une direction quelconque, l'une correspondant par exemple au point q^ l'autre au point g' diamétralement opposé, sur l'équaleur; Taxe ^r^' jouera le même rôle que OV précédemment. Le résultat sera le même que si la sphère tournait de (0 autour de qq\ Le passage à travers une lame correspond ainsi à une rotation autour d'un axe situé dans le plan do Téquateur.

THÉORIE DE M. MALLARD 285

Si la Jame possède le pouvoir rotatoire, sans avoir le pouvoir biréfringent, comme une lame de quartz perpendiculaire à Taxe, Tellipse conserve sa forme, mais son orientation change ;tout se passera comme si la sphère avait tourné d'un certain angle autour de pp' perpendiculaire au plan do Téquateur.

Si les deux effets de la biréfringence et du pouvoir rotatoire se superposent, les deux rotations de la sphère se composeront ; on peut alors les remplacer par une rotation autour d'un axe quelconque.

159. Application* Rôle des piles de mica. -~ Considérons une sphère dont le centre reste fixe ; on peut toujours faire passer cette sphère d'une position à l'autre par une rotation autour d'un axe convenablement choisi.

Supposons que la vibration traverse deux lames ; la première lame fera tourner la sphère autour de OV, par exemple, pour l'amener de la position (1) à la position (2) ; la seconde, autour de qq' pour l'amener de (2) à (3). Or on aurait pu passer directement de (1) à (3) par une seule rotation résultant des deux premières. Gomme nous supposons les lames dénuées de pouvoir rotatoire, les axes des rotations composantes seront situés dans le plan de l'équateur; mais, en général, il n'en sera pas de même de l'axe de la résultante, en disposant convenablement de nos lames, nous pourrons même obtenir que cet axe devienne pp\ Le système possédera alors le pouvoir rotatoire.

160* Notations. — Voici les notations dont nous ferons usage :

3«6 POLARFSATION hOTATOlRE

(AB) représentera la réauIUnte des deux rotations (A)... (B); n est UBé de voir que :