CHAPITRE II CALCUL DES PRIMES PURES

Intérêt composé. — Nous rappellerons très brièvement les principes du calcul des intérêts composés et des annuités en laissant de côté toutes les considérations étrangères au calcul proprement dit et que le lecteur trouvera exposées dans les traités spéciaux d opérations financières, en particulier dans l'ouvrage de M. Barriol*.

Quand le prêteur ne reçoit pas, à la fin de chaque période, les intérêts qui lui sont dus, ces intérêts s'ajoutent au capital prêté, et, ces sommes se confondant, il ne serait pas juste que le capital primitif seul rapportât intérêt, les intérêts non versés, constituant, au même litre que le capital lui-même, des sommes dues par l'emprunteur. Les intérêts ajoutés successivement à la fin de chaque période rapporteront donc intérêt au Iftux convenu pour le prêt.

Si C est le capital prêté en francs et e le taux , c'està-dire l'intérêt pour i fr. de capital au bout d'une période, la somme due au bout de la première période

est: Kj=C(i+0,

1 Barriol, e. s.

au bout de la deuxième période elle devient :

K, = C(i + OS , et au bout de la rf : K„ = C(i -f- i)". (i)

Inversement, si le capital à rembourser au bout de n périodes est K„, la valeur du capital C qui a été versé par le prêteur est donnée par la relation :

On dit que C est la valeur escomptée du capital K„ payable n périodes après Fépoque de l'évaluation, ou la valeur actuelle de ce même capital K„ payable dans n unités de temps.

Si C est le capital prêté, la somme due par l'emprunteur au bout de p unités de temps est :

et la valeur acquise par ce même capital au bout de n périodes est :

Donc: K^ = K,(i + 0"^""^^

Ky est la valeur actuelle de la somme K„ qui doit être remboursée dans (n — p) périodes.

Si la période devient k fois plus peftite , le taux correspondant étant 4 > le capital prêté C devient après nk petites périodes , ou n périodes primitives :

On dit que les taux i et 4 sont équivalents si K^ = K^, c'est-à-dire si :

i-fi=(i-f4y ou 4=(i4-i-)*i.

Si au contraire 4 = "i: > ks taux 4 et / sont dits proportionnels.

Si k augmente indéfiniment , c'est-à-dire si la période devient de plus en plus petite, on remarque que la valeur limite du capital prêté augmenté de ses intérêts composés est :

lim,„c(i +4)" = lim,^c[(i +4)^]"' = Ce-',

et que d'autre part :

lim;t^/c4 = ^ÎTOCikM (i + ' — ï J

=lim;tocA^| e^'"**^' '' *^ — I J = log(i -f i).

La limite de /c4 est le taux i de V intérêt continu équivalent au taux /. En effet, lorsque k augmente indéfiniment , la durée t de la période de capitalisation devient de plus en plus petite. La période primitive ayant été choisie égale à l'unité de temps : kt=iy et :

lim^too ^4 = lim, = o -y = i Donc : t = log( i -1~ •

Cette relation donne la valeur du taux instantané ou taux de l'intérêt continu t en fonction du taux ordinaire i.

Dans tout ce qui précède, nous avons supposé la durée du prêt égale à un nombre entier de périodes de

capitalisation. Lorsque ce nombre est fractionnaire : —,

Théorie math, des Assurances. 3

la formule à appliquer est encore analogue à la formule (i). En effet, si nous choisissons une période q fois plus petite, la durée du prêt devient égale à /) nouvelles périodes ; le taux ï équivalent au taux i primitif est donné par la relation

Au bout de p périodes, la valeur du capital C placé au taux i' est :

La formule (i) est donc bien applicable au cas des durées fractionnaires.

Annuités. — On a souvent à calculer la valeur actuelle à un taux donné / d'une suite d'annuités, c'est-à-dire d'une suite de versements effectués au bout d'intervalles de temps égaux. Le cas le plus fréquent est celui où toutes les annuités sont égales. Si leur nombre est n, et leur valeur commune a, le premier versement étant effectué à la fin de la première période, la valeur actuelle de la suite d'annuités, au début de la première période, est :

Si les versements étaient effectués au commencement de chaque période, leur valeur actuelle au moment même du premier versement serait :

On peut se proposer de résoudre le problème inverse : calculer la valeur commune des annuités a nécessaires au remboursement de l'emprunt d*une somme V en n années. Ce problème est résolu par les formules précédentes. Si les annuités sont payables en fin d'année :

Chacune d'elles comprend deux parties : V l'intérêt au taux / du capital restant dû, 2** le remboursement d'une fraction de ce capital. Si l'on met en évidence ces deux parties dans la k^ annuité, on aura:

a = \J + mi,

en désignant par V^; le capital restant dû et par m/j l'amortissement correspondant à l'annuité considérée. La (A-f" i)* annuité s'exprime de même :

La comparaison de ces deux relations donne nii^^ en fonction de nij^:

ce qui montre que les amortissements successifs croissent en progression géométrique.

On peut enfin se demander quelle est la valeur finale d'une suite de n annuités a versées soit au début, soit à la fin de chaque période. Si les annuités sont versées à la fin des périodes , cette valeur finale est :

iOO ASSURANCES SUR LA VIE

Elle est égale, comme on pouvait le prévoir à priori, à : V(i -|- 0"-

Si les annuités avaient été versées au début des périodes, la valeur finale serait :

Remarque. — Il est évident, et cela est d'ailleurs facile à vérifier, que la différence entre les valeurs actuelles d'un même capital payable à deux époques distinctes est égale à la valeur actuelle des intérêts de ce même capital servis périodiquement pendant l'intervalle.

Ainsi, la valeur actuelle d'une suite de n annuités a étant V, la valeur actuelle des intérêts ai du capital a payables pendant le même temps est \i. Or on a :

V/=a — a(i + 0~" et cette relation traduit précisément la remarque précédente.

En particulier, s'il s'agit d'une rente perpétuelle de terme a, comme le remboursement du capital n^est jamais efifectué , on a :

Yi = a,

ce que l'on pourrait écrire directement , en remarquant que :

Annuités viagères et capitau^i^ différés. —

Au paragraphe précédent, nous avons supposé que

les versements successifs étaient uniquement fonctions du temps et qu'aux époques fixées les paiements avaient lieu, indépendamment de toute circonstance.

Ces annuités sont dites certaines.

Nous allons nous occuper maintenant d'annuités telles que les versements dépendent non seulement du temps, mais de certains événements. Par exemple, les annuités ne sont payables que si un groupe de têtes déterminé est vivant à chaque échéance. Ce sont alors des annuités viagères.

On désignera, dans ce qui va suivre, par annuité viagère reposant sur une tête d*âge x, la valeur actuelle de paiements égaux à l'unité effectués d'année en année tant que cette tête existera.

Capital dififéré. — Calculons donc d'abord quelle est la valeur actuelle d'un capital égal à l'unité payable dans n années à la condition que la tête d'âge x existe à cette époque. Nous désignerons, suivant un usage généralement adopté aujourd'hui, cette valeur actuelle par la notation P^, et nous la nommerons capital différé en cas de vie ou simplement capital différé,

La valeur actuelle de i fr. payable d'une façon certaine dans n années est:

Mais comme cette somme de i fr. n'est payée qu*en cas de vie de la tête d'âge x, il faut multiplier cette valeur actuelle par la probabilité de vie de cette tête dans n années , et on obtient ainsi :

Dans rétablissement de cette formule, si l'on préfère ne pas introduire la probabilité de vie * , on peut raisonner de la façon suivante :

Prenons un groupe de v^ têtes d*âge x et supposons qu'on s engage à payer la somme de i fr. à chacune des têtes du groupe qui seront encore vivantes dans n années. On aura à verser dans n années une somme égale à Da.+„ francs, et la valeur actuelle de cet engagement est :

Exprimée en fonction de P", cette valeur actuelle est égale à ^x^l-

On a donc la formule :

équivalente à la formule (i).

De la relation (i) on déduit immédiatement la rela- . tion suivante :

c'est-à-dire: Pr''=PV,,

1 Gomme nous supposons les statistiques bien établies et la table de survie convenablement construite, nous n'emploierons plus le tour de raisonnement par la mutualité; mais, nous appuyant sur la réciproque du théorème de BernouUi, et les principes du calcul des probabilités étant admis , nous ferons constamment intervenir les probabilités de vie dans les démonstrations , qui seront ainsi rendues beaucoup plus simples et plus rapides. Ce n'est donc qu'à titre d'exemple que nous employons ici ce tour de raisonnement.

relatijon tout à fait analogue à celle que nous avons obtenue par la considération des probabilités de vie.

La formule (i) s applique au cas d'un groupe quelconque.

Rien en effet dans la démonstration n'oblige à considérer une tête unique. Il suffit d'y remplacer probabilité de vie d'une tête par probabilité de vie d'un groupe. Si l'on peut évaluer cette probabilité, on en déduit immédiatement l'expression du capital différé correspondant. X

Or la probabilité de vie d'un groupe de têtes s'éteignant au dernier décès s'exprime en fonction linéaire et homogène des probabilités de vie de groupes s'éteignant au premier décès. Pour nous limiter à deux têtes, on sait que :

Il en résulte que :

xy X I y xy*

Le problème revient à calculer le capital différé en cas de vie d'un groupe s'éteignant au premier décès. Or:

P" =/ (i + A-n ^ -p» ^ p-pVj 1 A»,

xy * ocyN 1/ J^ X y x y^ * '

On voit que l'analogie des formules relatives aux probabilités de vie et de celles qui sont relatives aux capitaux différés ne subsiste pas dans ce cas.

Si le groupe se composait de k têtes , on aurait :

Annuités viagères. — Nous pouvons mainte-

nant calculer la valeur actuelle d'une suite de versements de I fr. faits d'année en année tant que la tête d'âge X existe, c'est-à-dire l'expression de l'annuité viagère a^ sur la tête d'âge x :

a =p^ + p'+ ... Lp'+...

La somme s'étend à toute la durée de la vie de la tête considérée.

S'il s'agit d'un groupe de têtes , on aura de même :

Mais il est facile de montrer que, quelle que soit la nature du groupe G, P^ est une fonction linéaire et

homogène des expressions de capitaux différés reposant sur des groupes s'éteignant au premier décès, expressions telles que P* . Il en résulte que a s'ex-

A XIX2 ... Xji. •»• G

prime dans tous les cas en fonction linéaire et homogène des annuités viagères reposant sur des groupes de têtes s'éteignant au premier décès K Ce sont donc ces dernières seules que nous avons à considérer.

Supposons que l'on veuille calculer l'annuité viagère reposant sur Un groupe de trois têtes (xi, x^, x^) s'éteignant au premier décès. La démonstration et les résultats seraient identiques pour uti groupe quelconque de même nature.

XfX^x^ XiX^x^ I xixzx^ I I xiargars '

t Par exemple: a- = pi + P|; + ... = Pi + Pi-Pi,+ -

t= tta; + ^V — Ûtary.

Nous avons démontré la relatîon :

xix%x^ a?i.rjj-8 ' xj + 1, xj + 1 / a'j + 1 *

Dans cette relation, substituons à q les entiers successifs I, 2, ... et additionnons. Nous obtenons :

^•1X2^-8 xix^x^ \ ' xj + 1 , a*2 + 1 , .rs + 1 ' /

Cette formule de récurrence , appliquée de proche en proche à partir du groupe d'âges pour lequel :

XI + 1, xj + 1, xs + 1

en diminuant à chaque opération les trois âges d'une unité, permet de calculer l'annuité sur trois têtes d'âges quelconques.

On peut utiliser de même une foule d'autres formules de récurrence analogues, telle que la suivante :

a =(i-fa \P' +P' ,

xixgxs \ I xj + 2^ X2 + 2, X3 + 2/ x^x^x^ ' xjx^xs

qui, mise sous la forme :

a ={i-\-a , iP' +P' ,