XX.. .X XX.,. .r\ ' X + 1, X + 1, ... X
On peut ainsi construire des tables d'annuités viagères reposant sur des groupes de têtes d'âges quelconques, qui s'éteignent au premier décès. En pratique, on n'a généralement à sa disposition que des
tables d'annuités viagères sur deux têtes, et on en déduit, quand il en est besoin, les annuités viagères relatives à un groupe plus nombreux, au moyen de méthodes approchées, comme la suivante, due à Simpson.
Supposons que Ton ait à calculer :
;ri X2 x% Xif
On trouvera dans une table à double entrée d'annuités sur deux têtes a et a ,
Cherchons, dans la table relative à une seule tète, deux âges x et y , tels que
On prendra pour valeur approchée de a la
valeur a .
xy
Cette hypothèse conduit à des résultats exacts si la table de mortalité dont on fait usage a été ajustée au moyen de la formule de Gompertz, puisque la tête x a la même probabilité de vivre après un temps quelconque que le groupe x^x^* Mais dans le cas général d'une loi de survie différente de celle de Gompertz, on ne peut évaluer le degré d'approximation obtenu par cette méthode, qui ne donne pas des résultats très exacts.
Ainsi, calculons l'annuité a en utilisant la
table AF et le taux 3 Y^ %.
La table d'annuités viagères sur deux têtes nous donne :
a^ , =i5,ii2 = a^ ^^
ANNUITÉS VIAGÈRES ift?
Elle nous eût aussi donné :
et enfin : a = i2,365 = a
On voit que les deux premières valeurs obtenues sont assez différentes l'une de l'autre, tandis que la deuxième et la troisième sont très voisines.
La plupart des tables de mortalité actuelles ont été ajustées au moyen de la formule de Makeham, au moins à partir d'un certain âge. Ainsi les tables AF et RF ont été ajustées, au moyen de cette formule, à partir de l'âge de 25 ans. Or on sait que, d'après la loi du vieillissement uniforme, la probabilité de survie d'un groupe de k tètes d'âges a?i, x^, ... a?^, s'éteîgnant au premier décès, est, après un temps quelconque, la même que la probabilité de survie d'un groupe de k tètes de même âge ç, cet âge étant déterminé par l'une ou l'autre des deux relations équivalentes :
k logp^ = log p,^ + logp,^ + . . . 4- logp,^
A-^^ = y.i -f. )t2 -f- ... -[-Xi.
Il résulte de là que : a^^^^ ,,. ^^z=za^^ ,., ^.
Il suffira donc de construire des tables d'annuités reposant sur k têtes de même âge, ce qui simplifie
considérablement la question et réduit singulièrement le nombre des tables à construire.
Dans le recueil de Tables du Comité des Compagnies françaises, on trouve des tables d'annuités sur i , 2 , . . . 9, têtes de même âge. Si Ton calcule à l'aide de la table sur 4 têtes (AF, 3 Y2 Vo)' l'annuité a26;S5;48;62 ^^jà calculée plus haut par la méthode de Simpson, on trouve :
valeur exacte de l'annuité cherchée (à l'interpolation par parties proportionnelles près) , qui diffère des valeurs obtenues précédemment respectivement de G, no; o,o8i ; 0,082.
Vie mathématique. — Si les v^ têtes d'âge x meurent toutes en même temps à l'âge (a? -j- ai) , l'annuité viagère reposant sur ces têtes se réduira à l'annuité certaine payable pendant n années. On nomme vie mathématique à Tâge x la durée n telle que l'annuité viagère a calculée d'après la table soit égale à l'annuité certaine :
En particulier , si t = o ,
, a — .^L±lJ^±lJl — = m ,
m^ étant la vie moyenne à l'âge x diminuée d'une demiannée (voir la page 27), et :
limite ^ .' ^ =n pour 1 = 0.
Dans ce cas, et dans ce cas seulement, la vie mathématique n est égale à m .
La détermination de la vie mathématique n*a aucune utilité pratique.
Annuités différées et temporaires. — On dit
qu'une annuité reposant sur une tête d*âge x est différée de n années quand le premier versement de i fr. n'aura lieu qu'à la fin de la (/i-^j-i)*" année en cas de vie do la tête X. Si, adoptant une notation généralement admise, on désigne cette annuité par a , on a >
L'annuité est temporaire de n années quand les versements viagers de i fr. cessent à la fin de la n" année :
Ces définitions subsistent pour des groupes composés de tètes d'âges quelconques, et les formules obtenues sont de~même forme que les précédentes lorsqu'il s'agit de groupes s'éteignant au premier décès ^
Annuités en progression arithmétique. —
Nous verrons plus tard que l'on a fréquemment à con-
* Supposons qu'il s'agisse d'un groupe de 2 têtes d'âges (x, y) s'éteignant au dernier décès ; on a :
« JL = P?-^' + pl-^^ + ... = a" + aj - aï,.
xy xy * xy ' X * ¥ •**
Théorie math, des Assurances. 4
no ASSURANCES SUR LA VIE
sidérer des annuités viagères dont les termes successifs varient en progression arithmétique. Si l'annuité considérée ' repose sur une tête d'âge x, le premier terme étant p et la raison r, la valeur actuelle de cette suite de paiements est :
pa^ -f- rA^— ra^ = (p — r) a^ -f- rk^ ,
en désignant par A,, l'annuité dont les termes successifs sont : 1,2,3.,.
A.=p^+2P:+...+fep:+...
Si l'annuité A est différée de n années, on a :
formule analogue à celle qui est relative aux annuités à termes constants.
Si l'annuité A est temporaire et se compose de n versements annuels respectivement égaux à i , 2, ,.. n, sa valeur est :
A'"'=P' + 2P'+...4.nP" = A, — A**— na"
= K — Pl{K + n-\-na^^^), En particulier, si n = i :
Cette relation de récurrence permet de calculer de
ANNUITES VIAGERES 111
proche en proche les nombres A et d'établir une table de ces nombres.
Les annuités en progression arithmétique sur plusieurs têtes se calculent d'après les mêmes principes. Pour les groupes qui s'éteignent au premier décès , les formules sonj identiques à celles qui ont été obtenues dans le cas d'une seule tête. Les groupes qui s'éteignent au dernier décès se ramènent, comme de coutume, aux précédents, et l'on a, par exemple :
Annuités fractionnées. — Jusqu'ici, nous avons supposé que les termes de l'annuité étaient payés en fin d'année. Plus généralement, les raisonnements qui précèdent s'appliquent au calcul d'une annuité viagère dont les termes sont payables au bout d'intervalles de temps égaux à ceux qui ont été adoptés pour la table de survie choisie. Si la table donne le nombre des vivants de trimestre en trimestre, comme la table CR , et si l'âge X est exprimé également en trimestres, les
expressions P , P",... représentent les valeurs actuelles du capital i différé de i, 2 ,... trimestres, et les termes de l'annuité viagère :
sont payables trimestriellement.
Mais généralement les tables donnent le nombre des vivants d'année en année, et l'on a cependant très fréquemment besoin de calculer l'annuité payable par semestres, par trimestres ou même par mois. Un grand nombre d'assurés payent en elîet leurs primes semés-
triellement ou trimestriellement; car, pour beaucoup de personnes , il est préférable de verser plusieurs petites sommes dans l'année que d'en verser une grosse d'un seul coup. Les caisses populaires d'assurances doivent même prévoir le versement hebdomadaire ou mensuel des cotisations.
Supposons donc que les termes de l'annuité soient payables en k fois par an, tous les versements étant égaux et le k" ayant lieu à la fin de l'année. Désignons par x-a^, la valeur de l'annuité ainsi fractionnée :
+pr^+p:"+ ]•
On peut calculer exactement au moyen de la table de mortalité que Ton possède et au taux convenu les valeurs des capitaux différés d'un nombre entier d'années. Or, si l'on suppose qu'une interpolation par parties proportionnelles donne pour les valeurs intermédiaires des résultats suffisamment approchés, on aura : 1 p" i>» + 1
et, en remplaçant dans l'expression de ^a^, .*
,a.=p:+p:+...-'^^'^+^->-[p:-pL+pi-p:+...j
Le calcul précédent s'applique aux annuités différées et temporaires ; il s'applique aussi aux annuités concernant un groupe quelconque, aucune hypothèse n'ayant été faite sur x, si ce n'est celle de la variation, proportionnelle à Tâge, des capitaux différés entre deux âges distants d'une période. On peut donc écrire les relations suivantes :
k^xy k^x ~r fc^y k^ry ^'r/ I 'yJc '
Le plus fréquemment, les annuités que l'on a à CQnsidérer sont payables par semestres ou par trimestres, et les formules employées sont :
Pour établir les formules précédentes, nous avons supposé que, dans l'intervalle d'une année, la fonction P" variait proportionnellement au temps. Nous aurions pu faire la même hypothèse sur le nombre des vivants i> à l'âere x:
D'où :
tV
En additionnant les expressions analogues, on obtient :
ANNUI-liS VIAGÈRES 115
(i + ;)ï — 1 en posant:
Calculons S:
En retranchant la première expression de la seconde, il vient :
et, après réductions, on obtient:
A=T ï î r r^— Ti'(^+') (=')'
formule sensiblement plus compliquée que celle * qui est employée habituellement (i).
Annuité continue. — Si A augmente indéfiniment , la limite de jfl^ est l'annuité dont les termes seraient payables à chaque instant : c'est l'annuité continue à Fâge X :
dt.
On peut obtenir des valeurs approchées de cette annuité en partant de la formule (i) ou de la formule (2). La première donne en effet :
et la seconde :
I i I — ia^ t(i-|-i) — i{i — ia^
T~T+7 ? — t^-fO '
puisque : lim k[{i-\-i)^ — i] = ^ t^^^ d^ l'intérêt continu (voir page 97).
Prime unique et primes annuelles. —
L'assuré peut remplir d'un seul ccfup ses engagements par le versement d'une prime unique; mais, le plus généralement, il préfère verser des primes annuelles constantes, viagères ou temporaires. La détermination de ces dernières se déduit immédiatement de la pon-
* On peut remarquer que la formule (1) est indépendante du taux d'intérêt adopté. Il n'en est pas de même de la formule (2).
naissance de la prime unique de la combinaison considérée, et cela doit être, puisque dans les deux cas les engagements de l'assuré restent les mêmes : le mode de payement seul varie.
Si la prime unique de la combinaison considérée est n pour un assuré d*âge x , la prime annuelle constante et viagère de la même combinaison étant n, la valeur des engagements de l'assuré exprimée de deux façons différentes au début de l'assurance est , en supposant, ce qui est le cas général, que le payement des primes s'effectue au début de l'année :
n = CT(i4-a^).
Si le payement des primes est temporaire et dure n années , cette formule devient :
ii=n(, +«--»).
Enfin, s'il s'agit d'une assurance dont la prime annuelle varie en progression arithmétique de raison p, les primes successives sont :
CT, T3-{-p, r7-|-2/), ... xs-\-kp..,
et leur valeur actuelle , au moment du payement de la première prime , est la valeur de la prime unique de la combinaison , ce qui donne :
n = rj(i+a^)-|-/)A^, si le payement des primes est viager,
et: n = a(i+ar")+Mr". -
s'il est temporaire et doit comprendre n prîmes au plus.
D'une façon générale, si la valeur de la prime unique est indépendante de la valeur de la primé annuelle , et si Ton désigne par 11^, la prime unique d'une assurance reposant sur la vie d'un groupe g, par rSg la prime annuelle correspondante, et par Ug l'annuité viagère payable dans les mêmes conditions que la prime annuelle , on obtiendra la relation :
Ug = a^gy
en exprimant simplement que les engagements de l'assureur restent identiques quel que soit le mode de payement des primes adopté par l'assuré.
Il peut arriver que la valeur de la prime unique ne soit pas indépendante de la valeur des primes annuelles susceptibles d'être versées. C'est ce qui se produit pour toutes les combinaisons avec contre -assurance. Il faut alors joindre à la relation précédente une deuxième relation entre cr et II, relation qui dépend de la nature de l'assurance. (V. plus loin, page 178 et suivantes.)
Enfin, supposons que Ton convienne de payer chacune des primes annuelles en k termes égaux et également espacés, le premier terme de la première prime étant payable au début de l'assurance. Soit rs^ la «râleur de la prime annuelle totale de la combinaison considérée (chaque terme de cette prime a pour valeur
; on obtiendra sans peine les relations suivantes :
ANNUITÉS VIAGÈRES il9
dans le cas où le payement de la prime est viager, l'assurance reposant sur une tête d'kge x, et :
Tr(n) (n) I I (n) ^^ ^»>r .,^''^ I '/r D*\l
si le paiement des primes est temporaire, le nombre des primes annuelles fractionnées étant n au maximum. Si le paiement des prîmes était annuel, on aurait dans ces deux cas les relations :
= cî(i+aj,
D'où l'on déduit :
zs
Cl'">~
Si Ton adopte les formules habituelles
k I (n) Cn) t k — I
^^viiL=i 1 ^-i
■ cT A'-|-i ' 2ka^-\-k'f-i
in)
(fe-x)(i-p:)
2Aaf + (fe+i)(i-P:) ft— I
On voit que ces rapports dépendent de l'âge x de la tête assurée et du nombre des primes à payer. Ils varient d'ailleurs assez lentement avec l'annuité viagère et en sens inverse de cette quantité.
En particulier, si les primes sont payables semestriellement ou trimestriellement , on a :
^-^+/ia^+3' ^'-'-^-^■
a^ varie entre des limites assez
étroites :
environ. »cn.i^ u.v^u.\^ ^^xxnc> x ■ i t-i/ . x — i — r\ •
cj "^ 7 ' 9i
ANNUITÉS VUGÈRES 121
et — ^ entre i -| ç- et i -| ^ . Cependant les
Compagnies d'assurances sur la vie ont admis que ces rapports pouvaient être considérés comme constants et indépendants de Tâge de l'assuré. Elles se bornent à majorer de 2 ou 3 pour cent de leur valeur les primes annuelles lorsqu'elles sont payables semestriellement ou trimestriellement.
L'hypothèse est exacte lorsqu'il s'agit de personnes s'assurant à un âge voisin de 5o ans, et elle est admissible dans les limites de la vie humaine, étant donnée
la faible amplitude des variations de .
Si, passant à la limite, on imaginait que les primes soient payables à chaque instant, d'une façon continue, la valeur de la prime cj', payable ainsi pendant une année, serait liée à la valeur de la prime annuelle ny, payable au début de l'année, par la relation suivante, déduite de (i) :
«j, étant la valeur de l'annuité viagère continue. Cette relation pouvait d'ailleurs s'écrire a priori sous la
forme cy'a^ z=uli -{-a^.
Calcul des annuités viagères. — Nous avons obtenu précédemment une formule de récurrence permettant de calculer de proche en proche les annuités
viagères sur une ou plusieurs têtes, et par conséquent de construire des -tables d'annuités.
On peut se demander si, pour certaines formes d'équations de survie, on ne saurait obtenir l'expression de l'annuité viagère sous une forme algébrique.
Equation de survie de Moivre. — Supposons d'abord que la tête d'âge x considérée satisfasse à la loi de Moivre : v zz= 86 — x
«.=ir-(^+'r +if^(i+0~^+
= S^(^+r+-iE5(^+o-+
-x{{x+{)-^+ ... i-ii + i)-^--"')]
ANNUITES VIAGÈRES 128
Posons :
■ • . +(x-\-i){i-\- if ''*-''
(84 -ar)
S/==85 — iZZlLtii (x+i)(i+0-'''-''
"== = t^(86-cc) [^^' - I - (^' - 1) (I + 0' -x/(i(i+0-'''-'')]-
Telle est l'expression simple de a .
Équation de M. Laurent. — Si la loi de survie adoptée est celle de M. Laurent, on peut obtenir aussi
facilement une expression analytique de l'annuité viagère :
^= Ae'-4-BeP-+... [(Ae«^"'>+Be^-»+ . . .) (i +0"' '+ ]•
^Ae-+BeP--l-...W(ïip) +(l=p) +-i
+»i(T$rr+
Il suffit de faire la somme de progressions géométriques décroissantes *.
Les autres lois de survie, et en particulier celles qui sont le plus fréquemment usitées, ne se prêtent pas à des calculs aussi simples. Les deux lois précédentes sont les seules qui conduisent , pour le calcul de l'annuité viagère , à la sommation de progressions géométriques décroissantes : la première est abandonnée
1 Car a, p, y,... sont évidemment des quantités négatives.
depuis longtemps ; la seconde est , à plus d'un titre , intéressante et pourrait certainement conduire à des applications pratiques et à des interpolations satisfaisantes de tables d'expérience.
Tables d'annuités viagères. — Quoi qu'il en soit, on a reconnu depuis longtemps la nécessité d'éviter la répétition de calculs aussi longs et fastidieux que ceux que nécessite la connaissance de la valeur des annuités viagères aux différents âges, connaissance indispensable pour effectuer le calcul des primes pures des diverses combinaisons d'assurances sur la vie. Aussi a-t-on été amené à dresser des tables d'annuités viagères sur une ou plusieurs têtes, et l'ajustement des tables de mortalité au moyen des équations de Gompertz et de Makeham se prêtait singulièrement à l'établissement de ces tables d'annuités , puisque leur nombre se réduit alors à une ou à quelques-unes seulement, grâce à la loi du vieillissement uniforme.
En France et à l'étranger, on a donc construit des tables d'annuités viagères. Le volume des tables du Comité des Compagnies françaises, en particulier, comprend, à des taux d'intérêt variant entre 2 et 4 %» ^^s
tables d'annuités viagères sur i, 2, 9 têtes, toutes
de même âge, desquelles on peut déduire les valeurs
d'annuités viagères reposant sur i, 2, 9 têtes d'âges
quelconques. Elles contiennent en outre des tables d'annuités temporaires et des tables à double entrée d'annuités viagères sur deux têtes d'âges quelconques pour les taux d'intérêt ci -dessus. La construction de ces différentes tables a été faitç au moyen des formules de récurrence indiquées page io5.
Commutations. — Mais la connaissance des annuités viagères à termes constants ne sufiit pais au calcul des primes pures. Nous avons déjà rencontré d'autres éléments, tels que les capitaux difîérés, les annuités différées, les annuités dont les termes varient en progression arithmétique, etc. Les combinaisons d'assurances en cas de décès nous conduiront au calcul d*un grand nombre d'expressions du même genre. On pourrait construire des tables de ces différentes expressions, tout comme on a construit des tables d'annuités viagères. Mais le nombre de ces tables deviendrait rapidement très grand et augmenterait au fur et à mesure de l'adoption dç combinaisons nouvelles.
Tetens a le premier montré, en 1785, que, quelle que soit la loi de survie adoptée , on }>eut à l'aide de six tables seulement , pour un taux d'intérêt déterminé , calculer , d'une manière aisée et rapide , les primes pures de toutes les combinaisons reposant sur une seule tête. Combinées avec des tables d'annuités viagères sur plusieurs têtes , elles permettront de calculer les primes pures de toutes les combinaisons usuelles.
Les six tables de Tetens se nomment aujourd'hui tables de commutation. Trois servent au calcul des primes des combinaisons en cas de vie ; les trois autres sont relatives aux combinaisons en cas de décès.
Après plusieurs essaie plutôt malheureux, de modifications au système primitif de Tetens , on en est revenu à ce dernier, qui a été utilise par les Compagnies françaises lors de la construction des tables du Comité.
Assurances en cas de vie. — L'expression de
ANNUITÉS VIAGERES 127
la vateur actuelle du capital i différé de n années est, on s'en souvient :
Posons : D.^. = 7^ ( i -[" " ' •
■jc + n
Nous aurons : 1\ = - ,^ — .
Si l'on construit la table des D^. qui correspond au taux d'intérêt i adopté et à la table de survie choisie , le calcul des capitaux différés se réduira à de simples divisions. Si, au lieu de construire la table des D^., on a dressé la table des logarithmes de ces mêmes quantités, de simples soustractions donneront les logs des capitaut différés.
L'annuité viagère aj, a pour expression :
«^=pi+p:+-+p:+ .=.
n = oc
Posons : ZI^«: + n = ^a: + l ,
et construisons une table des quantités telles que ^x+i- L'annuité viagère «^ s'écrit : a^ = ^^^ ,
et le calcul en est immédiat.
Les annuités différées et temporaires s'expriment au moyen des N et des D :
Dans le calcul des primes annuelles on a fréquemment besoin des quantités (i -j-^a) ou (i -|-a^"~^^) :
i-h«x = Tr ^ +
Enfin, considérons l'annuité viagère dont les termes varient en progression arithmétique et sont successivement égaux à I, 2, ... n. Nous avons précédemment calculé la valeur actuelle d'une telle suite de payements viagers en fonction des annuités a :
A..=p:+2P:+...+np:+...
n = 00 Posons • 2.1^:c + n=S,.^l,
nous aurons : A^
et il suffira de construire une table des S pour obtenir immédiatement la valeur de A^ quand l'âge x est donné.
On obtient aisément les expressions de A" ,A^"^ :
p^^'^ p^ V" /îa"r=r- '^ + ^"~ •^+""^^ — ^^?^'^+*»+i
Les trois tables des quantités D, N, S, constituent les
tables de commutation relatives aux combinaisons en cas de vie : capitaux différés et rentes.
Assurances en cas de décès. — Supposons que le capital i soit payable au décès de la tête d*âge x si ce décès se produit pendant le cours de la (ai-|-i)*' année à partir de l'instant présent et supposons, pour rendre possible le calcul de la valeur actuelle de ce capital, cpie le décès ait lieu au milieu de cette (/i-|~i)® année. La prime unique de cette combinaison, payable au moment de la conclusion du contrat, a pour valeur :
Si Ton désigne par C^. Texpression suivante :
ji^
la prime unique calculée ci -dessus sera égale à - ^^" .
Si le capital i est payable dans le seul cas où le décès de la tête x se produit pendant l'intervalle (x -\- n) k (x-\-n -\'k), sa valeur actuelle est :
^x + n-\-Cx + n + l-\-'" (Qr ^ n ^ K-f-Gx -^ n ^ k + l-\- ' • -)
"" De
Lorsqu'il s'agit d'une assurance immédiate sur la vie entière de la tête d'âge x, la valeur actuelle du capital I , payable au décès, s'écrit :
Si Ton pose :
M,=c.„+a,,+...=sa,„
les formules précédentes s*ccrivent respectivement :
Ai
et: -j^.
La prime unique d'une semblable assurance vie entière au capital i différée de n années serait :
Car + n -f- Qg -f n + I -f" • • • ' ^x + n '
et celle d'une assurance immédiate , mais temporaire
de n
années
Supposons enfin que le capital assuré croisse d'année en année en progression arithmétique, qu'il soit égal à I la première année, à 2 la deuxième, etc., à n la ai®. Cette combinaison équivaut à une série d'assurances au capital égal à l'unité, souscrites pour la durée entière de la vie de la tète x considérée, la première assurance étant immédiate, la deuxième différée d'une année, etc. La prime unique s'écrit donc :
Si Ion pose: M,4-M^^i + ... = R3:,
on obtiendra , en calculant les valeurs successives de R^, pour a:= 1,2,... /?, une nouvelle table de commu-
tation présentant une certaine analogie avec la table des S. La prime unique de la combinaison étudiée
s'écrit : p." .
Si Tassurance est de même nature , mais temporaire d'une durée de n années, c'est-à-dire si le capital payable en cas de décès est i la première année, 2 la seconde, ...,/ila/i®, aucun capital n'étant dû si le décès survient pendant le cours d'une année ultérieure, la prime unique sera :
K — K^n — nM^^^
En eflFet, — ^ .^ "^ ^ " est la différence entre les
primes uniques de deux assurances de capitaux égaux successivement à 1,2, ...^, ... la première étant immédiate et la deuxième différée de n années. C'est donc la prime unique de l'assurance de capitaux successivement égaux à 1,2, ... Al les 71 premières années, le capital assuré devenant constant et égal k n k partir de la /i® année. Pour obtenir la prime unique de la combinaison considérée, il faut retrancher de la quantité
— j^ ^^* la prime unique de l'assurance vie entière
d'un capital n différée de n années, soit — îY^^ *
Calcul des primes annuelles. — Si les primes des combinaisons précédentes sont annuelles , constantes et payables en une seule fois au commencement
de Tannée pendant toute la durée du contrat, on obtient , en se reportant aux résultats obtenus au chapitre précédent :
Pour l'assurance -vie entière immédiate (capital i):
D.. >^ N, — N, ' Pour l'assurance -vie entière différée de n années
(capital i): ^£" ;
Pour Tassurance-vie entière d'un capital croissant en
progression arithmétique (capitaux 1,2, ...) : -1^ .
Si les primes sont annuelles et constantes, imais payables pendant p années seulement, elles se calculent au moyen des relations suivantes :
Pour l'assurance -vie entière (capital i) :
Xî '^ (immédiate),
OU lyr "^^"^ — (différée de n années) ;
Pour l'assurance vie entière de capitaux 1,2, ... /i ;
Pour l'assurance temporaire de n années d'un capital croissant en progression arithmétique : 1,2 ... n ;
Rx Rx + n f^^x+n ^
On voit que , quelles que soient la table de mortalité adoptée et la méthode d'ajustement employée , on peut construire six tables de commutation, analogues deux
à deux : les tables des D, N, S, d'une part, des C, M, R, d'autre part , permettant de calculer très rapidement les primes d'assurances , en cas de vie ou en cas de décès , reposant sur une seule le te.
On pourrait également construire des tables de commutation relatives aux différents cas de groupes sans réversion, qui peuvent se présenter, et en déduire les primes d'assurances reposant sur un nombre de têtes quelconque ; mais le nombre des tables nécessaires deviendrait rapidement très considérable, et on préfère construire des tables d'annuités viagères sur plusieurs têtes, tables qui se réduisent à quelques-unes relatives à des têtes du même âge, .lorsque la table de survie a été ajustée au moyen de l'équation de Makeham.
Changement de taux dans les annuités viagères. — Dans la construction de tables telles que celles du Comité, où les quantités D, N, S, C, M, R et les annuités viagères sont calculées à des taux différents : 2, 2Y4, 2Y2, ... 4Vo» ^^ tâche serait beaucoup facilitée si, par un calcul simple, on pouvait passer des résultats obtenus à un certain taux /, aux résultats analogues obtenus à un autre taux «', la loi de mortalité restant la même dans les deux cas.
Théorie math, des Assurances.
Oq voit que le calcul de N'^., dans le cas où la loi de survie est quelconque^ n*est pas du tout facilité par la connaissance préalable de la même quantité calculée à l'aide d'un taux différent.
M. Acbard {Bulletin de r Institut des actuaires français, n° 7) a montré que, si l'on adopte l'équation de survie suivante , extension de celle de Moivre :
v^ =(co 0?)"*
(o) étant l'âge extrême de la table) , la table des annuités viagères à un taux i' se déduit aisément de la table des mêmes annuités au taux i.
L'annuité viagère continue a pour expression, à l'âge X, en supposant vérifiée la loi de M. Achard :
i<.-x-trii-\-i)—'dL
Si i est le taux d'intérêt continu correspondant à i :
t = log(i+;), et si l'on effectue le changement de variable :
l'expression précédente devient :
/((!) — a-)t p Vc?p ,
ce qui donne :
OL^i est fonction de 1(10 — x) seulement. Si t varie, mais si la quantité t (w — x) reste constante, a^^i ne changera pas. Supposons donc x^ connu, et soit t' un autre taux. Déterminons un âge x' par la relation i(a) — x) = i\iù — x).
L'annuité viagère continue à cet âge et au taux »/
sera : a
De l'annuité continue, on déduira l'annuité ordinaire à terme annuel au moyen des formules obtenues précédemment (page 116). En particulier on peut prendre:
M. Achard a montré que sa loi est la seule qui jouisse de cette propriété*. La relation
conduit en effet à Téquation différentielle :
rf (oj — x) '
* M. Poterin du Motel fait justement remarquer que cette propriété s*étend à la loi :
Les relations précédentes s'écrivent alors :
(t + ft)(t^-a?)=(i' + fr)(«-a:')
Poterin du Motel, 2, page 201.
qui donne : y.^ = ,
