VJ

la prime constante de l'assurance avec réversion d'un capital égal à l'unité. Supposons que la tête x meure au bout de la A^^"® année, avant le terme du contrat. L'assuré y pourra atandonner son ancienne police et en souscrire une nouvelle lui assurant les mêmes avantages. La nouvelle prime annuelle qu'il aura à payer sera :

+ IL«— jc— 1) • F + t

Or il peut arriver que la prime cr' soit inférieure à la prime initiale zj et qu'il y ait , par conséquent , avantage pour l'assuré à abandonner son contrat pour «n souscrire un nouveau, de prime moindre, garantissant le même risque. Des exemples convenablement choisis permettent de s'en convaincre.

D'ailleurs, la police abandonnée n'est pas résiliée, mais réduite ; elle oontinxie à suivre son cours , mais n'assure plus qu'une partie du capital primitif: ia îéserve du Contrat, en effet, appartient à l'assuré, eomme on le verra plus loin , et, sauf payement d'une indemnité de résiliation , les Compagnies ne contestent pas les droits de l'assuré sur cette réserve. Il suffira donc à celui-ci de signer un nouveau contrat d'une durée de (n — k) années pour une somme égale à la différence entre le capital primitivement assuré et le capital de réduction.

La prime annuelle nouvelle pourra donc être inférieure à Tancienne , et c est une anomalie , puisque les engagements de l'assuré ont pu varier sans qu'aient changé ceux de l'assureur.

Un tel contiat ne doit pas être souscrit à prime annuelle constante pendant toute sa durée. Il faut en calculer les primes annuelles au moyen de la formule :

(n-1)' xy

Si les deux têtes vivent, en effet, le capital assuré est égal à l'unité et différé de n années. Si l'une des deux têtei^ meurt, on voit, à la seule inspection de la formule précédente , que la prime se réduit à celle qui assurerait le même capital différé reposant sur la tête survivante seule.

RENTES VIAGERES

Les rentes viagères peuvent être immédiates ou différées. La rente est immédiate lorsque l'entrée en jouisssance est immédiate, c'est-à-dire lorsque le premier terme de la rente est payable à la fin de la premièie période, celle-ci ayant commencé au moment même de la souscription du contrat. La prime, payable généralement à cette même époque , ne saurait être aatre chose qu'une prime unique , car il ne serait pas logique que le rentier continuât à payer des primes aloÊS qu'il jouit déjà des avantages stipulés au -contrat. Cette prime unique ne diffère évidemment paîs de ia valeur de l'annuité viagère à l'âge oonsidéré, miilti-

pliée par le terme annuel r^ de la rente. Les rentes sont généralement payables semestriellement ou trimestriellement : on prend pour valeur de la prime unique, suivant le cas :

2r^(a^ + o,25) ou lxi\{a^-\-o,ZY^),

r et r étant les valeurs du terme semestriel ou trimes- » t

triel de la rente.

Il peut être stipulé que la rente ne sera payée au rentier qu'en cas de vie pendant les n années qui suivront la souscription du contrat. La rente est alors temporaire, et il suffit, dans l'expression de la prime unique, de remplacer l'annuité viagère ordinaire par l'annuité temporaire a'*^ Ainsi la prime unique d'une rente viagère immédiate, temporaire de n années, et payable par trimestres, r étant le terme trimestriel de la rente et x l'âge du rentier au moment de la souscription du contrat, est :

/ir(ar + 0,375(1 -P:))

rN — N D — D T

La rente viagère est différée de n années lorsque l'entrée en jouissance a lieu n années après la souscription du contrat : si la rente est annuelle, le paiement du premier terme coïncide donc avec la fin de la ît année ou le commencement de la {n-\- 1)°. Dans ce cas, la prime peut être annuelle et temporaire. Il peut être payé au maximum (n-\-ï) primes : le paiement de la dernière prime coïncide alors avec celui du premier terme annuel de la rente.

Généralement, la prime annuelle d'une rente difîérée de n années est payable pendant la durée du différé , c'est-à-dire que le contractant aura au plus n primes à verser. La valeur d'une de ces primes annuelles est, en conservant les notations précédentes :

si la rente est payable annuellement, et :

T7 = kr, ; r— ^^ = kl

si la rente est payable par A**'"" d'année.

Sauf stipulation contraire, les rentes sont sans arrérages au décès ; il n'est rien payé pour la période pendant laquelle survient le déccs. Nous verrons plus loin au chapitre relatif aux combinaisons diverses {Rentes servies par la Caisse nationale des Retraites), comment on calculerait la prime dans le cas où la portion d'arrérages courue à l'époque du décès serait due aux héritiers (page 187).

Rentes réversibles. — Jusqu'ici, nous avons considéré des rentes immédiates ou différées sur une seule tête. Les rentes peuvent être servies périodiquement pendant toute la durée de vie d'un groupe quelconque. Si, en particulier, on considère un groupe de deux têtes d'âges x et y, la rente peut être payable jusqu'au premier ou jusqu'au dernier décès. Lorsqu'elle est payable jusqu'au dernier décès , la rente

est dite totalement réversible. La rente peut n'être que partiellement réversible : au premier décès , elle sera , par exemple, réduite du quart, de la moitié, etc.

La prime unique d'une rente annuelle immédiate r^ , reposant sur la vie d'un groupe (x, y) s'éteignant au premier décès, s'écrit :

a xy

et celle d'une rente totalement réversible :

ra- = r(a 4-a — a ]-

a xy a\ ic ' y xyj

Sans chercher à retenir la formule qui donne a—, en

*■ xy

fonction de a , a , a , on peut établir la relation précédente en remarquant que la prime unique nécessaire pour constituer sur chacune des têtes {x, y) une rente de terme annuel éffal à r est r fa -t-a ), et il suffit

de retrancher de cette expression la valeur actuelle d'une rente r , qui serait servie annuellement pendant toute la durée de la vie commune de x ei y, soit r a .

a xy

Un raisonnement analogue permet de calculer la prime unique d'une rente immédiate partiellement réversible. Supposons qu'une rente annuelle de terme r soit servie pendant toute la durée de la vie commune de trois têtes d'âges (x, y, z), que la rente devienne r' ,

quand une des trois têtes est morte, et r quand une seule tête survit. Si une rente égale à r était servie à chacune des trois têtes pendant sa vie entière, la prime de la combinaison serait égale à :

Mais en cas de vi* de deux des têtes seulement^ la rente se réduit à r' , alors que la formule précédente donnerait 2r . Il faut donc retrancher de II la valeur de la

rente (2/'^ — r\ servie tant que deux des trois têtes vivront :

II =r'(a A-a'A-a) — (ar — r)(a -f-a -A-a ]

Enfin, si les trois têtes vivent, la rente sera r et non

3(7'^ — r\, valeur que donnerait dans ce cas Texpression précédente. Il faut donc retrancher de lia la valeur de la rente fS^r — r\ — r 1 servie pendant la

durée de vie commune des trois têtes. La prime cherchée est donc :

Il=r (a-\-a-\-a\ — (ir ^-r \ (a 4-a -\-a )

a\ X I y t zj \ a a / \ xy i yz t zxj

La valeur de la rente dépend fréquemment de la tête qui subsiste. Ainsi la rente du mçiri peut être réversible pour moitié sur la tête d« son conjoint. La mort de la femme n'a alors aucune influence sur la valeur de la rente.

Reprenons l'exemple de trois têtes d'âges (x, y, z) , en supposant que la rente soit annuelle, \q terme de cette rente étant r quand les trois têtes vivent, r

xyz ^ xy

si X et y subsistent seules, r si x seul est décédé,

•^ yz

et r^ lorsque y meurt ; enfin r ^ r , r en cas de survie de l'une des têtes x, y, z, après la mort des deux

autres. En raisonnant comme précédemment, nous voyons qu'une prime unique égale à :

r a *-4-r a -\-ra

XX' y y * z z

assurerait à la dernière tête survivante la rente à laquelle elle a droit. Si deux têtes 3c et j, par exemple , subsistent, le terme de la rente ne doit pas être égal à Ir -\-r\, mais à r . Il faut donc retrancher de l'ex-

V X • 2// xy

pression ci-dessus la somme des trois expressions analogues à : (r -\-r — r \a '

^ \ X * y xyj j-j/

En continuant le raisonnement, on trouve pour valeur de la prime unique cherchée :

llz=r a -\-r a -\-j^a — (f' -\-r — r ] a

X X I y y ' z z \ X ' y xyj xy

\ y ' z yz] yz \ a • x zx) zx

^ \ X ' y \ ' z xy yz zx i xyz) xyz \ /

Tous ces raisonnements et formules sont évidemment applicables au cas de rentes dont les termes sont servis par fractions de l'unité de temps employée pour la table de mortalité et au cas de rentes différées ou temporaires, par la simple substitution des valeurs convenables pour les annuités viagères et pour les quantités telles que r , r, r , etc., qui, dans le cas d'une rente

servie en k termes par période, seront prises égales à k fois le terme de la rente.

On peut remarquer que rien, dans les formules qui précèdent, ne laisse supposer qu'il s'agisse d'une diminution ou d'une augmentation de la rente primitive, puisqu'il n'a été fait aucune hypothèse sur les valeurs respectives des différentes quantités r^., r^ , . . .

Toutes les fois qu'il s*agit d'une rente différée reposant sur plusieurs têtes et réversible , si le contrat est souscrit à prime annuelle , l'assureur ne doit pas consentir une prime constante, pour les raisons qui ont été déjà exposées à propos des capitaux différés avec réversion. Il peut, en effet, en cas de décès de Tune des têtes pendant la durée du différé, devenir avantageux pour les survivants de résilier le contrat primitif pour en souscrire un nouveau leur offrant les mêmes avantages, mais de prime moins élevée. On tourne la difficulté comme dans le cas des assurances de capitaux différés, en décomposant le contrat.

Ainsi la prime unique d'une rente viagère annuelle, égale à l'unité réversible sur deux têtes et différée de n années, a pour valeur :

xy X ' y xy

et la prime annuelle constante payable pendant toute la durée du différé serait égale à :

a- Ci -r-a — d

xy a; ' y ^ ry

* xy * xy

Si l'on prend comme valeur de la prime annuelle :

rs — ^ i , y i

V ' xy

cette prime assurera aux têtes a:; et j au bout de n années une rente viagère annuelle égale à l'unité et réversible totalement; si l'une des têtes, y par exemple, vient à mourir pendant les n premières années du contrat, la prime se ramène à celle qui assurerait la

Théorie math, des Assurances. 5

lâème rente viagère à la tête survivante au bout de n années, et cette dernière na aucun intérêt à résilier son contrat.

Rentes de survie. — Xa rente est dite de survie quand le service de cette rente ne commence qu'après le décès d'uae ou plusieurs têtes désignées. On déduit facilement la prime unique d'une telle combinaison des formules (i) et (2) relatives aux rentes réversibles.

Prenons le cas de deux têtes d'âges a? et y. La relation: •

11 = r,^a^ -f rfy — (r^ + 1\ — r^,)a,.,, (2)

donne l'expression de la prime unique assurant le service d'une rente r^^ tant que les deux têtes vivront simultanément , et d'une rente r^ ou r^ suivant que la tête X ou la tête y survivra.

Pour obtenir la valeur de la prime unique d'une rente de survie r^ servie viagèrement à y si cette tête survit k X, il suffit de remplacer dans la formule précédente r^. et /'a-y par zéro, ce qui donne :

Ili==:/V(ay — a,^).

Si le service de la rente de terme /• devait commencer après le premier décès, quel qu'il soit, du groupe constitué par les deux têtes x et y, la rente de survie serait dite réciproque, et l'on obtiendrait la prime unique correspondante en partant de la relation (i) écrite dans le cas de deux têtes :

et en y remplaçant r" par r et r par zéro, ce qui donne :

• ASSURAIfCBS EN CAS DE VIE 147

Il est tout aussi facile de passer des formules relatives aux rentes réversibles à celles qui s'appliquent aux rentes de survie lorsque les groupes considérés se composent d'un plus grand nombre de têtes. Ainsi , supposons qu'il s'agisse d'un groupe de trois têtes x, r, z. La prime unique destinée à assurer le service d'une rente r après le décès de la tête a?, tant que y et z subsisteront toutes deux, s'obtiendra en faisant, dans la relation (2) :

et 'V — '''

ce qui donne : ni = r(<f„ — ^xv^-

Si la rente est servie, après le décès de x , tant qu'une au moins des deux têtes survivra, il suffira, dans la relation (2), de faire :

''z, = r,= r^ = r et r, = r^ = r,, = rr,.= o,

pour obtenir la valeur de la prime unique :

n.2 = r{a,, + «* — «.„ — <^yz — ^zx + «-7/e) •

Si la rente est servie après le dernier décès de a: et y tant que z survivra , on obtiendra la valeur de la primo unique en faisant:

ce qui donne :

Ilg = r (a, — a^, — a,^ -f a^,,).

La relation (i) conduit tout aussi aisément à l'expression de la prime unique d'une rente payable après la mort d'une quelconque des trois têtes jusqu'au preniîer ou jusqu'au dernier décès du groupe restant.

Dans le premier cas, r„ = ra = o r'a==f% et la prime unique est :

lli = r(a^ -\- a,„ -[- a^^ — ia^^^) ,

et dans le second cas , /a=o r'a = r'l=zr,

II5 = r(a^ -\-ay-\-a,— a,,j — a^^ — a,^) .

Si enfin la rente est payable après les deux premiers décès quels qu'ils soient, jusqu'au décès de la troisième tête, on posera :

et on obtiendra :

n-e = r[a^ '\-ay-\-a,— 2{a„j -f a^, + a,.,) + Za^,\ .

On voit que les formules analogues à (i) et (2), écrites dans le cas d'un nombre de têtes quelconque , conduiront rapidement à l'expression de toutes les rentes de survie que l'on pourra imaginer, reposant sur un groupe composé du même nombre de têtes ou d'un nombre moindre.

Le même résultat pourrait être obtenu au moyen du raisonnement direct suivant :

Supposons qu'une rente de survie R soit servie viagèrement à un groupe V après le décès d'un groupe G, les deux groupes étant d'ailleurs absolument quelconques. Si la rente était servie pendant toute la durée de la vie du groupe F, la prime unique correspondante serait R.ap. Il faut en retrancher la valeur de la rente viagère R servie pendant la durée de vie simultanée de G et de F, soit R. a^ p, ce qui donne :

valeur que l'on désigne souvent par la notation R. aG

En particulier, si le groupe G se réduit à la tête x, et r à la tête y, on retrouve bien la relation déjà obtenue plus haut :

Le cas d'une rente de survie réciproque se traite de la même façon. En effet, dans le cas de deux têtes (x,y), si la rente est servie au survivant, quel qu'il soit, après le premier décès, la prime unique équivaut à la somme des primes uniques de deux assurances de rentes de survie simples reposant l'une sur la tête x, l'autre sur la tête y, soit :

Il n'y a aucune difficulté pour passer des primes uniques de rentes de survie aux primes annuelles des mêmes combinaisons. La prime annuelle ne peut évidemment être payée que jusqu'au moment où l'assuré entre en jouissance des avantages stipulés au contrat. Ainsi la rente de survie ordinaire sur deux têtes x et y ne peut comporter le payement d'une prime annuelle cr qu'autant que les deux têtes vivent simultanément. Si elle est payable pendant toute la durée de vie simultanée, sa valeur est :

+ «xi

Le plus souvent, comme nous l'avons déjà fait remarquer, les rentes ne sont pas payables annuellement, mais semestriellement ou trimestriellement. Si R est la valeur de la rente, payable en k fois dans

150 ASSURiNCES St]R LA TIB

rannéc , à un groupe F après le décès du g^upe G , la prime unique correspondante est:

et, si Ton adopte la formule approchée habituelle

on voit que

R.^ae = R («r — %^v) = ï^«^-

Le mode de payemeirt de la rente n'intervient pas alors dans la valeur de la prime unique.

Nous avons supposé jusqu'ici que l'entrée en jouissance de là rente de survie coïncidait avec le commencement de la période dans laquelle se produit le décès. Nous verrons ci-après (combinaisons diverses , page i63) quelles modifications il y a lieu d'introduire dans le calcul de la prime lorsque l'entrée en jouissance est fixée au jour même du décès. Au même chapitre, nous traiterons des rentes de survie temporaires (page i83).

Tables par âges à l'entrée. — Nous n'avons jusqu'à présent considéré que le cas où, dans le calcul des primes des diverses combinaisons en cas de vie, on utilisait des tables de mortalité indépendantes de l'âge à l'entrée. On peut se proposer d'étudier les modifications qui y seraient apportées par l'eniploi de^ tables de mortalité par âges à l'entrée.

M. Poterin du Motel a traité cette question dans une thèse insérée dans le n** i\ du Bulletin des

.Actuaires f tançais, et à laquelle nous renvoyon» nos lecteurs posur de plus amples détails.

Nous avons vu (page 38) que lorsqu'on se sert de tables de mortalité par âges à Feutrée, on peut ccmsidérer les primes versées annuellement comme une série de primes uniques successives et tenir compte ainsi de la sélection qui se produit parmi les assurés en cas de vie, du fait même duîpayement des primes. Si la prime annuelle constante destinée à l'assurance d'un capital difiFéré de n années reposant sur une tête entrée en observation à Fâge x est tj, le versement de cette prime au début de la première année assurera un capital difiéré ayant pour valeur :

Le deuxième payement ci assurera un capital dififéré

de (ai — i) années égala — iiriri, la probabilité -^-^

qui entre au dénominateur étant la probabilité de vie au bout de la [n — i)** année d'une tête entrée à l'âge (;r-fi).

Si C est le capital assuré par le versement des n primes , sa valeur sera égale à :

t7 est donné par la relation précédente.

Si la table est indépendante de l'âge à Feutrée, la relation se réduit naturellement à :