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TARIFS i99

sensiblement le taux de placement obtenu dans la pratique.

Il fut donc nécessaire d'ajouter aux primes pures calculées d'après les méthodes indiquées au chap. II un chargement destiné à couvrir les frais de toute nature qu'entraîne la gestion d'une entreprise d'assurances sur la vie , tout en ménageant à cette entreprise même un bénéfice légitime. On obtint ainsi des tarifs commerciaux sans participation; aucune partie du chargement n'avait été réservée en vue d'obtenir des bénéfices à répartir entre les assurés. Et en effet, avec des tarifs établis et chargés rationnellement , la participation n'a plus sa raison d'être. Pourquoi demander à l'assuré de payer une prime exagérée en lui promettant de lui rendre plus tard la moitié du trop perçu , à la condition toutefois que la gestion financière de l'entreprise ait été bonne? L'assurance au décès n'est pas un placement, c'est une œuvre de prévoyance, et rassuré ne demande pas à la Compagnie de gérer et de faire fructifier ses économies, mais de le mettre à l'abri d'éventualités désastreuses pour lui ou les siens.

Cependant, par habitude, et pour soutenir la concurrence des Compagnies étrangères, les Compagnies françaises firent paraître pour les assurances au décès un tarif avec participation dont les primes furent obtenues d'après l'ancien procédé employé pour les mixtes, en majorant de i/9 les primes commerciales sans participation. Nous allons indiquer comment on peut calculer rationnellement ces dernières.

Calcul des primes commerciales. — Nous désignerons, suivant un usage généralement adopté.

par n" et u" les primes commerciales, les primes au tarif, unique et annuelle, d*un contrat dont les primes pures correspondantes sont II et ct, et par F la valeur actuelle au moment de la signature de la police des frais d'acquisition y relatifs, déboursés généralenient à ce moment même (commission escomptée). L'encaissement des primes nécessite des frais : nous supposerons qu'ils s'élèvent à une fraction e des primes touchées. La somme réellement encaissée sera :

n"(i— e) ou u"{i — î).

Supposons que l'on ait évalué les frais annuels de gestion proprement dits de l'entreprise (loyer, achat et entretien du matériel , salaire des employés , impôts , etc.), et qu'on les ait répartis sur tous les contrats en cours, la part incombant à chacun d'eux étant constante d'année en année et égale à g. Ajoutons k g le chargement annuel b destiné à produire le bénéfice que l'on désire réaliser sur le contrat considéré, et, à cause de la difficulté d'évaluation de ces deux chargements, réunissons-les en posant:

Au début de chaque année d'assurance, au moment du payement de la prime , la Compagnie devra prélever sur cette prime une somme /. La valeur actuelle de ce chargement, au moment du calcul de la prime unique, est : /(i +%)»

en supposant que le contrat restera en vigueur aussi longtemps que vivra le groupe G,

Des explications qui précèdent résulte immédiatement la valeur de la prime commerciale unique :

(i-e)n"==n + F4-/(i-|-aa). (1)

Si la prime est annuelle et payable pendant toute la durée de vie du groupe F, on sait que

et la relation (i) donne :

En particulier, si les primes sont payables pendant toute la durée du contrat ,

et la relation (2) se réduit à :

Ainsi, si Ton considère un contrat vie entière à primes viagères, sur une tcte d'âge x, la prime commerciale annuelle du contrat sera donnée par l'égalité :

et si le contrat ne comporte que le payement de n primes au plus, on aura :

Il peut se faire que la prime pure cr soit foncticiri de la prime commerciale. C'est ce qui arrive poui* toutes les polices souscrites avec contre -assurance. La prime pure contient alors une partie qui doit servir au remboursement des primes commerciales versées dans certaines conditions. Nous reportant au chap. II, page 174, où le problème relatif aux contre- assurances a été traité, nous voyons que les formules générales (i) et (2) qui y ont été données doivent être modifiées de la façon suivante, après introduction des prime3 commerciales Tjs" et II" :

^ = clp+^'w^^ (3)

nT = Ct7«+tî''cj<«); (4)

car les primes qui sont remboursées en cas de décès de l'assuré pendant la durée du différé sont les primes commerciales et non les primes pures.

En portant ces valeurs des primes pures dans les relations écrites plus haut, on voit que la prime commerciale est donnée par une relation du premier degré :

(i — £)n" = crp + n"n^«^ + f +/(i + a«)

Rappelons que dans ces expressions II" et vf sont les primes, unique et annuelle, de l'assurance différée au capital I sans contre -assurance, que IF"^ est la prime unique de l'assurance au décès, temporaire de n années, d'un capital égal à l'unité , et enfin que cy^"^ est la prime annuelle de l'assurance temporaire au décès en progression arithmétique de capitaux successivement égaux à I, 2 ,... n.

Comme application, considérons l'assurance d'un capital différé C sur une tête d'âge x avec contre-assurance. La prime unique pure est :

n= cp:+ n"(i +o-Kï -p:-'«r)

et la prime unique commerciale est donnée par l'une des relations :

(,e)n"=cp:+ii"(i+o-5(i-p:-'«r)+F

c'est-à-dire :

cp:+F+yi(i +ar")

i-e-(i+0-i(i-P:-/ar)

C D.. , „ + FD... +yiN..-N. , ,)

La prime annuelle tj" de la mêmfe combinaison, payable pendant toute la durée du différé, s'exprime d'une façon analogue :

L*application des formules (i), (2), (3) et (4) conduira de même à la détermination de la prime commerciale des combinaisons usuelles avec contre-assurance : rentes différées, capitaux ou rentes de survie.

Si Ton reprend l'analyse faite à propos de l'assurance dotale avec contre -assurance, on voit que la valeur actuelle des engagements du contractant au début du contrat est :

en adoptant les notations habituelles (se reporter pages 178 et suiv.). La valeur actuelle des engagements de l'assureur se déduit de l'expression de la page 180 en y substituant simplement la prime commerciale u" à la prime pure rr et en y ajoutant la valeur des frais d'acquisition et des frais de gestion. Ce qui donne :

On obtient, en tenant compte des frais d'encaissement :

+ CD.,„4-y((N.- K.n) + FD.],

ou :

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