CALCUL DES RESERVES
A la fin de chaque exercice, au moment de l'inven^ taire, toute Société d'assurances doit calculer quelle somme totale elle est dans l'obligation de réserver pour faire face aux dépenses futures nécessitées par les contrats en cours. Bien que ce calcul ne sgit pas effectué pour chacun d'eux en particulier, la nécessité ne se faisant pas sentir d'établir pour chaque assuré un compte de réserve spécial, et bien que le résultat cherché soit aussi global que possible, nous commencerons par indiquer comment on peut calculer la réserve d'un contrat donné, calcul que l'on a à effectuer dans cer-
tains cas spéciaux. (Voir: rachat, réduction, transformation des contrats page 267 et suiv.)
Méthode générale de calcul des réservés, dite prospective. — Pour obtenir la réserve d'un contrat à un moment quelconque, il suffit d'appliquer la définition qui en a été donnée plus haut :
La réserve d'un contrat dassùrances sur la vie est la différence entre les valeurs actuelles -des engagements de Vassureur et de l'assuré.
Soit C le capital assuré. Négligeons d'abord le chargement et calculons la réserve en utilisant les primes pures. Soit donc Ccj la prime pure du contrat, absolument quelconque, que l'on considère, et ag la valeur de l'annuité viagère payable dans les mêmes conditions que la prime elle-même, à partir de l'instant choisi pour le calcul de la réserve. Désignons «nfin par II la prime unique d'assurance d'un capital égal à l'unité payable dans les conditions stipulées au contrat, l'assurance étant supposée souscrite au moment même où l'on effectue le calcul. La valeur des engagements de l'assureur est Cil : cette somme ^st en effet la valeur actuelle du capital C payable à l'échéance de la police. L'assuré s'engage à payer une prime Ccj annuelle pendant toute la durée de vie du groupe g : la valeur actuelle de cet engagement est égale à Cn a^, et Texpression de la réserve du contrat est donc:
V = C(n — a^nr). (i)
Ainsi la réserve au début de la deuxième année, après le payement de la deuxième prime du contrat
vie entière sur tête de 25 ans pris comme exemple plus haut, serait égale à :
/M Va = lo oooIyt^ — o,oi5 4i X
^) = ./i9fr.70.
Cette valeur coïncide bien avec celle qui avait été trouvée page 218:
92, 3o X i>o36 -[- i5/î,io = 249 fr. 70.
A la fin de la première année , immédiatement avant le payement de la deuxième prime, la réserve du même contrat était :
W. = xoooo[^-o.ox54x(x+|;)]
= 249,70-^ i54,ioi= 95,'6o
ce qui était évident à priori.
Le calcul des réserves est généralement eflectué au moment de l'inventaire, et immédiatement avant, ou immédiatement après le payement d'une prime annuelle. Si la prime est payable pendant toute la durée de vie d'une tête d'âge x, les formules à appliquer sont, suivant le cas :
V=Cn— Cny(i+a.) ou :
V, = en — Crja,.
Connaissant la prime du contrat, l'âge de l'assuré au moment de l'inventaire, la date de l'échéance et le nombre de primes à payer, le calcul de la réserve est immédiat et se réduit à des multiplications et à une soustraction, si l'on possède un barème de primes uniques H et d'annuités viagères a^.
Si l'on ne dispose que de barèmes de primes annuelles ^ :
et d'une table d'annuités a^., on peut transformer les formules ci-dessus de la façon suivante :
V = C(^-rT)(i+a..) ou :
Vi=C(7:i— ct) a,,.
Le calcul se réduit à une soustraction et une multiplication.
On voit que cette méthode est absolument générale et s'étend à tous les contrats possibles, souscrits sur un nombre de têtes absolument quelconque, pourvu que l'on connaisse la valeur de la prime qui doit être versée annuellement; le mode particulier de détermination de cette prime n'intervient d'ailleurs pas dans le calcul, et la méthode ||ne tient aucun compte des circonstances passées , mais seulement des circonstances futures: elle est dite prospect ire.
En particulier, si l'assuré s'est acquitté d'un seul coup en versant une prime unique, la valeur de la réserve mathématique du contrat sera GII , expression de la prime unique destinée à assurer les avantages stipulés à la police et supposée versée au moment du calcul de la réserve.
Le calcul des réserves se fait, dans les Compagnies d'assurances, par catégories, au moment de l'inventaire. La Compagnie doit calculer le montant des réserves à inscrire au débit du compte de chaque catégorie et à reporter au crédit du compte analogue de
l'exercice suivant. Le total de ces réserves constitue la partie la plus importante du passif.
Pour rendre ces calculs aussi rapides que possible , on a donc intérêt à grouper ensemble, autant que faire se peut, toutes les polices d'une même catégorie pour effectuer d'un seul coup le calcul correspondant.
Reprenons la formule (i)
V = Cn— a.Cnr.
Si l'on peut déterminer un groupe de polices pour lesquelles les quantités II et Qg restent les mêmes, le total des réserves afférentes à ce groupe sera :
2V = IISC — a,SCt7 = nSC — a,Sp (2)
en posant j9 = Ccj.
Il suffira de faire la somme des capitaux assurés et la somme des primes et de les multiplier respectivement par les nombres convenables trouvés dans les barèmes de primes uniques et d'annuités viagères.
Cette opération sera possible dans le cas de rentes viagères en cours et d'assurances vie entière à primes viagères sur une seule tête. La prime unique H et l'annuité a^ dépendent alors uniquement de l'âge des assurés: on groupera donc ensemble tous les rentiers ou tous les assurés en vie entière de même âge , et on considérera comme étant de même âge tous ceux qui sont nés entre le i*' juillet d'une année et le 3o juin de l'année suivante. Ainsi toutes les têtes nées du I" juillet 1870 au 3o juin 1871 sont considérées comme ayant exactement 36 ans au i'^'" janvier lOoy, époque de l'inventaire.
De plus, pour évaluer rannuité viagère a^, il faudra faire une hypothèse sur l'époque du payement des primes de tous ces contrats, ou sur l'époque du payement des rentes. Ces payements sont en effet effectués à des époques quelconques; mais, en général, s'il s'agit d'un groupe assez nombreux, ils sont répartis à peu près uniformément pendant la durée d'une période, et on peut admettre qu'ils sont tous effectués au milieu de la période: l'année pour les primes annuelles, le semestre ou le trimestre pour les primes et les rentes payables semestriellement ou trimestriellement.
Si la prime est annuelle, l'âge de l'assuré étant x, la valeur a^ de l'annuité à introduire dans la formule (2) serait (i -|- a^.) si la prime était payable immédiatement après l'époque de rinY.entaire et a^ si elle
venait d'être payée. On adopte généralement ( — f-^a^)
comme valeur de l'annuité payable au milieu de l'année, et la formule (2) devient :
On partage aussi parfois tous les contrats d'un même groupe en deux classes comprenant : l'une , tous ceux dont les primes sont payables pendant le premier semestre; l'autre, tous ceux dont les primes sont payables pendant le deuxième semestre , et on suppose que les primes jOj des premiers vont être acquittées immédiatement après l'inventaire et que celles p^ des seconds viennent de l'être. La valeur de a^ à adopter
pour les premiers est (i -\-a^) , et pour les deuxièmes : a^.
2V = nSC - (i + aj) 2/), - a^Sp,
On voit qu'il suffit de multiplier le total des primes soit par a^., soit par (i -|- a^), et, suivant le cas, de retrancher le total des primes du premier semestre ou d'ajouter celles du deuxième. En particulier, si le montant des primes du premier semestre est égal au montant des primes du deuxième , le résultat est identique à celui qui était fourni par la formule précédente :
SV==ri2C-(i + a,)Si).
Si la prime est fractionnée et payable k fois par an,
on remplacera a^ dans la formule (2) par -r-j" A> ^^
supposant encore les primes de tous les contrats payables au milieu de chaque période et en prenant simplement la moyenne entre l'annuité fractionnée à
terme échu j,a^ et l'annuité payable d'avance y-f-^ac.
Or la formule d'approximation de l'annuité fractionnée généralement admise donne :
et
Se
Il suffira donc dans tous les cas de calculer la réserve du groupe en utilisant la formule :
2V = n2C-Q + a.)vp.
Les polices autres que celles de rentes viagères immédiates ou en cours , ou d'assurances en cas de décès à primes viagères, se groupent moins facilement en vue du calcul annuel des réserves. On peut cependant faire entrer dans un même groupe les polices vie entière à primes temporaires, mixtes, à terme fixe, temporaires et différées, à primes payables pendant toute la durée de l'assurance ou du différé, à la condition que toutes ces polices présentent deux éléments communs :
L'âge de l'assuré à l'époque de l'inventaire ;
La durée restante du contrat ou du différé.
Les rentes viagères immédiates sur deux têtes, les assurances vie entière sur deux têtes , les assurances de survie à primes viagères, les assurances combinées ne nécessitent également que l'existence de deux éléments communs. Mais les autres combinaisons sur une ou plusieurs têtes exigent l'existence d'un plus grand nombre d'éléments communs , et les groupements deviennent de plus en plus difficiles. Ainsi, pour grouper ensemble des polices d'assurance différée dont les primes ne sont pas payables pendant toute la durée du différé, il faudra supposer l'égalité : i** des âges des assurés au moment de l'inventaire, 2° des nombres d'années qui doivent s'écouler avant l'expiration du différé, 3° des nombres de primes annuelles restant à payer.
Méthode rétrospective. — La méthode suivante.
dite rétrospective, est moins générale que la précédente; mais elle est parfois d'une application plus commode. Voici quel en est le principe :
La prime d'une assurance qui comporte le payement d'un capital C au décès d'un état de choses g peut se décomposer en deux parties : la première partie couvre le risque de décès pendant les k premières années > k étant d'ailleurs arbitraire ; la seconde est utilisée pour satisfaire aux autres conditions stipulées dans la police, c'est-à-dire pour constituer la réserve au bout de la If année, si l'assuré vit à cette époque. Cette seconde partie équivaut donc à la prime d'un capital différé de k années égal à la réserve du contrat à la fin de la k^ année.
Pour appliquer la méthode, on décomposera la prime , unique ou annuelle , en deux parties , comme il vient d'être indiqué, et on écrira que la deuxième partie est la prime servant à constituer au bout de la h^ année un capital différé égal à la réserve.
Par exemple, si Ha; est la prime unique d'un contrat souscrit sur une tête d'âge x assurant un capital C au
décès de cette tête, si II ^ est la prime unique de l'assurance au décès, temporaire de k années, du même capital, et y^^k la réserve du contrat considéré au bout de la k^ année , on aura :
On voit que si l'on dispose d*un barème de primes uniques d'assurances temporaires et d'un barème de capitaux différés , l'application de cette formule donnera aisément Va. + x:, réserve demandée.
RÉSâkVBS 231
Si la combinaison considérée comportait des payements en cas de vie pendant les k premières années du contrat (rentes viagères) au lieu de comporter le payement d'un capital au décès, il serait tout aussi facile de décomposer les primes et de calculer la réserve par le même procédé.
La méthode suppose que la réserve est susceptible d'être calculée à la fin de la A" année par l'emploi du capital différé, c'est-à-dire que, s'il s'agit d'une assurance en cas de décès d'un groupe , le vieillissement naturel intervienne seul. Ainsi la réserve d'un contrat souscrit sur deux têtes au dernier décès peut prendre trois valeurs distinctes suivant que les deux têtes sont vivantes, ou que l'une est morte au moment de l'évaluation. Mais on n'a pas à se préoccuper de celte question, car la réserve se calcule en fin d'année pour l'inventaire, et il n'y a pas lieu de la calculer à l'avance. Il suffit donc d'attendre l'époque de l'inventaire pour déterminer la valeur de la réserve , et l'on sait parfaitement alors dans quel cas on se trouve.
On voit que, par cette méthode , la réserve est calculée en fin d'année. On supposera, pour effectuer le groupement des polices, que toutes les primes payables pendant le premier semestre sont acquittées immédiatement après l'inventaire et que celles du deuxième semestre viennent de l'être. Le résultat obtenu par l'application de la méthode doit donc être augmenté de toutes les primes de polices souscrites pendant le deuxième semestre, primes supposées payables toutes ensemble en fin d'exercice.
Le groupement des polices n'est possible que si elles ont deux éléments communs : l'âffe au moment de
l'inventaire et la durée courue depuis le début de l'assurance jusqu'à cette époque ; en d'autres termes , ne sont susceptibles d'être groupées en vue du calcul des réserves par cette méthode que les têtes entrées au même âge.
Par contre, les engagements de l'assureur pendant les premières années du contrat sont les mêmes , qu'il s'agisse d'une mixte, d'une vie entière, d'une assurance temporaire au décès. On pourrait donc réunir pour le calcul des contrats de nature diverse; mais c'est un avantage dont on ne profite pas , puisque , d'après la loi, il faut établir les comptes de profits et pertes par catégories et par conséquent calculer les réserves par catégories.
Comme application de la méthode, prenons le cas d'une assurance mixte souscrite sur une tête d'âge a?, au capital C, pour une durée de n années, et calculons sa réserve à la fin de la k^ année d'assurance. Si l'assuré a versé une prime unique :
se libérant ainsi d'un seul coup de tous ses engagements, une partie de cette prime est destinée à lui garantir le payement du capital C s'il meurt dans le cours des k premières années :
L'autre partie est destinée à constituer la réserve au bout de la k" année si l'assuré vit à cette époque; c'est la prime de l'assurance d'un capital dififéré de k années égal à la réserve Vr + x; :
La méthode rétrospective conduit donc à Fégalité :
ou : V,,, = C M>: ^^-— ^^^n+D.x.» ^
La méthode prospective donne évidemment le même résultat. On le constate immédiatement en remarquant que :
Une décomposition analogue sera effectuée si le contrat est souscrit à primes annuelles. Soit p la prime que l'assuré s'est engagé à payer annuellement. Une partie égale à :
est destinée à assurer le risque de décès pendant les k premières années. L'autre partie, qui a pour valeur :
^^x — ^^jc disert à constituer la réserve à la fm de la k" année en cas de vie de l'assuré ; elle équivaut à la prime annuelle d'un capital différé Yj.^/. :
^^^^ ^\ V Dx4^ il
, (*r-l) ^x^k TV IV
On obtient donc :
fc'î
^x^k=p — n ^ — ïl • ^^f
^x + k Mr + k
La méthode prospective aurait donné le résultat suivant :
Or on sait que :
te P = ^ N — \ '•:,-
gt. -'x 1',.' + n ••
En substituant dans (2), il vient :
ou: V....=,-j5--^C-T5-^,
ce qui est bien l'expression obtenue plus haut.
Il y a donc bien identité entre les résultats obtenus par les deux méthodes, quand elles sont toutes deux applicables. Le tour de raisonnement seul diffère. La méthode prospective en effet ne s'occupe que des circonstances futures , et comme le payement des primes non encore échues au moment de l'inventaire ne sera pas suffisant pour garantir à l'assuré les avantages stipulés à sa police, il faut que l'assureur ait mis en réserve une somme assez élevée pour servir de complé-
ment, somme qui doit être égale à la différence entre les valeurs actuelles des engagementvS pour l'avenir des deux parties contractantes. La méthode rétrospective, au contraire, considère les circonstances passées et remarque que la prime payée jusqu'à Tépoque de l'inventaire a été trop élevée pour strictement garantir le risque tel qu'il était défini pour les années antérieures : l'excédent a donc dû être mis en 'réserve pour contribuer à faire face aux engagements de l'assureur, et c'est précisément la valeur de cet excédent au moment de l'inventaire que donne la méthode. Celle valeur n'existe réellement dans la caisse de l'assureur que si le risque n'a pas disparu : la réserve peut donc être considérée comme un capital différé.
Méthode de récurrence. — L'application au calcul des réserves de la méthode de récurrence, déjà utilisée pour le calcul des annuités viagères sur une ou plusieurs tètes, a donné d'heureux résultats. Il était tout naturel d'y avoir recours en cette circonstance : comme, à l'époque de l'inventaire, il faut, d'année en année, recommencer les mêmes calculs, on devait forcément songer à simplifier la besogne en cherchant à utiliser pour les contrats qui subsistent à la iïn de chaque exercice les résultats antérieurement obtenus..
Le problème consistait donc à chercher une relation simple entre deux réserves successives du même contrat. M. Fouret l'a résolu de la façon suivante :
Désignons par V^^;^. la réserve en fin d'exercice, à l'instant qui précède le payement d'une prime annuelle, d'un contrat, souscrit sur une tête d'âge x et qui a déjà k années de durée, par p la prime annuelle pure
du contrat, par C le capital qui doit être payé en cas de décès de l'assuré.
La réserve ^a^ + ky augmentée de la prime p qui va être acquittée, servira à payer le capital C en cas de décès de l'assuré pendant la (^-|- i)* année du contrat et à constituer la réserve Va^ + ^ + i en fin d'exercice en cas de vie du titulaire de la police à cette époque.
La valeur actuelle, à l'époque de l'inventaire, du premier engagement de l'assureur est :
Gif",;
en désignant par ll^\ la prime unique, temporaire d'un an, de l'assurance au décès d'un capital égal à
l'unité : U^'\=q ,(i + 0~^'
x + k Jtx + k^ I ^
et la valeur actuelle du second engagement est égale à la prime unique d'un capital différé égal à V^-^t+i»
soit : V , P' .
On obtient donc la relation :
ou : V =^îL±lZZ ■i±± (i)
On peut remarquer que cette expression dépend de l'âge {x-\-k) de l'assuré au moment de l'inventaire, et non pas de son âge à l'entrée dans l'assurance , ni du temps écoulé depuis la souscription du contrat.
Aussi, pour simplifier récriture, si Ton désigne par y l'âge (aj-f-A) de l'assuré, la formule (i) devient :
Si le contrat a été souscrit à prime unique dans le cours d'un exercice antérieur, p est nul, et la relation précédente s'écrit :
V — Cll''^
S'il s'agit d'un capital différé ou d'une rente viagère différée, pendant la durée du différé, le capital C payable en cas de décès est nul , et la relation corres-
V +/> pondante est : V ^ = "\ '-
si la prime est annuelle,
ou : V =-f
si la prime a été versée d'un seul coup.
Ces dernières ^relations sont d'ailleurs évidentes par un raisonnement direct, la réserve d'un exercice ne servant qu'à constituer la réserve de l'exercice suivant.
Enfin , s'il s'agit d'une rente viagère en cours de jouissance et si l'on suppose la rente annuelle, de terme r, payable immédiatement avant l'inventaire, on
aura la relation : V = rP' + P' V •
ou: V , = -f — r.
Si la rente est payable en k fois , il sera facile de remplacer r par la valeur des payements en cas de vie qui doivent être efiFectués dans Tannée,
On voit donc qu'à la condition de donner à C et à f des valeurs convenables, l'expression (i) est générale et s'applique à tous les contrats.
Si l'on calculait par la méthode rétrospective la réserve d'une police, souscrite sur une tête d'âge x, à la fin de la première année , on obtiendrait , en conservant les notations ci-dessus :
X + 1 pi '
relation qui est identique à celle que fournit la méthode de récurrence :
De même pour une année quelconque, l'expression (i) peut s'écrire :
ce qui s'exprime : l'augmentation de la valeur actuelle, au début d'une année d'assurance, de la réserve d'un contrat est égalé à la différence entre la prime réellement payée et celle qui serait suffisante pour couvrir le risque de décès pendant l'année.
Ceci montre l'identité des résultats obtenus par la méthode de récurrence et par la méthode rétrospective. Les trois méthodes étudiées jusqu'ici conduisent donc aux mêmes résultats.
On a reproché parfois à la méthode de récurrence
d*utiliser dans le calcul d'une réserve la valeur de la réserve précédente et d'accumuler ainsi les erreurs. La critique est fondée; mais, en pratique, le calcul des réserves n'exige pas une précision absolument rigoureuse, et la méthode de récurrence, d'emploi commode, donne des résultats suffisants.
Il faut remarquer, d'ailleurs, qu'elle ne peut s'employer, comme la méthode rétrospective, que lorsque la réserve peut être considérée comme un capital différé; par exemple, elle sera inapplicable lorsque la réserve pourra être soumise à une variation brusque dans le courant de l'année, comme cela peut arriver pour une combinaison sur plusieurs têtes, à capital payable au dernier décès.
Dans l'emploi de la méthode de récurrence,- pour grouper les polices , on procédera comme il a été indiqué précédemment, en supposant payables au début de l'année, immédiatement après l'inventaire, les primes des contrats souscrits dans le cours du premier semestre, et à la fin de l'ginnée, au moment même de l'inventaire, les primes des contrats souscrits dans le cours du deuxième semestre : on ajoutera donc cette dernière somme au résultat obtenu.
Un certain nombre de contrats disparaissent pendant l'annêej la réserve relative à ces polices disparait en même temps, et il faut nécessairement déduire du total des réserves au début de l'année les réserves, à cette époque, des contrats expirés. La formule (i) suppose , en effet , que la police de réserve V^ au début de l'année sera encore en cours à la fin de l'année , et la
valeur de la réserve correspondante sera V . La mé-
thode nécessitera donc le calcul des réserves des contrats qui expirent dans Tannée.
La formule (i) relative à un groupe de polices de même espèce-, les assurés ayant tous le même âge au moment de Tinventaire, s'écrit :
Les deux sommes : ilV et SV s'étendent aux
mêmes contrats; on a déduit, comme il vient d'être dit, la somme des réserves des polices éteintes dans Tannée, de la réserve globale précédente. 2/) comprend toutes les primes payées pendant le premier semestre pour les contrats non annulés pendant l'exercice; enfin, pour obtenir la réserve totale à la fin de l'exercice, il faut ajouter à SV la somme des primes reçues
pendant le deuxième semestre pour les contrats encore en cours au moment de l'inventaire.
Le groupement des polices est possible lorsqu'elles présentent un seul élément commun : l'âge de l'assuré au moment de l'inventaire, ce qui rend la méthode particulièrement avantageuse. Il n'en serait plus de même si Ton faisait usage d'une table de mortalité par âge à l'entrée; la présence d'un second élément commun : l'âge à l'entrée dans l'assurance, serait alors nécessaire, puisque le taux de mortalité dépend dans ce cas de ces deux éléments.
Primes d'inventaire. — Nous avons supposé jusqu'ici que les réserves étaient calculées à la prime pure. Or nous savons qu'il faut, pour obtenir la prime
RÉSERVBS 241
commerciale d'un contrat indiquée par le tarif, ajouter à la prime pure divers chargements répondant à des buts distincts, et dont l'étude a été faite au chapitre précédent. Ces chargements n'ont -ils pas à intervenir dans l'évaluation des réserves successives du contrat? Ne doit-on pas en conserver une partie en vue des exercices futurs?
Considérons une police comportant le payement d'une prime annuelle pendant toute sa durée. Si rr et ct" sont les valeurs de la prime pure et de la prime commerciale du contrat, on sait que l'on a la relation (voir page îîgi) :
F représente les frais d'acquisition, / les frais de gestion annuels, e correspond aux frais d'encaissement. Chaque prime xjs" payée comporte le payement de frais d'encaissement égaux à xs'i ; il n'entre eii réalité dans la caisse de la Compagnie que la somme :
(l-£)t^% et tout revient à supposer que cette somme est la prime réellement payée par l'assuré à la Compagnie. Sur chacun des payements annuels de l'assuré, la Compagnie peut prélever, au début de l'exercice, une somme/ destinée à couvrir les frais de gestion afférents
au contrat et une somme — i servant à amortir
les frais d'acquisition déboursés au début. Ces prélèvements effectués, il reste la prime pure, qui suffit à couvrir le risque de l'année en cours et à accroître,
Théorie math, des Assurances. 7*
comme il convient, la réserve en fin d'exercice. Il semble donc qu'il n'y ait pas à tenir compte des divers ^,.: chargements dans l'évaluation de la réserve, et les for-
Ç;* mules établies plus haut à la prime pure paraissent
^ suffisantes.
1^ Mais ces prélèvements deviennent impossibles lors-
p\ qu'aucune prime n'est payée au début de l'exercice, ce
fi qui est le cas pour une police libérée au moyen d'un
Èir-^- payement unique ou pour un contrat souscrit à primes
:?■" .. annuelles payables pendant une fraction seulement de
É' sa durée. La prime unique d'un contrat est en effet
f^ donnée par la relation :
•^ ' et si l'on peut faire abstraction des frais d'encaissement
I et des frais d'acquisition dans le calcul de la réserve,
i": puisque ces frais sont payés une fois pour toutes, lors
du versement de la prime unique, il faudra prévoir V une réserve pour frais de gestion aussi longtemps que
\ le contrat sera en cours. De même si la prime est an-
- nuelle, mais non payable pendant la durée totale de la
police :
il faut prévoir l'amortissement des frais d'acquisition et, de plus, réserver d'année en année des sommes suffisantes pour faire face aux frais de gestion pendant le cours des années où la Compagnie n'encaissera pas de primes.
Il est rationnel d'admettre que la commission escomptée F, dépense faite au début de l'assurance, doit être couverte par une série de versements viagers suc-
ccssifs égaux à — jp — ; on peut ainsi comparer celle
dépense à un achal d'usufruit ; mais , en somme , cet usufruit présente un caractère aléatoire étranger aux chances de survie du titulaire de la police et provenant de ce que le contractant peut toujours , à un moment quelconque, par le seul fait de la cessation du payement des primes , abandonner ou résilier son contrat. Il est vrai que, dans ce cas, l'assureur ayant entre ses mains la réserve , quantité qui ne doit jamais être négative , peut , lorsqu'il y a rachat ou réduction , prélever sur cette réserve une indemnité de résiliation.
Quoi qu'il en soit, les Compagnies préfèrent ou bien porter annuellement toutes les commissions payées à un compte spécial en les considérant comme des frais inhérents à l'exercice même où elles sont versées, ou bien les amortir en un "très petit nombre d'années, en un compte de commissions escomptées. Le procédé est d'ailleurs d'une bonne gestion; car la Compagnie, amortissant très rapidement ses commissions, se ménage ainsi, par le recouvrement du chargement pour frais d'acquisition contenu dans chaque prime encaissée, une source nouvelle de bénéfices qu'elle pourra utilement employer à la création d'une réserve de prévoyance.
En tous cas, ce principe d'amortissement rapide des commissions étant admis, il n'y a pas à tenir compte des frais d'acquisition dans le calcul de la réser\'e d'un contrat quelconque.
Les frais d'encaissement n'ont jamais , comme nous lavons fait remarquer plus haut, à intervenir dans le calcul des réserves; ils sont prélevés sur la prime
commerciale au moment même du payement de celleci, si Ton considère que la prime réelle du contrat est la somme (i — t)m".
Le seul chargement dont il y ait lieu de se préoccuper dans le calcul des réserves est donc celui qui a pour but de faire face aux frais de gestion annuels, lorsque le contrat ne comporte pas le payement d'une prime annuelle pendant toute sa durée. Aussi les Compagnies françaises calculent leurs réserves au moyen de primes d'inventaire uniques ou annuelles dont la valeur est :
II' = n+/(i+a„).
Ces primes comprennent la .prime pure et une partie destinée à couvrir les frais de gestion , ou , si l'on préfère, ce sont les primes commerciales dépouillées des frais d'encaissement et des frais d'acquisition.
Calcul des réserves au moyen des primes d'inventaire. — L'application des primes d'inventaire au calcul des réserves se fait aisément. On sait que. dans la méthode prospective, on considère la réserve comme la différence entre les valeurs actuelles, au moment de l'inventaire, des engagements de l'assureur et de l'assuré. Prenons un contrat souscrit sur une tête d'âge a? à la prime annuelle pure u, et calculons sa réserve au bout de k années. L'assureur doit payer le capital assuré C à l'échéance du contrat; il doit en outre faire face aux frais de gestion annuels égaux
à / jusqu'à cette époque. La valeur actuelle de ses engagements est donc :
n...+/(i4-«x..) = ii;.f.
Les engagements de l'assuré consistent dans le payement de la prime d'inventaire jusqu'à l'époque fixée. Supposons que le contrat comporte au maximum le payement de n primes annuelles {k<in), on aura pour valeur actuelle des engagements de l'assuré :
en supposant la prime payable immédiatement après l'inventaire. La réserve devra donc être égale à
D'une façon générale, s'il s'agit d'un groupe dont rage puisse être représenté par g au moment de la souscription du contrat et par {g-\-k) au moment de l'inventaire, tandis que le payement des primes est lié à un état de choses y, on a :
En particulier, si y = g, la réserve calculée à la prime d'inventaire est égale à celle qui serait calculée à la prime pure , car :
V;.. = n,..+/(i+a,,,)-(ny4-/)(i+a,,,
On devait s'y attendre; car, dans ce cas, la prime étant payable pendant toute la durée du contrat, on peut prélever chaque année, au moment du payement
de la prime , une somme destinée à subvenir aux frais de gestion qu'il n'y a pas lieu alors de faire intervenir dans le calcul de la réserve.
Pour l'application de la méthode rétrospective, un raisonnement analogue au précédent conduit à un semblable résultat. Distinguons dans la prime d'inventaire nj' une partie ïj'^*^ destinée à couvrir, pendant les k premières années du contrat, le risque dont la réalisation comporte le payement d'un capital aux ayants droit et les frais de gestion , et une seconde partie destinée à satisfaire aux autres conditions de la police, c'est-à-dire à constituer la réserve au bout de la k"" année si le contrat est en cours à cette époque. Cette seconde partie de la prime [cj' — u^^^ peut être considérée comme un versement annuel servant uniquement à la constitution de la réserve V^^;^. si le contrat est en cours à cette époque. C'est la prime annuelle pure d'un capital différé V^ + ^^^ :
[^'-nT-'»l[i+ar^]
^ g + k rjb •
La méthode rétrospective et la méthode prospective s'appliquent donc comme nous l'avons indiqué précédemment, à la seule condition de substituer les primes d'inventaire aux primes pures dans le calcul.
Pour appliquer la méthode de récurrence, supposons la prime d'inventaire u payable au début de l'exercice. La réserve V'^, à la fin de l'exercice précédent, augmentée de Tïï', doit suffire à régler le capital assuré en cas de réalisation du risque pendant la {k-\-iy année du contrat, à constituer la réserve Y^^i en fin d'exercice si le contrat subsiste à cette époque, et enfin à
payer les frais de gestion de Tannée. Si ces derniers sont supposés, comme la prime, payables au début de Texercice, ou mis en réserve au moment même du versement de la prime , on aura :
^p+i — pi
La formule de récurrence trouvée plus haut s'applique, à la condition de substituer la prime d'inventaire à la prime pure, s'il y a lieu, et de retrancher les frais de gestion du numérateur de l'expression
Réserves calculées à la prime du tarif. —
Autrefois, lorsque l'on utilisait les tarifs à la prime pure , on ne pouvait mettre en évidence le chargement , et on était obligé de calculer les réserves au moyen des primes du tarif. Supposons qu'il en soit ainsi pour un tarif chargé rationnellement; la méthode prospective nous donnera :
v;..=n;,,-nT"(i+aY..).
Les engagements de l'assureur sont représentés par
llg + k^ mais dans cette prime commerciale sont compris les frais d'encaissement et les frais d'acquisition qui ne doivent pas venir grever une police en cours. La commission est en effet versée au début de la police et ne peut l'être une seconde fois pendant le cours du contrat. D'autre part, les engagements de l'assuré sont représentés par cj"(i -[-«y +i)' "^^^^ ^^^^ cr" sont com-
pris les frais d'encaissement etj", qui n'ont pas à intervenir, et la portion de la prime destinée à amortir leâ frais d'acquisition, qui disparaissent au bout de trois ou quatre ans du compte de commissions escomptées, ou sont considérés comme des frais généraux d'un seul exercice :
La réserve V , s'écrit donc, en fonction de la réserve calculée au moyen des primes d'inventaire :
£±iJ__ Lztfi/i I ^ \
I — £ I— £ r~ Y + fc/
V va —a
La réserve V est donc trop forte de la quantité :
g + k g + k I — e'i — £ i-f-a toujours positive, car «^ > a ^.
Si le calcul de la réserve V ' , est effectué à l'aide
des primes du tarif Duvillard, les engagements de l'assureur seront, ainsi qu'on le sait, exagérés; de plus, aux âges moyens, la table étant trop rapide.
la valeur de l'annuité viagère est trop faitle ; pour ces deux raisons, la réserve est chargée, mais le chargement diminue au fur et à mesure que l'âge augmente , puisque la mortalité de la table est trop lente à la fin de la vie humaine, et les réserves peuvent même devenir insuffisantes.
Réserves des contrats avec participation.
— Les Compagnies ont l'habitude de majorer de i/9 comme les primes, les réserves des contrats avec participation, calculées au moyen des primes d'inventaire comme s'il s'agissait de contrats sans participation. La réserve W ^ d'un tel contrat après k années de durée est donc :
Les primes d'inventaire sont supposées majorées dans le même rapport que les primes 'commerciales; ce qui revient à supposer que tous les chargements sont majorés dans la même proportion, hypothèse en somme admissible, et qui serait absolument exacte si les chargements étaient proportionnels à la prime.
