JEU DES RÉSERVES
Nous avons fait remarquer plus haut (page 220) que les réserves des divers contrats ne sauraient être considérées individuellement, mais que leur ensemble agit comme un réservoir dans une canalisation hydraulique et que, dans le bloc des réserves, la partie afférente à chaque contrat perd toute individualité. Nous avons indiqué comment on calcule les réserves glo-
baies par catégories , ainsi que Texige la loi , et il nous reste à montrer la rationnalité et là nécessité du système par l'étude de son fonctionnement.
Considérons un contrat qui comporte le payement d*ua capital G en cas de décès de l'assuré. Deux réserves successives, calculées au moment qui précède le payement d'une prime annuelle cy, sont liées par la relation :
ou : V,,+nT=C9^(i+j)-^+V ^,p^(i + 0-\
en supposant les réserves calculées à la prime pure, ce qui n'a pas d'inconvénient au point de vue du mode de fonctionnement du système étudié.
S'il y a en cours Vy contrats identiques, garantissant le même capital au décès, et souscrits sur des têtes de même âge y, la réserve totale de ce groupe de contrats au début de l'exercice sera égale à :
Elle se divise en deux parties : l'une Ce? (i +«) * est destinée à couvrir les risques de l'exercice courant, l'autre v V ., (i-l-A servira à constituer la réserve
y + l y-Hl ^ I /
en fin d'exercice. Si l'on adopte l'hypothèse des décès simultanés au milieu de l'année et si l'on suppose la mortalité réelle des assurés exactement exprimée par la table , le nombre des décès qui se produiront sur les v„ têtes du début de l'année sera cf , et la
somme Cd (i -|-i) * devenue par capitalisation Cd
RÈSERTES 251
sera bien exactement suffisante pour payer le capital C au milieu de Tannée aux d assurés décédés. L'hypothèse des décès simultanés au milieu de Texercice est plausible lorsque le groupe considéré comprend un nombre de têtes suffisant, la répartition des décès dans le cours de Tannée étant sensiblement uniforme. On peut donc admettre , à cette condition , que Tëx-
pression: Cr/(i-[-t) ^ représente exactement au début de l'exercice la somme suffisant au payement des sinistres de cet exercice.
La seconde partie de Texpression(i) :
devient par capitalisation égale à : Uy+iV^^i à la fin de Tannée : elle est donc exactement égale à cette époque à la somme des réserves des Vy^^ contrats qui , d'après l'hypothèse faite sur la mortalité , seront encore en cours.
Au lieu de considérer un groupe de contrats identiques , on peut ne considérer qu'un seul contrat :
La quantité Cil ^^ décroît pendant Tannée et s'an-.
nule à la fin; V P^ croît et acquiert pour valeur
finale V^^.!. M. Poterin du Motel a représenté graphiquement cette variation de la façon suivante ^ Sur une droite horizontale prise pour axe des abscisses ^,
* P. DU Motel, 2, page 318.
2 Voir la figure page 254.
figurons les points A et B qui représentent les âges consécutifs j et (j-|- i) et portons sur les ordonnées de ces points les longueurs AC, CD, BE qui représentent respectivement Cn^^\ V P^ et V . On
peut admettre que la droite CB représente du commencement à la fin de l'exercice la variation de la réserve
pour Texercice courant, qui passe de la valeur ÇIl ^
à la valeur zéro. La variation des ordonnées comprises entre les droites CB et DE représentera la variation de la réserve pour exercices futurs , réserve qui varie
de V P' à V . Si Ton prolonge ED et BC
jusqu'en M , on voit que :
