MC CD 1 MB — EB— ^Z

Si l'on considère un autre contrat souscrit au même capital que le précédent sur une tête présentant le même risque de décès :

W-fni=Crf'' + W P\

la droite BC représentera encore la variation de la réserve de ce nouveau contrat pour l'exercice courant, et la droite E'D' qui représentera la variation de la réserve pour exercices futurs sera telle que l'on ait :

mc cd;^ I

MB— E'B —^v'

Ceci montre que le point M est un point fixe pour tous les contrats comportant le même risque pour l'exercice considéré.

En particulier si l'on considère la droite MNP parallèle à AB, cette droite correspond à un contrat pour lequel les réserves au début et à la fin de Texercice sont

CIl'^^ égales: ct + V=V . = ^,-.

La droite MNP sépare les droites représentatives des contrats à réserve croissante et des contrats à réserve décroissante.

M. Poterin du Motel considère la droite MSe telle que: B6 = AS (i -(-«). Elle correspond à un contrat dont la réserve s'accroît simplement de ses intérêts du commencement à la fin de Tannée : le risque de décès et le risque de vie se balancent exactement, la police devient neutre comme un terme fixe dont toutes les primes sont payées. On a alors :

(i + Oa + rT) = V,,,

en adoptant l'hypothèse du décès de l'assuré au milieu de l'année, c'est-à-dire :

La réserve au début de l'année est exactement égale à la valeur actuelle du payement à faire au milieu de l'année si le décès se produit. Elle se capitalise simplement au taux / si le décès n'a pas lieu.

Pour les assurances où le risque de décès domine , l'éventualité la plus fâcheuse étant le décès de l'assuré -

la partie la plus importante de la réserve au début de l'année est celle qui correspond au risque de l'exercice courant. La réserve s'accroît donc moins vite que si elle se capitalisait purement et simplement pendant l'exercice, ce qui arriverait si les deux risques vie et' décès se balançaient exactement. On a donc :

ou: V.+ny-Cy.(i + 0-^ < (i-[-/) (V, + cy),

La droite représentative MDE d*un contrat où le cas de décès domine se trouvera donc au-dessous de MSs.

Pour les polices qui comportent en cas de vie des payements plus considérables qu'en cas de xiécès , c'est l'inverse : droite MD'E'. La ligne MSs est donc la

ligne de démarcation entre les assurances en cas de vie et en cas de décès.

Le graphique de la page 25/; représente donc la variation annuelle de la réserve d'un contrat quelconque qui comporte en cas de décès de l'assuré dans l'année le payement d'un capital C.

La représentation graphique de la réserve d'un contrat de rente viagère en cours de jouissance serait analogue, à cela près que les payements en cas de décès dans l'année sont remplacés par des payements en cas de vie. La réserve pour exercice courant est égale à la valeur actuelle des arrérages qui seront versés dans l'année au rentier, s'il est vivant aux échéances. Dans un tel contrat, les réserves successives vont évidemment en diminuant, dès que le service de la rente a commencé, et la réserve s'annule lorsque le rentier meurt.

S'il s'agit d'une assurance de capital différé simple, il n'y a plus de payement à prévoir en cas de décès , et la réserve se capitalise viagèrement d'année en

année: V^4-i7= V^^iP^ .

La réserve augmente constamment jusqu'au jour de l'échéance du contrat , si l'assuré vit à cette époque : elle devient alors égale au capital à verser.

Un cas particulier intéressant se produit lorsque la droite représentative de la réserve MDE coupe l'axe AB. La réserve devient alors négative, le risque de décès dans l'année n'est plus couvert, l'assuré devient débiteur de l'assureur dans le courant de Tannée, alors qu'il doit s'écouler encore un certain temps avant le payement de la prime. Cette créance de Fassureur

sur l'assuré présente un caractère fort aléatoire, puisque par le seul fait du non payement des primes le contrat tombe de lui-même. L'assureur a donc avancé un capital qui ne lui sera jpeut-être pas remboursé. On a dans ce cas :

V,+rj<Gn"' V,,,<o

Généralement le risque assuré est croissant, les primes des premières années sont exagérées , et l'excédent est mis en réserve pour les exercices ultérieurs ; mais le risque peut être décroissant, et si le contrat est à primes constantes, les primes des premières années sont insuffisantes pour couvrir le risque : la réserve est négative. Il ne faut donc pas assurer un risque décroissant d'année en année au moyen d'une prime constante. La prime doit être décroissante comme le risque.

Même lorsqu'il s'agit d'un risque croissant, la réserve d'un contrat souscrit à primes annuelles constantes peut devenir négative, si l'on tient compte de la commission, qui est généralement escomptée. La commission est payée à 1 agent au moment où l'assuré verse la première prime. Elle peut absorber une partie de cette prime telle que le risque de l'année ne soit plus suffisamment couvert. Et comme rien n'empêche l'assuré d'abandonner son contrat au bout de la première année, la Compagnie se trouve dans ce cas avoir assuré un risque contre lequel elle n'était pas couverte. Ce danger est surtout réel pour les primes d'assurances temporaires de faible durée. La prime perçue est très peu exagérée, et la réserve des premières années est très faible. Aussi est- il bon, pour ces combinaisons,

de ne pas escompter la commission et de la verser annuellement pendant toute la durée du contrat.

Dans une Compagnie en plein fonctionnement, dont les opérations suivent une marche normale, le bloc des réserves s'accroît chaque année des primes versées; il est capitalisé au taux adopté pendant l'année, et il fournit les sommes nécessaires au payement des sinistres. Si les affaires augmentent , les réserves s'accroissent ; si elles diminuent, les réserves s'épuisent progressivement pour disparaître complètement lorsque la Compagnie a cessé ses opérations et rempli tous ses engagements.

Considérons en effet une Compagnie qui entreprend une nouvelle catégorie d'opérations. Il entre la première année v^ assurés d'âge x payant chacun une prime annuelle zs pour assurer un capital C :

A la fin de l'année , la réserve de ce groupe sera égale à i^ar+i^^c+i, et, si le groupe est supposé régulièrement alimenté, il entrera la deuxième année v^ nouveaux assurés d'âge x qui verseront eux aussi chacun une prime ct correspondant au capital C. La réserve sera donc au commencement de la deuxième année :

et à Ja fin de cette même année :

Si l'on suppose la mortalité conforme à celle de la table et la production de la Compagnie constante, la réserve du groupe constitué par les assurés entrés au

â58 ASSURANCES SUR LA VIE \

même âge x et payant une même prime annuelle nr sera devenue au bout de p années : 1

Si x-\-p est Tâge extrême de la table, ou l'âge où i

les contrats prennent fin, et s'il continue à entrer le même nombre de têtes v^ à Tâge x dans cette catégorie, la réserve demeure constante d'année en année et égale à W. Si, à un moment donné, il n'entre plus de têtes à l'âge X, le groupe n'étant plus alimenté, ses réserves successives deviennent égales à :

Au bout de p années la Compagnie a rempli tous ses engagements, puisque tous ses assurés sont morts, et la réserve disparaît.

On peut répéter ce raisonnement pour tous les groupes d'assurés entrés à un même âge et payant une même prime ; en rassemblant les résultats , on peut donc dire que la réserve globale d'une Compagnie augmente quand la Compagnie augmente son portefeuille, qu'elle reste stationnaire quand la production est constante d'année en année, enfin qu'elle trouve son emploi intégral dans le payement des sinistres lorsque la Compagnie, ayant cessé ses affaires, liquide la situation et achève de remplir ses engagements.

Ceci suppose que la mortalité réelle soit exactement

conforme à celle de la table employée et que le taux de capitalisation adopté soit, en pratique, obtenu. Si la mortalité réelle est plus forte que celle de la table employée, la Compagnie sera en perte sur les catégo- L ries d'assurances en cas de décès , puisque la somme

I des capitaux à payer annuellement pour sinistres sera

\ supérieure à celle qui était prévue ; elle sera au con-

traire en gain sur les catégories d'assurances en cas de vie. Et inversement.

Si le taux de capitalisation choisi est supérieur à celui que l'on peut obtenir réellement, la Compagnie sera en perte, et d'autant plus que la masse des réserves sera plus grande. Elle aura avantage à ne pas développer son portefeuille du côté des assurances à forte réserve, les pertes pourraient devenir considérables. Si la baisse du taux de l'intérêt s'accentue, il sera bon de ne pas hésiter à diminuer le taux de capitalisation et à demander aux assurés, dans leur propre intérêt, des primes plus fortes. Il faut toujours, au moment du changement , de taux , adopter un taux légèrement inférieur à celui que l'on peut obtenir, de façon à pouvoir le conserver un certain temps et à éviter des augmentations de primes trop fréquentes qui découragent les assurés. En ces circonstances, l'avantage appartient aux Compagnies puissantes, qui ont constitué de longue date des réserves de prévoyance, des réserves pour fluctuations de valeurs, qui leur permettent de ne pas ressentir aussi vivement que les autres les conséquences d'une baisse brusque du taux de l'intérêt et de maintenir plus longtemps leurs tarifs anciens en garantissant à leurs assurés la constance de la prime, pendant toute la durée des combinaisons

qu'ils ont adoptées, malgré les changements apportés aux tarifs.

Nous ne nous sommes occupés que des contrats reposant sur une seule tête. Or on sait que les formules et raisonnements faits dans ce cas s'appliquent sans y rien changer au cas des contrats souscrits sur un groupe de plusieurs têtes, quand ce groupe est considéré comme s'éteignant au premier décès. On a montré d'autre part que les contrats souscrits sur plusieurs têtes, avec réversion de capitaux ou de rentes, pouvaient être décomposés en plusieurs autres, souscrits sur des têtes isolées ou sur des groupes s'éteignant au premier décès. Les primes de ces combinai- / sons peuvent donc être considérées comme la somme j ou la différence de plusieurs primes, et par suite les « valeurs de leurs réserves seront données par des ex- \ pressions similaires où entreront les réserves de plusieurs autres contrats souscrits sur des têtes isolées ou des groupes sans réversion. Les conclusions précé- ■ dentés s'appliquent à chacun de ces contrats compo- j sants ; elles s'appliquent donc en toute rigueur au contrat proposé, c'est-à-dire que les portions de primes i qui n'ont pas servi à régler les sinistres de l'année ! sont mises en réserve et capitalisées pour constituer les ! réserves pour exercices ultérieurs. Dans un groupe de polices de ce genre, comme dans tout autre groupe, la réserve globale s'accroît quand la production augmente, quand le portefeuille de la Compagnie se dé- | veloppe; un équilibre s'établit quand la production devient constante et lorsque l'état de régime est atteint, c'est-à-dire quand il y a des assurés de tous les âges; enfin la réserve diminue quand la production s'amoin-

drit, pour trouver son emploi intégral le jour où la Compagnie, ayant cessé son industrie, achève de remplir ses engagements.

On pourrait croire qu'il n'en est pas ainsi si, au lieu de considérer la masse des réserves des polices souscrites avec réversion, on n'en considérait qu'une eh particulier. La réserve, en effet, d'une telle police, à rencontre des réserves de contrats souscrits sur une seule tête qui subissent une variation annuelle normale représentée graphiquement page 254, est soumise, au moment de la mort d'un dès assurés, à une variation brusque qui pourrait être prise pour une perte ou un bénéfice de la Compagnie, alors que ce n'est qu'une variation nécessaire, qui doit être prévue, et dont l'effet vient s'amortir contre la masse des réserves dont elle n'est qu'un élément constitutif.

Ainsi, si l'on désigne par V la réserve en fin d'année d'une combinaison reposant sur un groupe qui s'éteint au dernier décès, composé de deux têtes d'âges {x, y) vivantes à cette époque, la réserve à la fin de l'année suivante pourra avoir l'une des quatre valeurs suivantes :

I** Elle sera V si aucune des deux têtes ne

meurt pendant l'année. La variation de la réserve aura été normale, et la formule de récurrence établie plus haut relie les deux réserves successives.

2** Elle sera V , si la tête y est morte dans l'année.

3** Elle sera V , si la tête x est morte dans l'année.

4** Elle sera nulle si les deux têtes sont décédées.

Les différences

(V — V ) ou (V — V )

peuvent être positives ou négatives; elles représentent des variations brusques* des réserves , mais ce ne sont , comme on vient de le dire, ni des bénéfices ni de^ pertes pour la Compagnie.

Dans tous les cas, la réserve d'un tel contrat, pas plus que les réserves étudiées précédemment, ne doit jamais devenir négative; cela prouverait uniquement que la prime du contrat a été mal calculée, puisque, à un moment donné, l'assureur n'est plus couvert; or il doit, au moment de la conclusion du contrat, conduire son calcul de telle sorte que l'assuré soit toujours son créancier, et prévoir toutes les circonstances qui peuvent se produire. C'est un raisonnement analogue qui nous a permis de montrer qu'un contrat assurant un capital différé sur deux têtes avec réversion ne doit pas être souscrit à prime annuelle constante (page i38).