ENTRÉS PENDANT

l'année

SOBTI9 PENDANT

l'année (noncomprlBles décédés et les meml)res dere- UU8 invalides)

Devenus in- TAlidespendMt l'année, y comprU ceux qui sont morte ensaite, dan« 1« courant de l'année.

Du l«r juillet 1871 au 30 juin 1872.

Du iw juillet 1870 au 30 juin 1871.

d'actuaires, Paris, 1900, mémoire de M. Hamza) considère la pro-

babilité suivante : i^x -

Aie -\r Ba; Ca; — - IJx

qu'il désigne sous le nom de probabilité absolue d'invalidité. Il retranche du nombre des têtes en expérience au début de Tannée la moitié du nombre des décès de valides qui se produisent dans Tannée, La possibilité de devenir invalides cesse, en effet, au moment du décès, pour les valides qui meurent avant d'être entrés en état d'invalidité. La probabilité absolue est donc la

M. Weber (op. ciL) indique le moyen de dresser des tables au moyen de la seule connaissance du nombre des cotisants et du nombre des pensionnés au début et à la fin de Tannée. Mais on en est alors réduit à faire des approximations plus ou moins acceptables, et M. Weber reconnaît lui-même qu'une table dressée avec de tels éléments n'aurait pas grande valeur.

Enfin, nous admettons que la Caisse étudiée n'accorde une pension qu'autant que l'incapacité de travail présente un caractère permanent et définitif, sinon (et c'était le cas pour les Caisses allemandes) il faudrait faire intervenir une probabilité nouvelle : la probabilité de reprise du travail, qui a été étudiée par Mûnscher.

Une fois la table brute des taux d'invalidité dressée, on l'ajustera comme toutes les tables analogues, soit au moyen d'un procédé graphique, soit au moyen d'une fonction interpola trice dont le choix dépendra de l'allure générale de la table obtenue.

Ainsi Behm a employé la fonction :

pour ajuster sa table relative aux professions diverses.

probabilité que Ton devrait considérer si chaque personne décédée en état de validité était immédiatement remplacée par un nouvel entrant valide du même âge.

De même la probabilité absolue annuelle de décès d'un valide

d'âgexest: tS- ^^ ^ ^^lo- I. '

puisque la possibilité de survivre en état de validité cesse pour les la; invalides au moment où ils le deviennent. 1 Behm admet que U2o= 0,000 19036.

ASSURANCE CONTRE L'INVALIDITE

Tables de taux de mortalité d'invalides. —

La construclion de tables de taux de mortalité d*invalides résulte de robservation des pensionnés d'une caisse, besogne en somme assez facile, les invalides ne disparaissant guère que par décès : lorsque le service de la pension cesse, on peut supposer que le rentier est décédé. En particulier, lorsque les pensions comportent le payement d'arrérages au décès, la réclamation des héritiers, qui ne manque pas de se produire, indique exactement la date du décès.

Nous avons vu précédemment qu'il était nécessaire de construire une table par âges à l'entrée , comme l'a fait M. Léon Marie, si l'on veut obtenir une représentation exacte et utilisable du phénomène. Dans chaque groupe d'invalides du même âge, il faudra distinguer les divers sous-groupes composés d'invalides étant depuis le même temps en état d'invalidité. On déterminera le nombre des décès qui se produisent annuellement dans chacun de ces sous-groupes.

Le classement des résultats peut être facilement obtenu si l'on affecte à chaque pensionné une fiche ainsi disposée :

Noms et prénoms :

Date de naissance :

Date de l'entrée en invalidité :

(ou du payement du l«r terme de la pension.)

Date du décès :

(ou du payement du dernier terme de la pension.)

Les résultats du dépouillement de ces fiches seront inscrits sur des feuilles récapitulatives donnant pour chaque année, par âges, le nombre des décès qui se produisent parmi les différentes classes de pensionnés. On considérera comme têtes du même âge entrées en même temps dans Tétat d'invalidité deux têtes nées entre le i" juillet d'une certaine année et le 3o juin de l'année suivante et devenues invalides dans le courant d'une même année (du i" janvier au 3i décembre).

La table construite, il faudra l'ajuster, soit par un procédé graphique, soit par un procédé analytique. L'ajustement ne sera possible que si les données sont en nombre suffisant, et il ne faut pas se dissimuler que l'établissement d'une telle table par âges à l'entrée exigera, en raison des éléments nécessaires, un grand nombre d'années d'observation.

On ne saurait préjuger à l'avance, et en l'absence de données, de la forme que doit présenter la fonction interpolatrice. Rappelons cependant que M. Poterin du Motel a proposé pour les tables de mortalité par âges

à l'entrée l'équation y = a -|- p. q^,

y étant le taux de mortalité, x l'âge actuel et z l'âge d'entrée. Mais cette équation ne saurait convenir ici, elle implique un accroissement incessant du taux de mortalité, et on sait que le taux passe par un minimum dans le cas de la mortalité d'invalides. Aussi M. Weber propose-t-il une équation de la forme :

342 ASSURAJÏCE CONTRE L'INVALIDITÉ

qui parait mieux répondre à la question, la forme et les coefficients de f{z) et tf{z) restant à déterminer.

Tables des taux de mortalité de valides. —

On comprendra par ce qui suit la nécessité de l'établissement d'une table des taux de mortalité de valides. Elle résultera de l'observation des décès qui se produisent parmi les cotisants de la population ouvrière considérée (le payement des cotisations cesse en effet au moment où l'invalidité apparaît). Au tableau de la page 338 qui est destiné à être rempli par l'administration de la caisse étudiée , il suffit d'ajouter une colonne dans laquelle on inscrira le nombre des cotisants décèdes chaque année avant d'avoir eu droit à une pension. Ce nombre ne sera pas plus difficile à obtenir que le nombre des sorties de l'année pour des causes autres que le décès et l'entrée en invalidité.

Tables de valides et d'invalides. — A l'aide des éléments fournis par les diverses tables qui précèdent, on peut construire des tables analogues à la table de survie et donnant les nombres successifs soit des valides, soit des invalides vivants à chaque âge. Ce sont ces tables qui nous serviront pour le calcul des primes et des pensions.

Désignons par v^, v^^^, ...; w^, w^^i, ... les nombres successifs de valides et d'invalides, par u^., %^.i ... les taux d'invalidité successifs, par cjlet q^ les taux de mortalité des valides et des invalides. Considérons un groupe de valides v-^ entrant à l'âge x dans une société qui pratique l'assurance contre l'invalidité, et supposons que les individus qui composent ce groupe

n*abaiiddnnent jamais la société (ou approximativement que le nombre des entrées compense le nombre des sorties) .

Pendant la première année d'assurance, il se produit u^ v^ cas d'invalidité et D^ décès de valides. En faisant l'hypothèse des cas d'invalidité survenant au milieu de l'année , hypothèse analogue à celle que l'on fait pour les décès dans l'assurance sur la vie , on a :

On obtient ainsi une relation de récurrence donnant de proche en proche les nombres de valides successifs :

connaissant les taux u et q''.

La table des invalides vivants à chaque âge est tout aussi facile à obtenir. Pendant la première année en effet , il s'est produit uj.^^ cas d'invalidité , et , en reprenant l'hypothèse des cas d'invalidité se produisant au milieu de l'année, il y aura en fin d'année:

uv II ^ I =

invalides vivants. Pendant la seconde année, il se produira de même u^^^v^^^ cas d'invalidité, et il restera à la fin de la seconde année :

344 ASSURANCE CONTRE L'INVALIDITE

invalides vivants. Et ainsi de suite. On aura ainsi : w =a V \i-^-^^±^]-{-w (i-f \4-...

x+n x+n—1 x+n—iy 2 / ' x+n— 1\ ^x+n—l/ •

I x+l\ ■'.T+l/ \ ïa; + n-l/

Il suffira, pour dresser cette table, d*avoir à sa disposition les trois tables des valides, des taux de mortalité des invalides et des taux d'invalidité.

La table des valides s'arrêtera naturellement à l'âge auquel tous les travailleurs auront droit à une pension de retraite. Il y a donc un âge limite de validité au delà duquel tout le monde est considéré comme invalide.

F.-^ CALCUL DES PRIMES DE L'ASSURANCE CONTRE L'INVALIDITE. COMMUTATIONS

Considérons un groupe de v^ personnes valides d'âge X qui désirent constituer une caisse d'assurance contre l'invalidité. Supposons que. chacune de ces personnes verse dans ce but au commencement de l'année une prime ou cotisation égale à cy, ces primes n'étant d'ailleurs payables que pendant la durée de validité de chacun des assurés. Supposons enfin construites les tables donnant les nombres de valides et d'invalides vivants d'année en année. Tout invalide touchera au début de chaque année à partir de celle