CALCUL DES PRIMES DE L'ASSURANCE CONTRE L'INVALIDITÉ
qui suit son entrée en invalidité une pensiom:. Si {x -[- $) est rage auquel tout le monde est considéré comme invalide et où Ton cesse de payer sa cotisation , si (a? -[- r) est rage auquel il n'y a plus de vivants , l'égalité des valeurs actuelles des primes qui doivent être versées par les sociétaires valides et des pensions qui seront payées aux invalides nous donne la relation :
Si l'on pose *
on aura ;
Enfin, si Ton désigne par H^^.i et E^. les quantités suivantes:
la prime annuelle xs sera donnée par la relation •
On construira des tables des quantités A, F, H et E, et à l'aide de ces tables de commutations on obtiendra
346 ASSURANCES CONTRE L'INVALIDITE
le rapport - de la cotisa tioa à la pensîon par une
formule analogue à celle qui donne l'annuité xiag^ère ordinaire.
Au lieu de servir une pension d'invalidité, la Caisse d'assurances pourrait attribuer un capital G à chacun des sociétaires qui devient invalide pernixanent. Si l'on suppose, comme d'habitude, que ces capitaux sont payés au milieu de l'année , ce qui revient à prévoir qu'il y aura autant de gens qui deviendront invalides dans le premier semestre que dans le second , on aura :
Par les commutations :
ic \ I / x + n arf»
On peut faire apparaître dans cette relation les probabilités d'atteindre un certain âge en restant valide. Ainsi, soit p^ la probabilité pour qu'une personne d'âge X atteigne Fâge {x -|- k) en restant valide :
* Remarquer que par hypothèse, Ux + ^ — 1, puisque (« + 5) est Tâge limite de validité.
CALCUL DES PRIMES DE L'ASSURANCE CONTRE L'INVALIDITE 347 fi. ^ ^ I.
on obtient:
Généralement les cotisations et rentes sont payables en plusieurs termes dans Tannée. On pourra faire alors un calcul analogue à celui qui a été fait à propos des annuités fractionnées. (Voir Assurances sur la vie, page III et suivantes.)
Supposons, par exemple, que la cotisation annuelle u soit payable en k fois par an. La valeur actuelle de toutes
les cotisations t: qui seront versées est ^ale à :
On peut supposer que la variation du nombre des valides est , dans Tannée , proportionnelle au temps :
> 2 =t> Y Iv V \
Xi- f? X fi \ X Xfl/
et porter ces valeurs des quantités Inconnues ;
dans l'expression précédente. On peut aussi plus simplement faire la même hypothèse sur les quantités A^.
et on obtient alors :
[A.+ A.,> + ...]=a[E,,, + ^Aj-
De même si la rente d'invalidité tu est payable en h! fois par an , elle aura pour valeur actuelle au début de l'assurance :
4h 4-^-^ir 1
et la relation entre cy et x s'écrira :
On voit que la possession des deux tables de valides et d'invalides dont nous avons indiqué la construction , suffit au calcul des primes pures des capitaux et rentes d'invalidité*.
* M. le D' Schaertlin vient de faire paraître à Berne, chez Staempfli et C^*, un opuscule ayant pour titre : Contributions à la théorie mathématique de Vassurance en cas d'invalidité. Les calculs y sont conduits d'une façon tout à fait difTérente de
