CALCUL D£S PROBABILITÉS
Probabilité totale. — Supposons qu une urne contieime 4o boules : lo blanches, lo rouges, lo bleues, lo vertes. Quelle est la probabilité de tirer une boule de couleur en un tirage?
L'événement favorable peut se produire de trois façons différentes : soit par le tirage d'une rouge, soit par' celui d'une bleue , soit par celui d'une verte ; les
lO lO
probabilités respectives de ces tirages sont - 7 > 7 —
-, — . Les numérateurs des fractions représentant les
nombres de cas favorables, leur somme sera le nombre total de cas favorables. On voit aisément que la probabilité totale du tirage d'une boule de couleur quelconque est la somme des probabilités de tirage d'une boule de couleur déterminée.
D'une façon générale, si un événement E peut se produire par l'arrivée d'événements /j, /g, ... /„ nettement différents, la probabilité de l'événement E est la somme des probabilités respectives <fes événements Z^, /,, ... 4-
Probabilité composée. — Un événement composé résulte du concours de plusieurs événements simples, successifs ou simultanés. Supposons d'abord les événements simples indépendants les uns des autres.
Théorème. — La probabilité d'un événement composé est égale au produit des probabilités des événements simples composants, ces événements étant supposés indépendants les uns des autres.
^'■' Soit N le nombre total de cas possibles; [Aj, (Xa» .. (j^
^ les nombres de cas possibles relatifs aux événements
rr; composants ; mj, mg, . . . m« les nombres de cas favorables
^J aux arrivées de ces événements ; F le nombre de cas
^:. favorables à Tarrivée de Tévénement composé. On a :
I N = (X,JX2...fA„,
[:' ■ ^ F = mjn^ . . . m„.
La' probabilité composée est :
N ~" [Xi[X2 ... [X« (Xi ^ [J,2 '" ^ [A„
Cette égalité démontre le théorème.
Exemple I. — Trois urnes contiennent respectivement lo boules blanches et lo boules noires, lo blanches et 20 noires, 10 blanches et 3o noires. On prend une boule dans chaque urne. Quelle est la probabilité qu'on prenne trois boules blanches?
L*application du théorème précédent donne immédiatement la probabilité cherchée.
Exemple II. — Si pj désigne la probabilité qu'a une personne d*âge x de vivre dans n années et p^^ „ la probabilité qu'a une personne d'âge x -\- n de vivre n années plus tard, quelle est la probabilité pour une personne d'âge x de vivre dans n -|- n' années ?
Soit pî + ^'la probabilité cherchée. L'application du théorème précédent donne :
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Vérifions ce résultat. La définition même de la probabilité nous permet d'écrire :
ce qui est conforme au résultat obtenu en appliquant le théorème de la probabilité composée.
Événements dépendants. — Si les événements composants dépendent les uns des autres, la probabilité composée est égale au produit des probabilités respectives des événements composants , chacune d'elles étant calculée en supposant les événements composants qui précèdent favorablement arrivés.
Exemple. — Une urne contient lo boules blanches et lo boules noires; on tire trois boules, quelle est la probabilité de tirer trois boules blanches?
Après avoir enlevé une boule de l'urne, le nombre de cas possibles ou favorables est diminué d'une unité. La probabilité cherchée est donc :
iQ X 9 X 8 lo . . 9 8
Théorème de Bernoulli. — Conséquences.
— Le théorème de Bernoulli présente un intérêt considérable pour Tactuaire et le statisticien. Nous n'en donnerons pas ici la démonstration, — pour laquelle nous renvoyons le lecteur aux traités spéciaux ; — mais nous rappellerons, outre son énoncé, les principes sur lesquels il s'appuie et les consécjuences qui en découlent.
6 INTRODITCTION
Théorème. — La probabilité d^un événement est p, celle de révénement contraire est q ; on fait N éprenves dans les mêmes conditions; les nombres' les plus probables d'arrivées des deux événements sont proportionnels aux probabilités/) et q.
Exemples. — On fait loo épreuves à pile ou face; les nombres les plus probables d'arrivées de pile et de face sont 5o et 5o.
On lance un dé 600 fois ; la probabilité d'amener un
as en un coup est -^ ; pour les 600 épreuves le nombre
le plus probable d'arrivées de l'as sera donc 100.
Remarque. — Si (i. est le nombre total d'épreuves et p la probabilité d'un événement, le nombre le plus probable d'arrivées de l'événement considéré est [xp. En effet, si q est la probabilité de l'événement contraire , X eiy les nombres les plus probables d'arrivées , le théorème précédent nous permet d'écrire :
P q p-^q I ' d'où X = [j.p ; y = ^uj.
Des écarts. — Supposons qu'après [x épreuves un événement se soit produit N fois ; [;./> étant la valeur la plus probable du nombre d'arrivées de l'événement. nous appellerons écart ^ la différence :
1 La définition de l'écart telle que nous Tavons donnée n'est pas celle qu'ont adoptée les joueurs. Dans la pratique du jeu, on
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Ainsi, «ur loo épreuves de pile ou face, on amène 53 fois pile; la valeur probable étant 5o, l'écart sera de 3 unités.
Remarquons que Fécart peut être positif ou négatif, suivant que le nombre d'arrivées est supérieur ou inférieur à la valeur la plus probable.
Théorème de Ber?îoulli. — Considérons deux événements contraires de probabilités respectives p et q; si l'on fait [x épreuves consécutives , la probabilité zja d'un écart compris entre a et — a est :
Dans cette relation, tc et e représentent les valeurs bien connues : x^^Sji^iSO...
On a dressé une table des valeurs numériques de la Jonction :
St. Jo
ST. Jo
Cette fonction prend la valeur zéro pour la valeur zéro de la variable; elle tend très rapidement vers i
appelle écart le nombre d'épreuves consécutives pendant lesquelles un événement ne s'est pas produit. Ainsi les journaux de courses disent que l'écart d'un jockey est 16 si ce jockey a pris part à 16 épreuves sans gagner une seule fois. Si ce jockey gagne en moyenne 1 course sur 4, il aurait dû sur les 16 épreuves en gagner 4. Par suite son écart, tel que nous l'avons défini, serait 4.
s INTRODUCTION
lorsque t augmente. Quelques valeurs de la fonction indiquent bien son allure :
6 (o) = 0,000.000.0 ©(o,i) = o,ii2 463 o 0(o,5) = o,52o499 2 6(1) =0,842 700 8 ©(2) =0,995 322 3 0(3) =0,9999779
La probabilité tïï^j est représentée par le nombre
Conséquences. — De la relation:
dans laquelle a est la limite supérieure de Técart et j;, le nombre d'épreuves, nous pouvons tirer quelques conséquences très importantes :
I** Nous avons vu que l'écart zéro était le plus probable; cependant sa probabilité tend vers zéro quand ie nombre d'épreuves augmente indéfiniment.
2"* La probabilité d'avoir un écart inférieur à une valeur a déterminée à l'avance , si grande soit- elle , tend vers zéro lorsque le nombre d'épreuves augmente indéfiniment.
En effet, quelle que soit la valeur de a, nous pouvons choisir pour [x une valeur telle que t, et par suite O {t) , ait une valeur aussi petite qu'on voudra. Par
CALCUL DBS PROBABILITÉS 9
suite, on voit que les écarts peuvent devenir très grands lorsque le nombre d'épreuves augmente.
3° Si l'on assigne à a une valeur proportionnelle au nombre d'épreuves j;., la probabilité d'avoir un écart inférieur à cette valeur tend vers i quand (ji croît indéfiniment.
Posons : a = A[/.
On a : t= ..J — =1-=.^^.
Si {A augmente indéfiniment, t croît aussi indéfiniment, et par suite la fonction (t) tend vers i .
On peut donc dire que :
1** Les écarts croissent indéfiniment avec le nombre d'épreuves ;
2° Le rapport de l'écart au nombre d'épreuves tend vers zéro quand le nombre d'épreuves augmente indéfiniment.
Théorème réciproque. — Recherche de la probabilité par Texpérience. — Nous venons de voir qu'en faisant un nombre suffisant d'épreuves, là probabilité d'avoir un écart plus petit qu'une valeur k^f. proportionnelle au nombre d'épreuves était aussi voisine de l'unité qu'on le voulait. Supposons que l'événement considéré se soit produit N fois. Posons :
Considérons le rapport Jf£dliL; ce rapport diffère
très peu de la probabilité p , la différence est -7 •
iO INTRODUCTION
Comme ce rapport — décroît en tendant vers zéro
N lorsque \f, croît indéfiniment, on voit que le rapport —
a pour limite la valeur p de la probabilité lorsque \)* croît indéfiniment.
Il en résulte que, si la probabilité d'un événenaent est inconnue, on peut en déterminer une valeur aussi approchée qu'on le désire en faisant un nombre d'épreuves suffisamment grand.
Ce résultat très important est la base de la statistique.
Les statistiques, établies d'après de nombreuses observations, ont pour but de déterminer la valeur de certains rapports; on n'obtient pas la valeur exacte de la probabilité mathématique , mais le rapport expérimental s'en rapproche d'autant plus que le nombre d'observations est plus grand.
