B. — L'ASSURANCE CONSIDÉRÉE COMME JEU OE HASARD

L'assurance a pour but de remédier aux efiets produits par des événements désastreux.

La Compagnie d'assurances peut être assimilée, au point de vue mathématique , au tenancier d'une maison de jeu; les assurés sont des joueurs, ils ont déposé leurs mises dans la caisse de la compagnie ; mais si le sinistre se produit, l'assuré n'en retirera aucun bénéfice, ce n'est pas à lui qu'ira le total des enjeux : il recevra uniquement la somme nécessaire à la répara-

L'ASSURANCE CONSIDÉRBfi COMME JEU DE HASARD il

tion du dommage. La théorie du jeu s'applique donc sans réserve aux opérations des Compagnies d'assurances.

Espérance mathématique. — On appelle espérance mathématique d'une somme à recevoir éventuellement, le produit de cette somme par la probabilité qu'on a de la gagner.

On dit qu'un jeu est équitable lorsque la mise du joueur est égale à l'espérance mathématique de Tenjeu. Ainsi on joue à pile ou face : si la pièce montre face , on touche 2 francs; l'espérance mathématique est

2 X — • pour que le jeu soit équitable, il faut que la

mise soit de i franc. Cette définition se justifie aisément; soitp la probabilité de l'événement favorable, jjl un nombre d'épreuves assez grand, G l'enjeu, M la mise; si Tévénement favorable s'est produit normalement, c'est-à-dire (jl/) fois, le total des gains est : G X W>> le total des mises est : M X 1^ •

Ces deux quantités doivent être égales, le sort n'ayant favorisé aucun des adversaires; par suite, on doit avoir :

GX/> = M,

c'est-à-dire que la mise doit être égale à l'espérance mathématique.

Jeux non équitables. — Théorème. — Si la mise d'un joueur est inférieure à son espérance mathématique d'une quantité n, si petite soit -elle, la proba-

bilité que ce joueur a de faire un bénéfice tend vers i lorsque le nombre des parties croît indéfiniment.

Soit G Tenjeu, p la probabilité de gagner;, \t. le

nombre des parties. Posons : e = -^ .

La mise du joueur est : pG — y\ = {p — ê)G.

Au bout de jjl parties supposons qu'on ait un écart a, le joueur a touché : G{\tp±^)'f ilamisé : G{p — e)\K = G{\Kp — 6[ji.).

Son gain est donc :

G(ei.±«)=Gix(£±-^).

Or s est une quantité constante ; au contraire , — tend

vers zéro quand jji. augmente indéfiniment ; par suite, en faisant un nombre suffisamment grand de parties, le joueur est certain de gagner.

Chargement. — La quantité s qui assure à Tun des joueurs un bénéfice certain est le chargement. Le chargement est nécessaire à toute entreprise commerciale spéculant sur le hasard (maisons de jeux, loteries, compagnies d'assurances) , puisque le but de cette entreprise est de réaliser un bénéfice après avoir couvert ses frais généraux.

De la division des risques. — Le théorème relatif aux jeux non équitables nous montre qu'une Compagnie d'assurances dont les primes pures ont été chargées, est moralement certaine de faire un bénéfice ,