L'ASSURANCE CONSIDÉRÉE COMME JEU DE HASARD

mais à la condition que le nombre de ses assurés soit assez grand pour que le terme f e j soit toujours

positif. Nous savons en effet que — tend vers zéro quand

jx augmente indéfiniment.

On peut d'ailleurs calculer cette valeur de [t.. Supposons que , pour un conseil d'administration , la

valeur :

réprésente la certitude morale.

On sait que : ^ = — =r .

a est la limite morale des écarts

On doit avoir

c'est-à-dire : 1^> ~ 2 '

Si cette condition est remplie, le bénéfice est moralement certain.

Supposons une Compagnie d'assurances n'assurant que des risques absolument identiques et payant toujours la même somme en cas de sinistre. Dans ce cas très simple, nous allons démontrer le théorème suivant :

Théorème. — Le total des primes restant le même dans les deux cas, il vaut mieux, pour être certain d'un bénéfice , faire un grand nombre de petites assurances qu'un petit nombre de grosses assurances.

Soit une Compagnie A assurant vm risque de probabilité/), ayant s assurés et payant :: en cas de sinistre.

Soit une autre Compagnie B assurant le même risque,

ayant ns assurés et payant— en cas de sinistre.

Soit t^ une valeur de t telle que 6 {Q soit très voisin de l'unité. Aux valeurs t^ et s correspond une valeur a, pour la limite des écarts; de même à t^ et ns correspond a„,.

(x„, = toyj2mpq .

La perte que ferait la Compagnie A si l'écart atteignait a, serait : P^ = a,7: = t^i: ^2spq .

La perte que ferait la Compagnie B si l'écart atteignait (Xns serait : Pb = a„, — = ^^Vg-sp? ^ ^

ce qui démontre la proposition.

Il y a donc intérêt pour la régularité des résultats à diviser les risques. C'est pour cette raison qu'un bookmaker n'accepte pas pour lui seul un pari trop élevé; c'est aussi pour cette raison qu'une Compagnie d'assurances contre l'incendie ne consent pas à assurer seule un risque très important.

Du plein • — A la division des risques correspond