DE 35 A 39 ANS
ANNÉES d'assurance.
de Carlisld
POPUHTION
générale
de la France.
Do
Do
Do 11 àl5.
De
3 et au-dessus
10 et au-dessus.
Sans distinction.
I ,oG
Ainsi, pendant la i"" année d'assurance, la mortalité n'atteint pas moitié de la mortalité générale des assurés ; pendant les cinq premières années prises en bloc, elle lui est encore inférieure; mais, au delà de la 5*" année, elle la dépasse d'une quantité qui va généralement en augmentant; et, après i5 à 20 ans d'assurance, la mortalité est de moitié supérieure à la mortalité générale des assurés. Cela tient à ce que les assurés bien portants ont une tendance à résilier leurs contrats, tandis que les autres les maintiennent en vigueur. L'influence favorable de la sélection médicale dure donc environ 5 ans, et, après ces 5 ans écoulés, il y a une antisélection naturelle, qui fait que les risques restant en cours sont les plus mauvais.
Il y a plus : comme le taux général, sans distinction de la durée d'assurance, est supérieur à celui que donne la Table delà population générale de France, dressée sur un ensemble de population [voir la Table des taux), ce serait une preuve que les individus assurés, dont les polices sont en cours à un moment donné, forment un groupe dont la mortalité moyenne est plus forte, à âge égal, que celle de l'ensemble d'une population. Ainsi l'antisélection naturelle, ou le départ des bons risques, exercerait une influence défavorable, qui ferait plus que contre-balancer l'influence beureuse de la sélection médicale. Nous reviendrons, au n° 117, sur cette comparaison entre les taux fournis par cette Table et ceux qui se rapportent à la population générale de France ; car il y a là, au point de vue des assurances sur la vie, une considération importante dont il faut tenir compte.
Pour les âges autres que celui que nous avons pris pour exemple, on constate des résultats analogues.
La mortalité des femmes assurées est notablement plus forte dans la jeunesse que celle des bommes assurés: de i5 à 20 ans elle est presque double. Cette diff*érence diminue progressivement avec l'âge : à 5o ans, il y a égalité, et au delà de 00 ans on constate le résultat inverse. La mortalité des bommes l'emporte alors, et la différence va à son tour en
croissant avec l'âge; dans l'extrême vieillesse, de 90 à 99 ans, la mortalité des hommes est de moitié supérieure à celle des femmes.
Les individus mal portants au moment de l'assurance ont donné une mortalité qui, au-dessous de l'âge de 65 ans, est de 70 pour 100 plus forte que celle des individus bien portants du même âge, et, au-dessus de l'âge de 65 ans, de 3o pour 100 plus forte.
91. Ajustement de la Table. — Si l'on examine la Table non ajustée qui a été donnée ci-dessus, on constate souvent de grandes divergences entre les taux de mortalité de deux âges voisins; cela tient à ce que le nombre de têtes observées n'a pas encore été assez considérable. Ainsi, bien que les observations aient porté en tout, pour cette Table, sur 146847 têtes assurées, il n'y avait, à l'âge de 11 ans, que 7i3 têtes ayant couru le risque de décès entre 11 et 12 ans, et sur ces 713 têtes il ne s'est produit aucun décès entre ces deux âges. Nous savons que l'on fait disparaître ces divergences en ajustant la Table, ce qui a l'avantage de faire porter les observations sur un plus grand nombre de têtes, et aussi de donner à la Table une forme appropriée aux exigences de la pratique. L'ajustement se fait toujours en tenant compte, pour chaque âge et dans une juste mesure, des résultats des observations faites pour les âges voisins. Diverses méthodes ont été employées pour faire cet ajustement ; nous indiquerons brièvement celle qui a été appliquée aux Tables anglaises par M. Woolhouse [Journal des Actuaires anglais, vol. XIV).
M. Woolhouse fait porter ses corrections, non sur les taux de mortalité, mais sur le nombre des vivants à chaque âge, élément plus maniable. Ainsi que tous les auteurs anglais, il désigne le nombre des vivants à l'âge x par/,, (initiale du mot living, vivants), et, comme l'a fait M. Maas dans ses derniers travaux, nous adopterons également cette notation, pour une raison d'uniformité. Si l'on commence à l'âge de 10 ans, qui
est le premier âge inscrit dans la Table, et que l'on extraye (le celle-ci les nombres de vivants de 5 en 5 ans, /,„, /,5, /oo,..., on peut déterminer par interpolation les nombres de vivants aux âges intermédiaires, et obtenir ainsi une série continue ; géométriquement parlant, cela revient à faire passer une courbe par les points correspondant aux périodes quinquennales. L'adoption de cette courbe comme base de la Table aurait l'inconvénient de ne faire aucun usage des données fournies par l'expérience pour les âges intermédiaires. On y remédie en prenant, au lieu d'une seule série, cinq séries ayant des points de départ distincts, et chevauchant l'un sur l'autre, séries qui sont les suivantes :
In,
Ml »
^ii;,
At,
In,
On fait ensuite une interpolation séparée pour chacune de ces séries, ce qui donne pour chaque valeur de / cinq nombres différents, et enfin on prend la moyenne de ces cinq nombres, pour la valeur définitive de / à chaque âge. Inscrivant toutes ces valeurs moyennes l'une au-dessous de l'autre, on obtient la Table de mortalité ajustée que l'on se proposait d'établir. Géométriquement parlant, cela revient à tracer cinq courbes s'appuyant toutes sur des points quinquennaux, et à prendre pour chaque âge, comme ordonnée définitive, la moyenne des ordonnées déterminées par les cinq courbes.
Il n'est pas nécessaire de calculer complètement les nombres de toutes les séries : on peut, au moyen de formules d'interpolation, calculer la valeur moyenne de /à chaque âge, c'està-dire la valeur définitive cherchée. M. Woolhouse arrive ainsi à la formule suivante, dont on trouvera au besoin la démonstration dans son ouvrage : Tables deduced from the Mortalily expérience, chez Layton, éditeur; Londres, 1872. Si l'on veut obtenir le nombre de vivants à 25 ans, après ajuste-
ment, l\^, il faut poser
a, = In + /js, «1 ^= /^i -l- In,
et l'on a
Ainsi, le nombre / des vivants à 25 ans dans la Table H" étant 9297, le nombre /' dans la Table ajustée se trouve égal, après application de cette formule, à 9306,1. Nous reproduisons à la fin du volume cette Table H", ajustée par ^I. Woolhouse, tant comme Table de survie que comme Table de mortalité. Le rapprochement des nombres ajustés avec les nombres originaux permet de constater quelle a été pour chaque âge l'influence de l'ajustement, tant sur les nombres de vivants que sur les taux.
92. L'ajustement des Tables est indispensable pour la pratique. Par ce mode de correction raisonnée, on ne change que de quelques unités le nombre des vivants à un âge déterminé, mais on change souvent beaucoup le taux de mortalité d'une certaine année. L'influence de l'ajustement est facile à mettre en évidence au moyen de courbes.
La courbe du nombre des vivants, dont nous donnons un fragment, entre les âges de 10 et de 26 ans (i;o«>'plus loin au n° 113 pour la signification de ces courbes) diffère peu après l'ajustement de ce qu'elle était avant; mais, au contraire, il y a de grandes différences entre les courbes qui représentent les taux de mortalité. Celles-ci présentaient avant l'ajustement des soubresauts brusques, qui disparaissent après rajustement pour faire place à une ligne continue et d'allure régulière. Voici un fragment de ces courbes, entre les âges de 10 et 26 ans.
Courbes indiquant
îestaux de moTtaJité aux différents âi^ea.
Courbes indiquant
le Membre des vivants aux. différents âg
"Tn —
1 ( poarf
— ir
rJ
Zl
izj
zq
zz:
riz
10,-ms 12 1+ 16 18 20 22 2'» 2
)ans 12 1!» 16 1» ÏO 22 2i» 26 j
93. Dans le mode d'ajustement ci-dessus exposé, le nombre des vivants définitivement adopté pour un âge quelconque est la moyenne de cinq nombres calculés isolément. On peut admettre que chacun de ces cinq nombres a, au point de vue de l'approximation probable, une autorité un peu moins grande que le nombre original de l'âge en question, mais cependant presque égale. On peut donc admettre que le nombre de vivants obtenu après ajustement présente une approximation probable aussi grande que s'il y avait eu en observation un nombre de têtes quatre fois plus grand qu'il n'y en a eu réellement. La même approximation probable s'appliquera aux taux de mortalité déduits de la Table ajustée. Nous pouvons, en suivant cette règle, calculer, comme nous l'avons fait pour la Table de Deparcieux, quelle est l'approxi-
mation probable que présente la Table anglaise, aussi bien après qu'avant l'ajusiement.
L'exemple traité ci-dessus, au n*^ 64, répond à cette question pour l'âge de 3o ans. Pour la Table non ajustée, il n'y a que 96 contre 4 a parier que le taux de mortalité 0,0084 est exact à 0,001 près. Pour la Table ajustée, il faut, dans la formule (23), prendrez ([uatre fois plus grand, ce qui rend également a quatre fois plus grand, et donne pour la probabilité cherchée P la valeur 0,999, de sorte qu'on peut considérer le nouveau taux 0,00806, qui est calculé après ajustement, comme certainement exact à 0,001 près, et la ciiance de décès comme certainement comprise entre 0,00706 et 0,00906.
Si l'on cherche quelle est la probabilité d'une approximation plus grande, on trouve par la môme formule qu'il y a une probabilité de
que le taux de mor-
talité à 3o ans.
après ajustement, soit 0,00806, est approché en plus ou en moins de
id.
id.
id.
0,0002 o,ooo3 0,0004
et que, par consé- \ quent, létaux vé- l ri table est com- ■ 0,00796 et 0,00816 pris entre les limites.
id.
0,00786 et 0,00826
id.
0,00776 et o,oo83G
id.
0,00766 et 0,00846
de
On calculera de la même manière qu'il y a une probabilité
j' que le taux de mor-
\ talité à 60 ans,
f après ajust'MTient,
] soit 0,02873 , est
f approché en plus
\ ou en moins de
«,999 id-
' et que, par consé- \ \ quent, le taux vé- i 0,001 • rilable est com- ^ 0,-02773 et 0,02973 I pris entre les I
' litniloc
limites.
id.
0,02673 et 0,03073
Il suit de la que, même dans la Table ajustée, on ne peut compter avec certitude sur les trois premières décimales des
taux de mortalité (en forçant la troisième au besoin), que vers les âges moyens, de 3o à 4o ans environ ; pour les âges extrêmes, i5 ans environ ou 60 ans environ, on ne peut plus compter que sur les deux premières décimales (en forçant la deuxième au besoin). Ces conclusions concordent parfaitement avec les inductions que l'on peut tirer d'une comparaison entre les taux de mortalité au même âge, avant et après l'ajustement.
§ YI. — Tables de mortalité de la Compagnie d' Assurances générales.
94. En France, M. de Kertanguy a dressé, en 1874, une Table de mortalité relative aux assurés de la Compagnie française d'Assurances générales. Il a suivi à peu près les mêmes procédés que la Société des Actuaires anglais, et il a du reste publié lui-même son travail dans \e Journal des Actuaires français (1874) • i' serait donc inutile de le reproduire ici. Ses résultats concordent à très-peu de chose près avec ceux des Tables des vingt Compagnies; malheureusement, ils proviennent de l'observation de 24G99 têtes seulement. On peut en conclure, d'après les tableaux donnés au n*^ 66, qu'ils ne présentent qu'une approximation probable, en plus ou en moins, de 0,002 vers l'âge de 3oans, et de 0,01 vers l'âge de Go ans. Il est à désirer que le même travail soit entrepris sur les assurés de toutes les Compagnies françaises réunies, ce qui permettrait d'observer un nombre de têtes beaucoup plus considérable, et d'obtenir une approximation probable de 0,001 vers l'âge de 3o ans, et de o,oo5 vers l'âge de 60 ans.
