COURBES ET ÉQUATIONS DE MORTALITÉ

§ I. — Courbes de mortalité.

113. Les Tables de mortalité peuvent se représenter par des courbes, dans lesquelles on prend pour abscisses les âges et pour ordonnées les nombres de vivants, et qui prennent le

Fig. I.

KHKi - vivants.

Coiirbrs iiuliriuanl le nonil)re des vivants par âges d'après différentes Tables de mortalité.

nom de courbes de mortalité. On rend ainsi leurs résultats plus sensibles à l'œil. Nous donnons dans \^ fig. i les

courbes de mortalité correspondant aux quatre Tables les plus intéressantes pour la France, savoir : la Table de Duvillard, celle de Deparcieux, la Table H^' des vingt Compagnies anglaises ajustée, et celle de la population générale de la France. Dans ces courbes, l'inclinaison de la tangente en un point donné, c'est-à-dire la tangente de Tangle qu'elle fait avec l'axe horizontal, représente le nombre absolu des décès a l'âge qui correspond au point de tangence. La portion de l'axe horizontal comprise entre le pied de l'ordonnée et le point où la tangente coupe cet axe représente l'inverse du taux de mortalité à l'âge correspondant.

114. La courbe de Duvillard et celle de la population gérale de la France partent toutes deux d'un nombre rond de looooo vivants à la naissance. Celle de Deparcieux part, à 3 ans, de 62 467, nombre qui est celui des survivants d'après Duvillard; et la Table anglaise part, à 10 ans, de 54971, nombre des survivants qui, d'après Deparcieux, resteraient, à l'âge de 10 ans, sur un groupe formé de G2467 têtes à 3 ans.

De ces quatre courbes, représentant aux yeux quatre Tables de mortalité, c'est celle de Duvillard qui donne la diminution la plus rapide dans le nombre des vivants, et c'est celle des vingt Compagnies anglaises qui donne la diminution la moins rapide.

La Table de la population de la France se comporte à peu près comme celle de Deparcieux, c'est-à-dire que la mortalité générale de la population est à peu près aujourd'hui ce qu'était, il y a 125 ans, celle d'une classe d'individus bien constitués et bien portants, comme le sont les associés tontiniers.

115. On peut aussi tracer la courbe des taux de mortalité aux divers âges : on prend alors pour abscisses les âges, et pour ordonnées les taux de mortalité, cl il y a autant de courbes différentes de ce genre qu'il y a de Tables de mortalité. Nous donnons dans la /%. 2 les courbes des taux de mortalité pour les quatre Tables énumérées ci-dessus,

— I lO

de la naissance à l'âge de 5o ans; et dans \^ fig- 3 les mêmes courbes à une plus petite échelle, de 5o à loo ans. Cependant, dans cette dernière figure, la courbe de la population générale de France n'a pas été tracée, parce qu'à une aussi petite échelle elle se confond avec celle de Deparcieux et des vingt Compagnies.

Courbes indiquant les taux de mortalité par âges suivant diflférentes Tables

de niortalitc.

116. C'est au moyen de ces courbes des taux de mortalité que l'on peut le plus utilement comparer les diverses Tables entre elles. Voici les résultats sommaires de cette comparaison.

Les taux de la Table H" diminuent légèrement depuis lo

jusqu'à i3 ans, et augmentent ensuite progressivement depuis i3 ans jusqu'à la fin de la vie : sauf une partie presque constante entre 21 et 27 ans, la progression est régulière et assez faible jusqu'à 55 ans environ, et elle devient rapide à partir de l'âge de 65 ans.

Fig. 3.

3«HliP!j!li'l«L 1

Courbes indiquant les taux de mortalité par âges suivant différentes Tables de mortalité.

Les taux de la Table de Duvillard sont supérieurs aux taux de la Table anglaise, et ils sont presque doubles depuis la naissance jusqu'à 5o ans ; la ditférence proporlionnelle di-

mimie de 5o à 8G ans. Les taux de Duvillard diminuent brusquement de 85 à 88 ans, et deviennent a 87 ans, ainsi que dans toute la fin de l'existence, notablement inférieurs à ceux de la Table anglaise.

Les taux de la Table de Deparcieux se tiennent entre les deux jusqu'à l'âge de 60 ans; de 60 à 78 ans ils deviennent inférieurs, même à ceux de la Table anglaise, et ils les dépassent de nouveau à 79 ans; à 86 ans ils dépassent également, et pour tout le reste de la vie, les taux de Duvillard.

La diminution brusque qui se fait sentir dans les taux de mortalité de la Table de Duvillard à partir de 85 ans doit provenir de ce que les observations de cet auteur ont porté, dans les âges avancés, sur unnombre de tètes trop peu considérable, de sorte qu'à partir de 80 ans on ne peut plus reconnaître aucune autorité à son travail.

Les taux de la population générale de la France sont partout moins élevés que ceux de Deparcieux : depuis 10 ans jusqu'à 35 ans, ils sont supérieurs aux taux de la Table anglaise; mais, à partir de 35 ans, ils leur deviennent inférieurs jusque vers 75 ans.

117. On peut s'étonner de voir que, pendant toute la période de l'âge mûr, de 35 à 75 ans, les taux de mortalité obtenus pour la population générale de la France soient plus faibles que les taux de la Table anglaise, puisque la population générale comprend les malades, les gens mal constitués, les individus soumis à des risques exceptionnels, tandis que la Table anglaise ne s'applique qu'à des assurés qui sont généralement réputés jouir d'un état de santé plus satisfaisant que la moyenne. Reportons-nous au n° 106, et voyons quelles sont les causes d'erreur qui auraient pu faire obtenir, à ces âges, des taux trop faibles pour la mortalité de la population de la France. Ces causes sont les suivantes :

1° La population peut être plus forte, à l'époque du recensement, qu'elle n'est en moyenne pendant l'année. Cela ne doit arriver que dans une faible proportion; carie recense-

- ll'^ -

ment a lieu au mois de mai, et l'on n'y inscrit pas les étrangers qui se trouvent alors en voyage en France.

1^ Certains individus pourraient être inscrits deux ibis dans un même recensement. Ceci doit arriver très-rarement; ce serait plutôt l'erreur inverse qui aurait tendance à se [)roduire.

S'* Les âges déclarés au recensement pourraient être plus élevés que les âges réels; il semble encore que c'est plutôt l'effet inverse qui aurait tendance à se produire.

4*^ Certains décès pourraient être omis; ce cas doit être très-rare, à cause de la grande régularité avec laquelle se font les déclarations de décès. Il y aurait plutôt une erreur en sens contraire, puisqu'on compte les décès en France des étrangers en voyage, tandis qu'on ne compte pas ces voyageurs dans le recensement.

5° Les âges déclarés au décès pourraient être moins élevés que la réalité. On ne voit aucune raison pour que cela se produise d'une manière générale, et l'erreur qui pourrait en résulter doit être au moins contre-balancée par les déclarations d'âges moins élevés, qui peuvent être faites pour les vivants, au moment du recensement.

Ainsi l'on ne voit aucune raison pour que les taux de mortalité obtenus pour la population de la France, au moins dans cette période de la vie, soient moins élevés que la réalité. Il reste donc bien établi que les individus assurés en cas de décès, et âgés de 3o à 55 ans, sont, à âge égal, soumis en moyenne aune mortalité plus forte que l'ensemble de la population d'un grand pays. C'est le résultat de l'anli-sélection naturelle que nous avons signalée au n'' 86.

Si, par exemple, on fait le dépouillement de tous les assurés âgés de 4o ans, sur lesquels ont porté les observations de la Table anglaise, on reconnaît qu'ils sont déjà assurés en moyenne depuis six ans trois mois; après ce laps de temps, non-seulement tout le bénéfice de la sélection médicale a disparu, mais, comme le prouve le rapprochement ci-dessus, les risques restant en cours sont devenus plus mauvais que ne le II. 8

- iiZ, -

serait l'ensemble de la population. Des résultats analogues se produisent pour toute la période d'âge de 3o à 55 ans.

Il est si vrai que cette différence de mortalité est le résultat deTanti-sélection des risques, que, si l'on étudie un âge pour lequel l'anli-sélection n'ait pas eu le temps de se produire, on trouve, en même temps, que la mortalité de la Table anglaise reste, pour cet âge, en dessous de la mortalité de la population générale. Ainsi, par exemple, on constate que les assurés âgés de 25 ans, sur lesquels ont porté les observations, n'étaient assurés en moyenne que depuis deux ans trois mois; après ce laps de temps, le bénéfice de la sélection médicale n'est pas encore perdu; et en effet, à 25 ans, le taux de mortalité de la Table anglaise est notablement plus faible que celui de l'ensemble de la population.

Ce résultat, sur lequel nous aurons à revenir, est de nature à mériter toute l'attention des Compagnies d'assurances sur la vie.

§ II. — Equations de mortalité.

118. On sait qu'en Géométrie analytique les courbes peuvent se représenter par des équations. 11 était donc naturel, après avoir tracé les courbes de mortalité d'après les données de l'expérience, de cbercher s'il n'y aurait pas quelque formule algébrique plus ou moins simple qui donnât leur équation.

Cette recbercbe n'est pas une simple curiosité; car, même quand on possède une Table exacte, il serait fort utile, pour divers problèmes d'assurances, ainsi que nous le verrons plus loin, de pouvoir la représenter par une formule algébrique, ne serait-ce même que pour une période limitée de l'existence.

On peut remarquer d'abord que, si l'on avait trouvé la formule du nombre des vivants par âges, c'est-à-dire la formule de la première des deux courbes que nous avons représentées, celle de la seconde courbe ou des taux de mortalité s'en dé-

(luirait immédiatement par dérivation. Si, en effet, y=f[œ) représente le nombre des vivants à l'âge x, le taux de mortalité à cet àgre est égal à ^- ou à — • . "^ ■> ce qui donne

pour la formule de la seconde courbe.

Si le taux de mortalité était constant à tout âge, on obtiendrait l'équation cherchée en posant d'abord celle qui exprime

cette propriété

âr

ydx

puis intégrant, ce qui donnerait

^ et c étant deux constantes.

Si le taux de mortalité était proportionnel à l'âge, il suffirait encore d'exprimer cette propriété pour en déduire l'équation cherchée. On aurait en effet

dy c

ax ei y-

ydx dx^

C et 6? étant deux constantes à déterminer.

Ainsi, toute hypothèse faite sur la loi des taux de mortalité conduit à trouver par une intégration une formule du nombre des vivants. Il faut ensuite vérifier si les résultats de cette formule concordent avec les données de l'expérience. Les deux formules ci-dessus ne donnent qu'une grossière approximation, et encore pendant une portion limitée de la vie. M. Gompertz, actuaire anglais, en a posé une autre, qui dérive également d'une certaine hypothèse faite sur la loi des taux de mortalité. La formule de M. Gompertz représente assez bien, sous certaines conditions, la courbe de mortalité; sa démonstration a été insérée dans les Plnlosophical Transactions de 1825, et rapportée dans le volume IX (1861) an Journal des Actuaires anglais. Il faut la connaître, ne serait-ce qu'à

- ii6 -

titre de curiosité, car elle a acquis en cette matière une sorte de célébrité; nous la donnerons donc ici.

119. Fonnule de Gompertz. — M. Gomperlz part de cette hypothèse qu'entre deux âges déterminés le taux de mortalité augmente en progression géométrique, c'est-à-dire que, si on le représente par a pour un ceitain âge et par aq pour l'âge suivant (après une année écoulée), il sera aq^ après X années écoulées. Comme le taux de mortalité à l'âge x est

M dy

représente, ainsi que nous lavons vu, par ——!-■> cette hypothèse donne lieu a l'équation suivante :

d'oii l'on tire

dr

^ aq'.

dy

- aq'dx

ognépj|- =

gc^-aî'

el, par intégration.

soit

d et g étant deux constantes à déterminer, et q étant la raison de la progression géométrique, suivant laquelle le taux de mortalité augmente d'année en année. On dispose de ces trois constantes, et, étant donnée une Table de mortalité, on détermine leurs valeurs numériques, de manière à faire concorder le mieux et le plus longtemps possible les nombres de vivants donnés par la formule avec les nombres de vivants donnés par l'obseivation.

120. Cherchons, par exemple, à adapter la formule de Gompertz à la Table de mortalité H^'; nous prendrons d'abord pour déterminants trois âges équidistants et embrassant une grande parlie de l'existence adulte : i5 ans, 3o ans et 45 ans.

- «17 - L'équation (23) donne, en prenant les logarithmes des dt'ii\ membres,

l0gj= log/^ = log</ -+- q' logg-.

Substituant pour 4 les nombres que l'on trouve dans la Table H", on obtient les trois égalités suivantes :

log Ai — 4,992218= logrZ + ry'Mogi,'-, log/30 = 4 >95359i = logf/ 4- q" logg-, log/a = 4,891643 = log^+ ^^^ logg ;

d'où, en prenant les différences de l'une à l'autre,

0,088627 = q'^{ I — q'^) logjO', 0,061948 = ^^"(1 — 7'Mlogi,^-;

et, divisant membre à membre,

61948 ^ 38627 log(/'''= o,2o5i363.

Avant d'aller plus loin, il est bon de conlrùler celte valeur en prenant pour déterminants trois autres âges, 11, '^'J et 32 ans. On trouve alors, par des calculs identiques,

On peut admettre, pour la valeur la plus convenable îi adopter, la moyenne arithmétique de ces deux résultats, ce qui

donne

logç'''^ o,2o88?.47> logy = o,oi3g2i6, q = 1 ,08257 ;

et l'on déduit facilement des équations qui précèdent les valeurs des deux autres constantes

l<^gg'= ' »96«3207, 0 = 0,91479, logf/= 5,054779, f/=ii3{44.

La formule de Gompertz, adaptée a la Table H^', est ainsi

la suivante :

/,= ii3444x(o,9.479)''--^

- ri8 -

Si l'on veut véritier avec quel degré d'appi^oximation elle donne les nombres des vivants aux divers âges, il suffit d'y faire, par exemple, x = [^o et l'on trouve

Le nombre inscrit dans la Table est 82284; il n'y a donc qu'une différence de 7 vivants, différence qui est insignifiante, et qui se confond, soit avec les erreurs d'observations, soit avec les écarts amenés par l'ajustement des Tables originales.

La formule de Gompertz, quelles que soient les valeurs données à ses constantes, ne peut jamais reproduire les nombres de la Table de mortalilé avec une exactitude matbématique; ainsi il serait impossible d'obtenir r = o, même pour un âge x égal à 100, ou à la limite supérieure de la Table; car l'expression c?^^' pourra bien devenir très-petite pour ^ très-grand, mais jamais nulle. Cela tient à l'hypotbèse môme : le taux de mortalité est supposé augmenter en progression géométrique ; il ne deviendra donc jamais égal à 1, tandis que, dans la réalité, le taux est toujours égal à i pendant la dernière année de la vie, puisque alors tous les vivants disparaissent; mais il ne peut être question ici que d'approximations; et, quand on aura remplacé d, g al q par des valeurs numériques raisonnablement calculées, il arrivera toujours que l'expression <^o-'7""' présentera une valeur, sinon nulle, du moins assez petite pour être négligée.

Cette formule s'appliquera, soit pendant toute la durée de la vie, soit entre deux limites d'âges quelconques, pourvu qu'entre ces deux limites l'hypotbèse admise se vérifie, c'està-dire pourvu que le taux de mortalité augmente d'année en année en progression géométrique. C'est là ce qui reste à vérifier, en s'appuyant sur les résultats numériques originaux, donnés par les Tables de moi'talité.

121. M. Gompertz dit à ce sujet que son hypothèse se vérifie en effet pendant une longue période de la vie humaine,

— « « 9 — mais pas cependant pendant toute la vie. M. Edmonds, qui s'est occupé après lui de la même étude, annonce que, d'après ses observations, on peut diviser la vie humaine en tiois périodes, dans chacune desquelles le taux de mortalité augmente en progression géométrique; la raison de ces progressions change seulement d'une période à l'autre. D'après M. Edmonds, cette loi serait absolue, pour toute population et dans toute circonstance. Il suivrait de là que la formule de Gompertz pourrait s'appliquer à toute la durée de la vie humaine, en la divisant seulement en trois périodes.

Ces trois périodes de la vie humaine, présentant celte propriété d'une progression régulière des taux de mortalité, avaient déjà été annoncées comme telles par le D' Price, en 1769. D'après M. Edmonds, la première est l'enfance, qui dure jusqu'à 9 ans, et la raison de la progression,

qui est désicçnée ci-dessus par q, v est ésale à — -, — — tt; la 1 o I / . o 1,479108

seconde est l'âge mûr, qui dure de 9 à 55 ans, et la valeur de^ y est égale à 1,02971 17; la troisième est la vieillesse, de 55 ans à la fin de la vie, et la valeur de «7 y est égale à 1,0796923. La règle posée par cet auteur est évidemment trop absolue; les lois naturelles ne peuvent pas s'enfermer dans un cadre aussi rigide. Tout ce qu'on peut dire, c'est qu'elle est assez approchée de la réalité; mais les valeurs de q, qui pouvaient être exactes lorsque M. Edmonds cherchait à les adapter à la mortalité générale de la population anglaise [Journal, des Acliiaires anglais, t. IX, 1861), ne seraient plus aujourd'hui les mêmes, si on voulait les adapter à la Table des vingt Compagnies ou à toute autre. Tout au moins faudrait-il modifier les limites d'âges des trois périodes et les valeurs numériques indi(juées par M. Edmonds.

122. La formule de Gompertz jouit d'une propriété remarquable. Lorsqu'on veut calculer les annuités viagères (continues ou ordinaires) sur une ou sur deux têtes [voir plus loin. Chapitre IX), on arrive à une somme que l'on ne peut évaluer

qu'en îulmettant une équalion déterminée pour représenter la loi (le mortalité. Si l'on admet que cette équalion soit l'équation (sf)), qui résulte de l'hypothèse de Gompertz, on reconnaît que, étant données deux ou plusieurs têtes d'âges quelconques, on peut les remplacer par une seule d'un âge convenablement choisi, et qu'après ce remplacement il reste constamment les mêmes chances pour le décès de l'une des têtes primitivement données (c'est-à-dire pour la dissolution de leur groupe) que pour le décès de la nouvelle tête choisie; en d'autres termes, l'annuité viagère sur deux ou plusieurs tètes a la même valeur que l'annuité sur la tête isolée. Ceci a été démontré pour la première fois par M. de Morgan, dans \eP/ulosop/ucal 3fagnzine ûe novembre i83f); la démonstration est résumée dans le tome XV du Journal des Actuaires anglais (p. 399). Il en résulte que la formule de Gompertz a pour propriété de permettre de ramener la recherche des annuités sur deux ou plusieurs têtes aux annuités sur une seule. Cette propriété est précieuse, parce que le calcul direct d'annuités sur deux et trois têtes est extrêmement long et fastidieux, tandis qu'on a toujours à sa disposition, pour la Table de mortalité que l'on a adoptée, des Tables toutes calculées et en tous cas faciles à établir, donnant les annuités sur une seule tête.

On a donc été conduit à reprendre la question en sens opposé, c'est-à-dire à chercher quelle est la loi de mortalité qui jouit de cette propriété que les annuités sur deux têtes peuvent se remplacer par des annuités sur une seule tête, d'un âge convenablement choisi. Le calcul ramène précisément à la formule de Gompertz, ce qui prouve qu'elle est la seule qui jouisse de cette propriété.

Cette démonstration a été donnée par M. de Morgan, dans le Journal des Actuaires anglais (t. X); elle est également établie, et d'une manière différente, dans le Traité de M. Laurent (page 196).