Formule de Maheham. — M. Makeham a proposé une

modification à la formule de Gomperlz. Au lieu de représenter la loi de variation des taux de mortalité par a^/^, il ajoute une constante, et la représente par b 4- aq'' .

Procédant alors comme au n" 119, cette hypothèse donne lieu à l'équation suivante :

dy ,

y =b -\- aq%

ydx

d OU 1 on tire

-^ :=r — bdx — iiq^dx

et par l'intégration

log népf = — hx — aij'' -4

Soit

(26) r=^Jgr,

k, a, g et q étant quatre constantes à déterminer; le nomhrc des vivants est donc ici exprimé par une formule qui contient quatre constantes au lieu de trois; cette formule peut être considérée comme représentant la loi de la mortalité humaine avec une exactitude suffisante, jusqu'à 70 ans au moins. On dispose des quatre constantes, et, étant donnée une Tahle de mortalité, on détermine leurs valeurs numériques de manière à égaler autant que possible, et pour la plus grande étendue possible, les nombres de vivants donnés par la formule avec les nombres de vivants donnés par la Table. Pour déterminer les quatre constantes k, a, g ei q, pour une Table de mortalité quelconque, il suffît de prendre dans cette Table les nombres de vivants à quatre âges distincts; il est bon de choisir ces quatre âges équidistants et aussi éloignés que possible. En prenant les logarithmes des deux membres dans l'équation (26), le calcul s'établit très-simplement de la manière suivante (nous supposons qu'on se sert de la

Table H^"^ et qu'on prend pour déterminanls les âges de 20, [\o, 60 et 80 ans) :

(27} logj = log/x = log/( — X logrt H- çMog^.

/ 4j98o52i5 = log/j- — 20 loga h- y'-"' log g-, 4,9102294 = log/i — 4olog« H- 7'° log g-,

j 4 . 7662 1 20 = log k — Qo log a H- c/ " log g-, ( 4*1522272 = log /»• — 80 logrt H- 9'' log g.

Prenant deux à deux les différences des équations (28),

i 0,0702921 1= 20 log a -f- q-" (q-' — i) logg-,

{29) < 0,1440174 = 20 logrt + ^'^(f/^"— i) logg^,

( 0,6139848 := 20 log rt -h q'^iq^"— i) log g.

Prenant encore deux à deux les différences des équations (29),

,3^ ( 0,0737253 = 9^- ((/■"- i)Mog g-,

( o,4699674 = ^^''(7^"-i)Mogg.

Divisant enfin les deux équations (3o) l'une par l'autre,

d'où l'on tire par logarithmes

(3i) log cy = o, 0402225.

On pourrait adopter pour q cette valeur, sans autre correction. M. VV^oolhouse, dans le tome XV du Journal des Actuaires anglais, croit cependant devoir rechercher une plus grande approximation; il recommence les mêmes calculs en prenant pour déterminants quatre âges intermédiaires, 3o, 5o, 70 et 90 ans, et il arrive ainsi à une nouvelle valeur

(32) log ^ = 0,0395578.

Avec les deux valeurs de q tirées des équations (3i) et (32), il calcule deux séries différentes de coefficients numériques pour la formule de jMakeham, et deux séries de valeurs indiquant les nombres, théoriquement calculés, des

vivants aux différents âges. Il s'arrête enfin pour log q a une sorte de moyenne prise entre les valeurs (3i) et (32), et établie de telle manière que les écarts entre les nombres de vivants résultant de l'application de la formule elles nombres résultant de l'observation soient le moins grands possible. Ayant adopté une valeur pour log q, il en déduit facilement, au moyen des équations (3o), (29) et (28 j, les valeurs correspondantes de g, de a et de k. Ces valeurs, qu'il adopte définitivement comme convenant à la Table H"*", sont les suivantes :

log/i = 5,0411939,

loga =: 0,0028634,

logg=: — o,ooo4i2i = I ,9995879,

log(/ = 0,04.

On peut en conclure

q = ' ,0964^- La formule de Makebam, pour la Table H*"^, est donc

124. M. Gompertz s'était basé, pour adopler son bypothèse, sur la considération physiologique suivante : on peut admettre que la force de mortalité qui assiège tout homme s'augmente, dans un temps infiniment petit, d'une fraction toujours constante de sa propre valeur. C'est une hypothèse physiologique, à laquelle il n'attachait cependant pas une valeur absolue, car il disait lui-même, dans son premier Mémoire : « On pourrait admettre que la mort peut être le résultat de deux causes générales indépendantes : l'une consisterait dans le hasard, dans les accidents qui peuvent priver de la vie une personne encore en parfaite santé; l'autre est la vieillesse, qui affaiblit graduellement tout individu et le rend

de moins en moins capable de résister aux forces destructives. y> C'est cet aperçu lumineux, dont Gompertz n'avait pas voulu faire la base de ses calculs, qui a été repris et traduit en formule algébrique par M. Makeham. M. Makeham est arrivé ainsi à plus d'exactitude; mais il n'a pu le faire qu'en adoptant une formule moins élégante, plus compliquée et plus difficile à manier dans les recherches.

Il considère la force de mortalité comme se composant de deux éléments : l'un, qui se comporte absolument comme celui qu'a adopté M. Gompertz et qui varie par conséquent avec l'âge, l'autre qui est fixe et qui représente la part du hasard, des accidents indépendants de l'âge ; c'est ce qui justifie l'addition d'une constante. De telles considérations physiologiques, fiiites a priori, peuvent avoir leur utilité pour guider les tâtonnements ; mais il ne faut pas s'exagérer leur valeur, et l'on est toujours obligé de comparer les résultais aux(|uels elles conduisent avec les données originales fournies par les statistiques mortuaires.

125. La formule de Makeham jouit d'une propriété analogue à celle de Gompertz et qui a é!é démontrée par son auteur [Actuaires anglais, t. IX, p. 36i). Si on l'adopte comme représentant la loi de mortalité, on peut, pour le calcul des annuités viagères (continues ou ordinaires) sur deux ou plusieurs têtes d'âges quelconques, remplacer ces têtes par deux ou plusieurs autres ayant toutes le même âge, en choisissant convenablement cet âge commun. Au lieu d'avoir à calculer des Tables d'annuités sur deux tètes d'âges différents, ce qui suppose deux éléments variables, on n'aura donc à calculer que des Tables sur deux têtes de môme âge, ce qui ne laisse qu'un élément variable et conduit à des calculs beaucoup plus simples, quoiqu'un peu moins simples eux-mêmes que ceux qui résultent de l'adoption de l'hypothèse de Gompertz.

Réciproquement, si l'on cherche une loi de mortalité pour laquelle les annuités sur deux têtes jouissent des propriétés ci-dessus exposées, on retombe précisément sur la formule de

Makeham, ce qui prouve qu'elle est la seule qui satisfasse à cette condition.

§ III. — Vie probable. — Vie moyenne.

126. On appelle vie probable, a un âge quelconque et d'après une Table de mortalité déterminée, la ditlerence qui existe entre cet âge et l'âge auquel le nombre des vivants est réduit à moitié. Ainsi, dans la Table de mortalité de Deparcieux, le nombre des vivants à 3o ans est 784 et ce nombre est réduit à 38o à (dÇ> ans et à 3G4 à 67 ans; la vie probable à 3o ans est donc de 36 ans et 10 mois. Dans cette Table, la vie probable est de l\2 ans à la naissance; elle augmente jusqu'à 3 ans, âge auquel elle est de 55 ans et 4 mois, et elle diminue ensuite constamment d'année en année.

127. Vie moyenne. — Si l'on considère un groupe de vivants du même âge et qu'on les suive pendant toute leur existence, en supposant qu'ils décèdent exactement suivant la loi indiquée par une Table de mortalité, la somme des années de vie dont ils auront joui à eux tous forme la vie totale du groupe en question; et, en divisant cette somme par le nombre des individus qui composaient ce groupe à son origine, on obtient ce qu'on appelle la vie moyenne de chacun de ces individus. Comme on peut supposer que tous ceux qui meurent dans la première année ont vécu une demi-année, la vie totale du groupe, après un an écoulé, sera

La deuxième année fournira, de même, -^^ — années de

vie, et ainsi de suite; de sorte que, en ajoutant tous ces éléments et divisant par/.,., on voit que la vie moyenne à l'âge x est représentée par la formule

la limite de la vie étant supposée de 100 années.

Dans la Table de Deparcieux, la vie moyenne est de 89 ans 8 mois à la naissance; elle augmente jusqu'à l'âge de 4 ans, oïl elle atteint 49 ^^^ 4 mois, et elle diminue ensuite progressivement d'année en année. A 3o ans, elle est de 34 ans I mois, tandis que la vie probable était 36 ans 10 mois.

128. La vie moyenne ne peut pas être égale à la vie probable, ni avoir avec elle aucun rapport fixe; car tous les décès qui arrivent après l'époque où le nombre initial des vivants que l'on considère a été réduit à moitié n'ont plus aucune influence sur le cbilTre de la vie probable, tandis qu'ils contribuent, pour leur part, à former le cbiffre qui représente la vie moyenne.

La vie probable et la vie moyenne seraient toujours égales si le nombre des décès était constant à tous les âges; la vie probable serait constamment la plus grande si le nombre absolu des décès par âges allait toujours en augmentant; elle serait constamment la plus courte si ce nombre allait toujours en diminuant. En réalité, les nombres absolus des décès varient irrégulièrement suivant les âges, de sorte que la relation entre la vie moyenne et la vie probable est elle-même irrégulière et varie d'une Table de mortalité à une autre. Dans la Table de Deparcieux, la vie probable est la plus grande des deux, depuis la naissance jusqu'à l'âge de 55 ans; à 56 ans, elle est égale à la vie moyenne, et elle lui devient inférieure pendant tout le reste de la vie.

129. On peut' représenter graphiquement la vie moyenne et la vie probable. Soit APB la courbe de mortalité, à partir d'un âge Oa = a. Si l'on prend une ordonnée Vp, égale à la moitié de Aa, la vie probable sera représentée par ap. Il est facile de voir, de plus, que la vie totale du groupe de vivants Aa est représentée par l'aire de la courbe APB, de sorte que la vie moyenne est égale à am, pourvu que l'on place m de telle manière que la surface du rectangle AaWm soit égale à l'aire de la courbe. Si les décès par âges étaient en

nombre constant, la courbe de mortalité serait remplacée par la droite ADB; la vie moyenne et la vie probable seraient toutes deux égales à ad et égales à la moitié de l'in-

Kig. (3.

icrvalle qui reste à parcourir entie l'âge Oa et la limite de la vie Ob. Dans l'âge mùr, ap et am sont plus grands que ad-, dans la vieillesse, ce serait le contraire, parce que la courbe (le mortalité devient concave au lieu d'être convexe.

On peut remarquer ici que l'intégration de la formule de Gompertz ou de la formule de Makeliam donne l'aire de la courbe AP^ et, par conséquent, la valeur de la vie moyenne à un âge quelconque. Si, en effet, on représente l'équation de la courbe de mortalité par j =.f'x), la vie totale des individus de l'âge a, formant le groupe que l'on considère, a pour valeur

— ; xily=:af{a) + I ydx;

la vie moyenne, comptée à partir de la naissance, mais pour les individus qui ont déjà atteint l'âge a, a donc pour valeur

J{ ydx

et la vie moyenne, à partir de l'âge a. qui est déjà atteint, est

y (ix

La vie moyenne, à partir de la naissance, est

ydx

/(o) étant le nombre des vivants à o an, c/est-a-dire le nombre annuel des naissances. Si f[oc) représentait la totalité des habitants de l'âge x, composant une ville ou une nation,

/ ydx serait la population de cette ville ou de cette nation ;

et la vie moyenne s'obtiendrait, comme on le voit, en divisant la population, supposée constante, par le nombre des naissances, supposé également constant.

La détermination de la vie probable et de la vie moyenne a son utilité dans les travaux de statistique; mais, comme nous le verrons plus loin, ces deux éléments sont à peu près sans emploi pour les calculs auxquels donnent lieu les combinaisons d'assurances sur la vie.