II. o

combien il doit en disparaître à i an, combien à i ans, à 3 ans, et ainsi de suite jusqu'à la fin de la période fixée pour l'amortissement, époque a laquelle disparaîtront les dernières obligations qui formaient le groupe primitif.

Le nombre des obligations amorties à chaque tirage va toujours en augmentant d'année en année, de sorte qu'il y aune certaine analogie entre la loi d'amortissement d'un groupe d'obligations et la loi de mortalité d'un groupe de population humaine. On trouve seulement ici beaucoup plus de régularité que dans la mortalité de l'espèce humaine, puisque tout est déterminé à l'avance et que le sort ne porte que sur les numéros des obligations à amortir, et non sur leur nombre. Un groupe d'obligations est pour ainsi dire le type parfait d'une couche homogène de population, dont la mortalité est connue d'avance sans erreur possible.

131. La théorie des emprunts par obligations sortirait du cadre de notre travail; elle a du reste été exposée de la manière la plus complète par M. Charlon dans son Ouvrage intitulé : Théorie mathématique des opérations financières (Gauthier-Villars, 1869) et dans son Mémoire sur les Emprunts publics [Journal des Actuaires français, n°* 1 et suivants). Ce qui peut être intéressant ici, c'est de reconstituer, pour un groupe d'obligations soumises à l'amortissement, les mêmes formules que nous avons établies précédemment pour un groupe de population humaine soumis à la loi de mortalité.

L'amortissement peut se faire suivant une loi quelconque; nous supposerons toujours que, conformément à ce qui se fait dans la pratique, on consacre à la fin de chaque année une somme ou annuité constante au service de l'intérêt et de l'amortissement; cette annuité doit être nécessairement plus élevée que celle qui serait nécessaire pour le service de l'intérêt seul, et elle se trouve déterminée quand on donne le nombre d'années au bout duquel on veut que l'amortissement soit effectué. Nous conserverons les notations adoptées par M. Charlon, et nous appellerons :

V le nombre d'obligations dont l'emprunt se compose à l'origine, autrement dit la valeur nominale de l'emprunt, en prenant pour unité la valeur nominale à laquelle chaque obligation doit être remboursée;

A l'annuité constante qui doit sutfire au service de l'intérêt et de l'amortissement;

tic taux d'intérêt pendant l'unité de temps, qui est ici une année;

n le nombre d'années au bout duquel l'emprunt doit être totalement amorti;

fjt) la fonction - i ^- — ;

S^ le nombre d'obligations que l'on amortit à la fin de la

^teme yj^j^^ Jg tCUipS;

Rple nombre d'obligations qui restent à amortir à cette même époque, après que le //""'' amortissement a été effectué.

Conformément aux formules établies parM. Charlon [Journal des Actuaires français, 1872, p. i5i), les quantités A, S^ et Rp se trouvent déterminées par les relations suivantes :

132. Équation du nombre des vivants. — La valeur de R„, qui donne le nombre des obligations vivantes, ou restant à amortir après/? années écoulées, correspond à ce que nous avons appelé, au n*^ 118, V équation du nombre des vivants.

En remplaçant A par sa valeur, on obtient pour la valeurde R^en fonction du nombre V des obligations vivantes à l'origine

,36) R,= Zii±i)l Y (, + ,),.

133. Equation des taux de jnortalité. — Le taux de mortalité à l'âge/? est égal au rapport des extinctions survenant de l'âge/? à l'âge/? -h i, au nombre des vivants à l'âge/?, c'està-dire à

134. Vie moyenne. — La vie moyenne d'une obligation à un âge déterminé, c'est la somme des unités de temps qu'ont encore à vivre toutes les obligations existant alors, divisée par leur nombre. 11 est facile de voir (Charlon, Théorie mathématique des opérations financières , n" 144) que cette vie moyenne est exprimée par la formule

Pour/) = o, c'est-à-dire à l'origine de l'emprunt, cette vie moyenne est égale à

135. Vie probable. — La vie probable d'une obligation, c'est le temps qui doit s'écouler pour que l'amortissement réduise de moitié le nombre des obligations existantes. Elle est

égale à

iog

(i -)- ty-y ^ ^' ^ iog (i + 1)

Quand/? = o, c'est-à-dire à l'origine de l'emprunt, cette vie probable est égale à

Iog- ""—^ —

ii + O" n —

log(n- t) On peut remarquer que ces trois derniers éléments calculés,

le taux de mortalité, la vie moyenne et la vie probable, ne dépendent pas de n et de/?, mais seulement de n — yo, temps qui reste à courir jusqu'à la fin de l'amortissement. Ils restent les mêmes pour un emprunt amortissable en loo ans, et déjà âgé de 60 ans, que pour un emprunt amortissable en 5o ans et déjà âgé de 10 ans.

136. Exemple. — Nous ferons une application de ces divers calculs à l'emprunt émis le i*''" juillet 1864 par la Compagnie des chemins de fer de l'Ouest. Cet emprunt se définit de la manière suivante : Il se compose de 3ooooo obligations de 5oo francs, rapportant 3 pour 100 ou i5 francs d'intérêt annuel, et amortissables en 87 payements, dont le premier a lieu le i^' juillet i865, et le dernier le i*'*" juillet 1951 : l'origine des âges est donc le i" juillet 1864. L'annuité qui fait le service de l'intérêt et de l'amortissement doit être constante.

Les formules des n^'MSi et suivants donnent donc pour cet

emprunt

„, . 3oo 000 -'o,o3 ,, , ,

l'unité monétaire étant 5oo francs, valeur nominale d'une obligation, soit, en francs, 4872302 francs.

Vie moyenne

i,o3"-/' log

(39) Vie probable = 87— p — — (37) Taux de morlalilc =: — r^— ■

'"^ 1,00'''-/' logi,o3

Si l'on vent se placer au i^"" juillet 1876 et chercher quel est le nombre d'obligations à amortir ce jour; quel est, après cet amortissement effectué, le nombre d'obligations encore en vie; quelles sont leur vie moyenne et leur vie probable, il suffit de faire/? =11, et l'on trouve alors

S,, =■- io3i , Rn = 290464, Yie moyenne = 5i ans.

Vie probable = 56 ans.

Taux de mortalité := o,o35.

Le nombre d'obligations restant à amortir après le i*'" juillet 1876 et le nombre d'obligations amorties ce jour sont bien ici conformes aux nombres inscrits dans le Tableau d'amortissement publié par la Compagnie de l'Ouest; quant à l'annuité, on a été obligé, dans ce Tableau, de l'augmenter ou deladiminuerde quelques centaines de francsà chaque tirage, parce qu'on ne peut amortir à chaque fois qu'un nombre entier d'obligations.

137. On peut représenter graphiquement par des figures très-simples les résultats des formules qui précèdent. La formule (34) donne pour la valeur de l'annuité A

Si on laisse V constant et qu'on fasse varier n, on verra comment varie le montant de l'annuité A avec la durée de l'amortissement. On représentera ces variations par une courbe dont les abscisses seront les durées n, et dont les ordonnées seront les valeurs de A. Celte courbe, que nous figurons ci-contre, a pour asymptotes l'axe des y et une parallèle à l'axe des x menée à la distance \ t; l'annuité ne peut en effet jamais être inférieure à Y/, même quand elle sepayerait pendant un nombre infini d'années. Pour x= i ,

la valeur de A est V (i + /) ; pour x = i, elle est réduite à très-peu près à moitié; pour ^r = 3, à très-peu près au tiers. Pour amortir i million à 5 pour loo, il faut payer une annuité de isqSoS francs pendant lo ans, ou de 70952 francs pendant 25 ans, ou de 54777 francs pendant 5o ans, ou de

300 000 fr

Courbe indiquant les annuités nécessaires pour amortir un million à 5 pour loo en un nombre d'années variable.

5o384 francs pendant loo ans, ou de 5oooo francs pendant toute l'éternité : c'est ce que résume la courbe ci-dessus. Cette courbe permet de reconnaître d'un coup d'œil qu'un emprunt remboursable dans un délai un peu long, 60 ou 80 ans par exemple, n'exige qu'une annuité à peinesupérieure au montant de l'intérêt seul. Il est donc très-avantageux pour un emprunteur, surtout quand cet emprunteur est un État, dont la durée doit être très-longue, de ne contracter que des dettes amortissables, serait-ce en un délai de 80 ou 100 ans. Les États font cependant presque toujours le contraire, et contractent presque tous leurs emprunts en rentes perpétuelles, et non en obligations amortissables.

138. Quand \ , n Qi t sont connus, les formules précédentes donnent les valeurs de A, S et R. Yoici comment on peut les représenter graphiquement [Jig. 5).

Fîc. 5.

ttp

bl 1

Amortissement des obligations.

c„s annuité constante.

n^b payement fait pour l'intérêt.

b Sp payement fait pour l'amortissement.

s r obligations précédemment amorties.

r p obligations restant à amortir.

Soient, sur l'axe des abscisses, On =n, représentant n unités de temps, Oi et 0/? représentant i et/? unités de temps, et sur l'axe des ordonnées OV — V unités monétaires. Menons V6 parallèle à On et i <2, parallèle à l'axe OV; cette ordonnée la^ coupera V6 en un point b^, et nous porterons au-dessus de h^ la longueur b^ a, = V/, et au-dessous la longueur

b^s^ = V^ , /T^rir '^' ^" ^"^ ^^^ ^8'^^ ^ ^' représentera

l'annuité constante à payer. Cette annuité, pour la première année, se divise en une somme égale à a, b^, payée pour intérêt, et une somme égale à ^, 5,, payée pour amortissement. Parle point s^, faisons passer la courbe ^, SpS,i, dont l'équation déterminante est

bp Sj,z= A

on remarquera que cette courbe coupe l'ordonnée /^a^j en un

- ,37 point Su, déterminé par la relation b,t s,,-- — — et qiî'elle

est asymptote, pour un temps — oo , à la droite Y b. Par le point a, faisons passer une deuxième courbe, parallèle à celleci, et qui vient couper la droite Vb en un point /?„+, situé à une distance V^^^., = /z -h i. Dès lors, tous les fragments d'ordonnées, tels que ap s^,, compris entre les deux courbes, sont constants et égaux à A ; et la partie bp ûp, située au-dessus de V^, représente la portion de l'annuité A consacrée h l'intérêt dans le //""^payement, tandis que la portion 6^^^ représente la portion consacrée à l'amortissement. On voit ainsi la première diminuer et la seconde augmenter constamment. Si l'on fait passer par les points V et n une autre courbe dont l'équation est

courbe qui passera nécessairement aussi par le point S,, et si l'on appelle r^ le point où elle est coupée par l'ordonnée p, on voit que prp représente le nombre des obligations restant encore en vie après le temps p écoulé (et après \ep'""^ amortissement effectué), tandis que bpPp représente le p"''"^ amortissement, et SpFp la somme de tous les amortissements précédents. La courbe ¥„ est donc celle qui correspond à la courbe dite du nombre des vnants, quand il s'agit d'une population humaine. Elle s'approche beaucoup d'une ligne droite s'il s'agit d'un amortissement fait en quelques années; elle est, au contraire, très-convexe lorsque la durée de l'amortissement est longue. Elle a une certaine ressemblance déforme avec les courbes du nombre des vivants déduites des diverses Tables de mortalité, pourvu que l'on ne considère celles-ci qu'entre les âges de 20 ans et de 80 ans environ. Entin on peut tlgurer aussi la vie moyenne et la vie probable des obligations, à partir d'une époque quelconque, par un procédé identique à celui qui a été indiqué au n° 129, lorsqu'il s'agissait des courbes de mortalité.