CALCUL DES PRIMES

139. Les assurances sur la vie comprennent toutes les opérations dont les effets dépendent de la durée de la vie humaine. La Compagnie qui assure prend l'engagement de payer certaines sommes soit au décès de l'assuré, soit à des époques déterminées, à la condition, ou que l'assuré soit encore vivant à ces diverses époques, ou qu'il ne le soit plus. De son côté, l'assuré, ou la personne qui contracte avec la Compagnie, prend l'engagement de payer à celle-ci certaines primes, à des intervalles périodiques, tous les ans ou tous les semestres. Ces primes sont, dans la pratique, soumises à diverses modalités : elles peuvent être constantes, ou aller en croissant ou en décroissant d'année en année; elles peuvent être exigibles pendant toute la durée de la vie de l'assuré, ou pendant un temps limité ; elles peuvent reposer sur une ou sur deux têtes; on peut encore stipuler qu'elles rapporteront à celui qui les verse un intérêt constant, ou qu'elles lui seront remboursées dans certaines éventualités, etc.

Quel que soit le mode de payement adopté, les primes doivent être calculées de telle manière que l'engagement pris par la Compagnie et l'engagement pris par le contractant aient la même valeur actuelle (nous verrons plus loin d'où provient le bénéfice de la Compagnie). Ce calcul se décompose en deux, d'après la méthode générale suivante :

1° On cherche d'abord quelle est la valeur actuelle de l'engagement pris par la Compagnie; cette valeur indique de suite la somme que devrait payer le contractant s'il voulait se libérer en un seul payement; c'est donc la prime unique afférente à l'opération d'assurance projetée.

2° Connaissant la prime unique, ou la valeur actuelle de l'engagement réciproque des deux parties, et étant donné le mode de payement que l'on a choisi pour les primes annuelles, on calcule quel doit être le montant de ces primes pour que leur ensemble donne une valeur actuelle égale à la précédente. Dans ce second calcul, on n'a plus à faire entrer en ligne de compte la nature de l'opération d'assurance dont il s'agit; on n'opère que sur la prime unique précédemment calculée, sans s'inquiéter de savoir à quelle opération elle correspond, et l'on applique les méthodes générales qui servent à transformer une prime unique en primes annuelles équivalentes.

Pour faire le premier, ainsi que le second calcul, il faut préalablement connaître la théorie des annuités viagères, que nous allons exposer d'abord. L'ensemble des calculs, dont nous avons à nous occuper dans ce Chapitre, se décomposera donc en quatre parties, qui formeront autant de paragraphes distincts :

§ I". Théorie des annuités viagères.

§ H. Calcul de la prime unique des principales combinaisons d'assurances.

§ m. Transformation d'une prime unique en primes annuelles.

§ IV. Calcul des primes des diverses combinaisons d'assurances.

§ P"". — Théorie des annuités viagères.

140. On appelle annuité viagère sur une tête d'âge a et l'on désigne par X^ la valeur actuelle d'une série de sommes de I franc, payables la première dans i an, la deuxième dans 2 ans, etc., tant qu'une personne, âgée aujourd'hui de a années, continuera à exister.

La valeur d'une annuité viagère dépend du taux d'intérêt auquel on suppose que les capitaux peuvent être placés, et

en outre de la loi de mortalité à laquelle est assujettie la personne sur la tête de laquelle elle repose, en d'autres ternies, de la Table de mortalité adoptée. Ces deux éléments, taux de l'intérêt et Table de mortalité, déterminent complètement la valeur de l'annuité viagère.

Dans les calculs d'assurances sur la vie, on suppose toujours que les capitaux versés entre les mains de la Compagnie sont immédiatement placés par elle, à intérêts composés se capitalisant d'année en année, et que le taux de ces placements reste le même pendant une période de temps indéfinie.

On néglige donc la perte d'intérêts que la Compagnie éprouve forcément, par suite de la nécessité où elle se trouve, en pratique, de garder toujours entre ses mains un certain fonds de roulement non placé, qui ne rapporte rien; mais, d'un autre côté, on suppose que les intérêts sont seulement capitalisés par années, tandis qu'ils peuvent souvent, dans la pratique, être capitalisés à des intervalles plus rapprochés. On peut admettre qu'il y a une certaine compensation entre ces deux causes d'erreur; mais il en subsiste une autre qui est beaucoup plus importante : elle consiste en ce que la Compagnie, pour placer ses capitaux, est obligée d'accepter le taux d'intérêt du moment, taux qui varie sans cesse, tandis que l'on a admis qu'elle pouvait toujours faire ses placements à un taux constant. Aussi, dans les calculs, on doit choisir ce dernier taux assez faible pour être à peu près certain que la Compagnie pourra toujours, pendant une période de 5o à 60 ans que peuvent embrasser les assurances, replacer ses 'capitaux à un taux égal ou supérieur. L'erreur qui en résulte se traduira donc, pour la Compagnie, par un bénéfice, que l'on peut appeler bénéfice de placements . Ce bénéfice, qu'il est impossible de calculer par avance, puisqu'il dépend tout à fait des conditions du marché financier, devient souvent très-important et même supérieur à celui qui peut résulter des opérations d'assurances proprement dites. Il est clair que, plus le taux fixé d'avance est faible, toutes choses égales

- l/jl -

d'ailleurs, et plus les tarifs de primes doivent être élevés; plus grand doit être également le bénéfice réalisé par l'assureur sur ses placements de fonds.

En France, toutes les Compagnies ont pris, pour calculer leurs tarifs, le taux de 4 pour loo l'an; en Angleterre, beaucoup de Compagnies ont abaissé ce taux à 3,5 et même 3 pour loo. Dans les exemples que nous aurons à calculer ciaprès, nous appliquerons le taux de 4 pour loo.

141. Étant admis que le taux de l'intérêt annuel restera constant et égal à /, pendant une période de temps indéterminée, il résulte des formules ordinaires de l'intérêt composé :

i** Qu'une somme quelconque A, payée aujourd'hui, vaudra, dans n années, A (i -h t)";

2° Qu'une somme A, à payer dans n années, ne vaut au-

lourd hui que 7 — -— — ou A(i-t-0~"» ce qui revient a dire

que l'engagement de payer une somme A dans n années a

A pour prix ou pour valeur actuelle-, - --r-

On admet, par convention, que ces formules sont encore exactes quand n représente, au lieu d'un nombre entier d'années, un nombre fractionnaire, ou même une fraction plus petite que l'unité. Cette convention est le corollaire, le complément de celle qu'on est obligé de faire pour adopter un taux uniforme et constant d'intérêt annuel.

142. Nous avons dit que l'on adoptait pour le taux d'intérêt t une valeur plus faible que le taux qu'on peut réellement obtenir dans la pratique pour les placements de fonds : il est bon de se rendre compte de l'influence que peut exercer cet écart entre le taux de placement adopté dans les calculs et le taux que l'on peut réaliser dans la pratique.

S'il s'agit d'une somme A, versée aujourd'hui à la Compagnie, sa valeur dans n années, A ( i + ^)", sera en réalité

plus forte que le calcul ne l'indique : il y aura donc comme marge un certain bénéfice de placement.

S'il s'agit d'une somme A à payer dans n années, sa valeur actuelle A (i H- ^)"" est en réalité plus faible que le calcul ne l'indique. Si donc c'est la Compagnie qui doit la payer dans n années, il y aura encore un certain bénéfice de placement; mais si, au contraire, c'est le contractant qui doit payer et la Compagnie qui doit recevoir dans n années la somme A, il y aura un mécompte, une perte sur les placements de fonds; en d'autres termes, si le taux/ est plus petit que celui que l'on peut réaliser dans la pratique, la somme A à recevoir par la Compagnie dans ?i années a réellement une valeur actuelle plus faible que la valeur A(i -h/)-", que l'on fait entrer dans les calculs. Nous aurons à revenir plus loin sur les conséquences de cette remarque.

143. Annuités viagères. — Nous avons donné au n° 140 la définition de l'annuité viagère.

Si l'on désigne par Q," la valeur actuelle d'une somme de I franc, payable dans n années, mais seulement à la condition qu'une personne âgée aujourd'bui de a années existera encore à cette époque, on aura

En effet, si le payement n'était soumis dans n années à aucune éventualité, sa valeur actuelle serait (i + /)~"; on obtient donc la valeur cbercbée en multipliant celle-ci par la

fpaction-Y, T— ' q^^i exprime la probabilité que la personne

désignée existera encore dans n années, / (<2) désignant toujours, comme au n° 118, le nombre des vivants à i'àge a.

D'après ce qui a été dit au n*^ 142, si / a dans la réalité une valeur plus forte que celle qui entre dans les calculs, la valeur donnée pour Q" par la formule (40 pst plus forte que la valeur réelle.

Il suit de ce qui précède que la valeur de l'annuité viagère est

cette série étant prolongée jusqu'à ce qu'on trouve un terme nul, provenant du décès de toutes les personnes âgées aujourd'hui de a années. Si l'on désigne par w l'extrême limite de la vie humaine, il y aura « — a ternies, dont le dernier sera Q"""-

Ajoutons que, si t a dans la réalité une valeur plus forte que celle qui entre dans les calculs, la valeur donnée par la formule {^ot) pour l'annuité X^ sera plus forte que la valeur réelle. La même remarque s'applique k toutes les annuités diverses qui vont être calculées par la suite.

On a constamment besoin de connaître les valeurs numériques de X aux divers âges; il y a plusieurs manières de disposer les calculs pour les obtenir.

144. Première méthode. — D'après la formule (4i)' ^^ ^^^ facile de voir que

et par conséquent

d'où l'on tire

On aurait pu, du reste, écrire cette formule immédiatement, en observant que l'annuité sur une tête d'âge a est égale à l'annuité sur une tête d'âge a-h i, payable d'avance, c'est-à-dire iH-X^^,, valeur ramenée à ce qu'elle serait un an avant le premier versement, à l'aide du multiplicateur Q,J.

La formule (43) permet de calculer toutes les annuités de proche en proche, en commençant par les âges les plus avancés de la Table.

Cplte méthode a l'avantage de s'appliquer avec la même

facilité au calcul des annuités viagères sur deux têtes, ainsi que nous le verrons plus loin.

145. Deuxième méthode. — Quand on veut calculer des Tables complètes, donnant les annuités à tous les âges, il est préférable de disposer les calculs d'une manière plus systématique. On dresse deux Tables auxiliaires : l'une des nombres T, définis par la relation

l'autre des nombres G, définis par la relation et l'on a alors

<'t par conséquent

c'est la métbode indiquée par M. Maas, dans son Traité des A nnuités viagères . f P a r i s , 1868.)

14C. Troisième méthode. — Les actuaires anglais emploient un procédé de calcul un peu diflerent, qui donne plus de simplicité à toute la série des opérations subséquentes (voir le travail de M. de Morgan, vol. XII au Journal des Actuaires anglais). Il faut encore dresser une Table auxiliaire, qui est appelée Table de commutation, et qui donne cinq séries de nombres :

1° Les nombres D, définis par la relation

2° Les nombres N, qui donnent les sommes des précédents

(45) N,= D,+, -h Ba^, -h Da^, H- . . . .

3" Les nombres S , qui donnent les sommes des nom-

- i/jS -

bres N

(46) Sa=Na+N„+,-f-N.+, + ....

4*^ Les nombres M, détinis par la relation

5" Les nombres R, qui donnenl les sommes des nombres M

Nous indiquerons par la suite l'emploi de ces diverses séries de nombres. En ce qui concerne le calcul des annuités, dont nous nous occupons actuellement, on ne se sert que des nombres D et N. La formule (42) donne, en effet,

(49) x.=.- ^^ =jj^.

Toute la série des annuités X se calcule donc facilement par logaritbmes.

Il est bon de remarquer aussi que les nombres D donnent, par une simple division, les valeurs de Q (n''41); car on a

toujours 0:==?"-^^'.

147. La Table de commutation et les diverses Tables d'annuités ont été calculées et publiées par les actuaires anglais pour lesTables de mortalité H", H^ et H" '^\ ajustées par iM.Woolbouse, et pour les taux d'intérêt 3, 3^, 4» 4 o» ^ ^'^ ^ pour 100. (On a appelé H"'^' une Table de mortalité dressée pour les bommes assurés, mais en ne tenant compte que de ceux qui sont assurés depuis 5 ans au moins). On trouvera ces résultats, ainsi que tous les autres éléments qui pourraient être utiles pour les calculs d'assurances sur la vie, dans deux ouvrages anglais tout récents ; le premier, publié par Y Institut des Actuaires (Londres, i8'-'2), a pour titre : Tables deduced from the mortality expérience ; le second, dû a 3L Pi'ice Hardy (Londres, iS'ySjLayton éditeur), est intitulé Valualion Tables. Nous reproduisons à la fin du volume la Table de commutation dressée d'après la Table de mortalité H'', et au taux d'intérêt de 4 pour 100, ainsi que les principaux résultats, sur II. 10

- i46 lesquels nous aurons occasion de revenir dans le courant de ce Chapitre.

148. Une annuité a toujours une valeur actuelle d'autant plus faible que le taux d'intérêt adopté est plus élevé. La divergence entre les deux valeurs est elle-même plus forte pour les âges jeunes que pour les âges avancés, parce que l'influence du taux de l'intérêt se fait sentir plus longtemps. Le tableau suivant donne une idée de ces variations pour ce qui concerne l'annuité viagère sur une tête.

AGE

i8,4iG

fr 1 7 , 1 3 1

Ainsi, pour une augmentation de ipour 100 dans le taux d'intérêt adopté, l'annuité à 3o ans diminue de 7 pour 100 environ de sa valeur, et l'annuité à 5o ans diminue seulement de 5 pour 100 environ de sa valeur.

149. Annuités semestrielles, trimestrielles, continues. — Indépendamment de l'annuité proprement dite, qui se paye par années, on est amené à en considérer d'autres, qui se payent par fractions d'année. On appelle annuité payable par

fraction — d'année l'annuité dans laquelle la somme de I franc, au lieu d'être payée en une fois, à la fin de chaque année, est payée en m payements, égaux chacun à — et effectués à la fin de chaque fraction — d'année. Ainsi l'annuité

semestrielle comporte chaque année deux payements de ^ franc, faits à la fin de chaque semestre. Lorsque m sluçs;mente de plus en plus et tend vers l'infini, la valeur de l'annuité tend vers une limite que l'on appelle annuité continue. L'annuité continue est donc une annuité payable par frac-

— i47 — lions infiniment petites, à des intervalles de temps infiniment petits.

150. Laconsidération desannuités continuesaétéintroduite dans la science par M. Woolhouse, qui a publié un remarquable travail à ce sujet dans le Journal des Actuaires anglais en 1869. Cette théorie n'est qu'une des branches d'une méthode aussi nouvelle que féconde, et qui a été développée par cet auteur sous le nom de méthode continue. Cette méthode embrasse à la fois la définition et le calcul du taux de l'intérêt, du taux de mortalité et enfin des annuités viagères sur une ou plusieurs têtes. Nous allons en indi(juer les traits principaux, les définitions et les résultats, renvoyant le lecteur, pour la démonstration et la discussion des formules, aux Mémoires de M. Woolhouse {Journal des Actuaires anglais, t. XI et XV), au travail de IM. Achard [Journal des Actuaires français, t. I"", 1872) et au Traité de IM. Laurent.

151. Taux de l'intérêt continu. — Au lieu de placer un capital au taux d'intérêt t, payable par années, on peut le placer au taux t,n, payable par fractions —1 et à des intervalles égaux, marqués par la fraction — de l'année. Pour que l'on

obtienne, de l'une et de l'autre manière, le même capital au bout d'un temps quelconque, il faut que /,„ satisfasse à la relation

i + ^^fi + O""'-

Quand m augmente et tend vers l'infini, /,„ tend vers une limite que l'on peut désigner par /„ ou par 0 et qui n'est autre que

p=lognép(i + 0 = ^- - + 3-— ••., et l'on peut exprimer aussi t en fonction de p,

— i48 — Le taux continu est toujours plus faible que le taux ordinaire, mais il en diftëre peu; ainsi :

Pour/ = 4po"ï' 'oo> p = o,o3g2; » t = 5 )> loo, p= 0,048g; » /r=6 )) 100, p=:o,o583.

152. Taux instantané de mortalité. — On appelle mor/<2/f7e, à l'âge a et pendant le temps n, le rapport du nombre des décès au nombre des têtes vivantes au commencement de la période de temps n; et taux moyen de mortalité le rapport entre la mortalité et le nombre n, qui mesure la période de temps considéré. La mortalité est donc

et le taux moyen de mortalité est

f{a)-f{a^n}^ nf{a)

Lorsque la période de temps considérée n diminue sans cesse et tend vers zéro, ce taux tend vers une limite que l'on nomme le taux instantané de mortalité et qui a pour valeur

fya]

c'est ce que les auteurs anglais appellent force of mortality. Il est impossible de calculer exactement cette valeur à l'aide d'une Table de mortalité, puisqu'il faut établir la formule de la dérivée /'(a;); on ne pourrait le faire que si l'on avait trouvé une formule f[x) représentant exactement les variations du nombre des vivants; mais on obtiendra facilement une approximation répondant, et au delà, à tous les besoins de la pratique, puisqu'il suffit d'adopter pour/(^) une formule qui ait, ainsi que sa dérivée, pour x = a une valeur éurale à celle de la réalité. Cela revient à tracer une courbe dont la tangente, au point correspondant à l'âge a, ait une

— i49 — inclinaison déterminée, ce que l'on obtiendra ou en adoptant pour la courbe la formule de Gompertz, ou en la remplaçant par une courbe du deuxième degré, facilement différentiable et passant par les cinq points a — 2, a — i, a, a -h 1 , « 4- 2. Pratiquement, on n'a même pas besoin d'autant d'exactitude ; on peut admettre que la tangente à la courbe de mortalité au point a est parallèle à la corde ou sécante qui joint les points a — i et « -h i, ce qui donne pour la dérivée /'(a)

la valeur ^^-^^ — ~ J^^ — \ etpourle taux instantané la valeur 2 ^

Le taux instantané de mortalité diffère généralement peu du taux ordinaire; il est plus petit que lui dans la vie adulte, et plus grand au contraire dans l'enfance et dans la vieillesse; les différences deviennent considérables aux deux limites extrêmes de la vie.

Ainsi, d'après la Table de Duvillard, le taux instantané est, à I an, 0,214. tandis que le taux ordinaire est 0,1 25; à 6 ans, 0,01 5 1 au lieu de 0,01 25 ; à 1 1 ans, 0,0776 au lieu de o,077(); à 3o ans, o,oi544 au lieu de o, 01549; ^ 4o ans, 0,01887 au lieu de 0,01891; à 60 ans, 0,0426 au lieu de o,o43o ; à 70 ans, 0,0819 au lieu de o,o8i4; etc. D'après la Table H'' des vingt Compagnies, le taux instantané est, à 11 ans, 0,00445 au lieu de 0,00399; ^ 3o ans, 0,00763 au lieu de 0,00772; à [\o ans, 0,01024 au lieu de o,oro3i ; à 60 ans, 0,0290 au lieu de 0,0297; à 75 ans, 0,0993 au lieu de 0,0984; à 90 ans, 0,309 au lieu de 0,279.

153. Annuité continue. — L'annuité viagère ordinaire a pour valeur l'équation (42)

Si la somme de 1 franc, au lieu d'être payée en une fois à la fin de l'année, est payée en versements égaux à A, éche-

lonnés sur h intervalles équidistants, la valeur de l'annuité qui en résulte sera représentée par

hf[a-\-hz) *

c'est-à-dire par la somme d'une série de termes semblables, dans lesquels z devra varier depuis i jusqu'à la limite de la vie. Lorsque h devient infiniment petit, cette valeur tend vers une limite, qui n'est autre que l'annuité continue et que l'on représente par X. La valeur de l'annuité continue est donc représentée par une intégrale

On peut, au moyen d'intégrations approchées, obtenir une formule qui donne avec une grande approximation la valeur de l'annuité continue en fonction de l'annuité ordinaire X. En désignant le taux instantané de mortalité par t, et le taux de l'intérêt continu par ,o, cette formule est la suivante :

(52) X = X^-i-V.(t-hp)

(WooLHousE, Journal des Actuaires anglais, t XL — Achard, Journal des Actuaires français , t. I).

Elle est vraie, quelle que soit la Table de mortalité adoptée; elle suffit pour faire voir que l'annuité continue est toujours plus grande que l'annuité proprement dite, et que la différence est à très-peu près de o*',49^-

Premier exemple. — A l'âge de 3o ans, avec la Table de mortalité iF des vingt Compagnies, on a

p--= 0,0392 pour / = oo4; on aura donc

X= 17,6269, ou approximativement

ou approximativement

Deuxième exemple. — A l'âge de 60 ans, avec la Table de

Duvillard, on a

et, par conséquent,

154. Annuités semestrielles , trimestrielles, etc. — Quand une annuité est payable par semestres, par trimestres, ou par fractions quelconques de l'année, sa valeur est donnée par la formule suivante, dans laquelle m représente le nombre de payements égaux en lesquels elle est subdivisée dans le cours de l'année :

53 Xh -{--hp).

Ainsi l'annuité semestrielle a pour valeur

ou approximativement

X 4- 0,25, et l'annuité trimestrielle

ou approximativement

Premier exemple. — X l'âge de 3o ans, avec la Table de mortalité H^', les valeurs de X, t et ^^^ étant les mêmes que dans l'exemple précédent, on aura pour l'annuité semestrielle

i7'379 Deuxième exemple. — A l'âge de Go ans, avec la Table de mortalité de Duvillard, on aura pour l'annuité trimestrielle

155. Annuité sur deux têtes. — On appelle annuité sur deux têtes, et l'on désigne par X,,i, la valeur actuelle d'une

série de sommes de i franc, payables au bout d'un an, deux ans, etc., tant que deux personnes, âgées aujourd'hui de a et de h années, continueront à exister toutes les deux. On établit cette valeur en procédant comme au n" 141. Si l'on désigne par Q",^ la valeur actuelle d'une somme de i franc, payable dans n années, mais seulement à la condition que deux personnes d'âges « et Z> existeront alors toutes deux, on aura

(54) Q.>-(i + 0 -y^- ^(^j et

Or on reconnaîtra facilement que

d'où l'on conclut

ou bien

Cette formule est analogue à l'équation (44 )> 6t elle permet de calculer de proche en proche les annuités sur deux têtes, en calculant d'abord une Table des nombres Q^ 6, et en procédant à partir de l'extrémité de la Table de mortalité, l'annuité sur deux têtes élant égale à zéro, si l'on prend l'une des deux assez âgée pour qu'elle ait dépassé la limite de la vie humaine, c'est-à-dire l'âge le plus avancé indiqué par la Table dont on se sera servi.

On trouvera dans l'ouvrage anglais cité plus haut : Tables deduced from the mortalily expérience, etc., trois Tables complètes d'annuités sur deux têtes, calculées avec quatre décimales pour la Table de mortalité H*' et pour les taux d'intérêt de 3, 3 2 et 4 pour 100. Nous reproduisons à la fin du volume la Table à 4 pour 100.

Calcul des annuités sur deux têtes par la formule de Gompertz.

156. A défaut d'une Table d'annuités sur deux têtes, calculée d'avance pour la Table de mortalité et pour le taux d'intérêt dont on veut se servir, on peut encore calculer approximativement ces annuités, soit au moyen de la formule de Gompertz, soit au moyen de la formule de Mackeham.

La formule de Gompertz, ainsi que nous l'avons dit plus haut (n° 122), jouit de cette propriété que l'on peut, pour le calcul des annuités sur deux têtes, remplacer les deux têtes par une seule, d'un âge convenablement choisi. A''oici comment on arrive à cette substitution.

La formule qui représente le nombre des vivants, quand on admet l'hypothèse de Gompertz, est

f{x) = dgf.

La probabilité qu'ont deux personnes d'âges aQib d'exister encore toutes les deux dans n années est alors

fia + n) fjb-^n] ^.^^„.^ ^^„^^.^

Or la probabilité qu'une seule tête d'âge c existera elle-même dans n années est représentée par

Si donc on détermine l'âpre c de manière à satisfiure a la relation

la probabilité de vie de cette tête auxiliaire à une époque quelconque sera égale à la probabilité de vie des deux autres têtes ensemble. On voit donc, en se reportant a la formule (55), qui donne la valeur de l'annuité sur les deux têtes proposées, que cette valeur sera égale à l'annuité X^ sur la tête d'âge c. L'âge c se détermine facilement par la formule (57), et l'on remarquera qu'il ne dépend que de la constante q, et nullement des deux autres constantes d et g.

Nous ne donnons pas d'exemple à ce sujet, parce que, en pratique, la formule de Gompertz ne donne pas de résultats assez exacts pour le calcul des annuités sur deux têtes, sauf dans la période de la vieillesse. On ne peut réellement l'employer que pour le calcul des annuités temporaires ou pour des interpolations faites dans une courte période de l'existence.

157. On peut mettre la formule (67 ) sous une autre forme, qui permet de constater quelques particularités curieuses relativement à la fixation de l'âge c. Soit a le plus grand des deux âges a et h\ la formule (Sy) donne

IOg</

Quand les âges a et h sont égaux, l'âge c les dépasse donc

d'une quantité représentée par .— ^^- Si a était constant pour

toute la durée de la vie, c'est-à-dire si la loi de Gompertz s'appliquait réellement à la mortalité humaine, cette quantité serait également constante ; mais, comme la quantité q augmente elle-même avec l'âge, l'excès de c sur l'âge commun des deux têtes ira en diminuant à mesure que cet âge commun deviendra plus élevé : c'est ce qui arrive en réalité.

Lorsque la différence a — h va en augmentant, l'excès de c sur l'âge le plus élevé a diminue constamment et tend vers zéro; c'est-à-dire que, quand la différence des deux âges est très-grande et que l'une des têtes est, par conséquent, très-âgée, l'annuité sur les deux têtes se rapproche, de plus en plus, de l'annuité sur la tête la plus âgée seule.

Calcul des annuités sur deux têtes par la formule de Maheham.

158. La formule de Makeham, ainsi que nous l'avons dit plus haut (n*^ 125), jouit de cette propriété, presque aussi

simple que celle de Gompertz, que l'on peut, pour le calcul des annuités sur deux tètes, remplacer les deux têtes par deux autres d'un âge égal, pourvu que cet âge soit convenablement choisi. On arrive à cette substitution par un calcul analogue à celui qui fait l'objet du n" 156. La formule de Makeliam étant

Jf ,

la probabilité que deux personnes d'âges a et b existeront encore toutes les deux dans n années est

a'''ir'r-^){i"+'j''}.

La même probabilité, pour deux personnes ayant un âge égal à b, ressort à

Si donc on détermine l'âge c de manière à satisfaire à la relation

(58) iq^ = q''-^q',

l'annuité Xc,c sur les deux tètes auxiliaires sera égal à l'annuité \a,b sur les deux têtes proposées.

La recherche de cette annuité est ainsi très-simplifiée, parce qu'il suffit d'avoir à sa disposition une Table toute calculée d'annuités sur deux têtes d'âge égal, table qui pi'ésente un développement cinquante fois moins considérable qu'une Table d'annuités sur deux tètes d'âges quelconques.

Ou remarquera, comme tout à l'heure, que la détermination de c ne dépend que de q, et nullement de k, de a, ni de^. Ajoutons que, pour toutes les Tables de mortalité, si l'on ne veut pas faire le calcul exact de la détermination de q, on peut, 'i'^

avec une assez grande approximation, adopter la valeur très- .. ■■-'■■

simple

]ogry = o,o4.

Exemple. — Calculer, par la formule de JMakeham, l'annuité sur deux têtes, âgées de 3o et de 5o ans.

- i56 - La formule (58) donne

log7 et, en adoptant log^ = o,o4,

Il ne reste plus qu'à déterminer l'annuité sur deux tètes d'âge 44>o7- Or, on trouve dans une Table d'annuités sur des têtes d'âge égal (Table H^', 4 pour 100)

d'où

X(ii,o-)=X3o,.SO= II ,3259.

Comme vérification, on peut se reporter à la Table d'annuités sur deux têtes, calculée directement, et l'on y trouvera

On voit donc qu'on obtient ainsi à peu près deux décimales exactes, ce qui est bien suffisant dans la plupart des cas usuels.

159. On peut faire sur la détermination de l'âge c des remarques analogues à celles que nous avons faites dans le n** 157, à propos de la formule de Gompertz; on arrive ici à des propriétés plus nettes, parce que la formule de Makeham représente mieux la véritable loi de la mortalité.

Reprenons la formule ( 58)