ID

On peut également, par des intégrations approchées, obtenir avec une certaine approximation la valeur de l'annuité continue X^-b ^n fonction de l'annuité ordinaire X^^^. En désignant les taux instantanés de mortalité par t^ et -^, cette formule est la suivante :

(6oj Xa,i = Xa,4H — ;TaH- 76+ p).

La formule serait composée de la même manière si, au lieu de deux tètes a et b, on cherchait l'annuité sur un nombre quelconque de têtes. Ainsi, l'annuité continue sur deux ou sur plusieurs têtes est toujours plus grande que l'annuité ordinaire; la difierence est environ o*^%495, comme dans les assurances sur une seule tète.

Exemple. — Calculer la valeur de l'annuité continue, sur deux têtes âgées de 3o et 4o ans, d'après la Table H" et l'intérêt t = 0,04.

L'annuité ordinaire X3„,..o est égale à 1 3,282; et l'on a en outre

ce qui conduit à

^30,(0^^^ là, ""2.0.

161 . Annuités sur deux têtes payables jusqu'au dernier décès. — La valeur de l'annuité sur deux têtes, A etB, payable jusqu'au dernier décès, est égale à l'annuité sur la tête A, plus l'annuité sur la tête B, moins l'annuité sur les deux têtes réunies, payable jusqu'au premier décès seulement. En la désisçnant par X — ,, on aura donc

(61) Xj^ := Xa + Xi — Xa,6.

Cette relation subsiste, soit pour les annuités ordinaires, soit pour les annuités continues.

Exemple. — Quelle est la valeur de l'annuité sur deux

■êtes (le 3o et de 4o ans, payable jusqu'au dernier décès?

X30 est égal à 17 , i3og \^„ )) 1 5,1 347

d'où l'on conclut

X = IQ,o332.

162. Annuités payables par fractions d'année. — Quand l'annuité sur deux ou plusieurs tètes est payable par semesires, par trimestres ou par fractions quelconques de l'année, on peut appliquer, comme pour les annuités sur une tête, la formule (53), sans y faire d'autre modification que de remplacer t par Ta + ri -h . . . , somme des taux instantanés de mortalité correspondant a chacune des tètes dont il s'agit.

Exemple. — L'annuité ordinaire Xjo.-.o a pour valeur I 3,232; la même annuité, payable par semestres, sera

et la même annuité, payable par trimestres, sera

Calcul approché des annuités viagères sur une ou sur plusieurs télés.

163. Annuités sur une tête. — On peut, par un calcul rapide, se procurer une valeur très-approchée des annuités sur une ou plusieurs têtes [voir à ce sujet le travail de M. Achard dans le Journal des Actuaires français , t. I, 1872).

Examinons d'abord le cas où il n'y a qu'une seule tète en jeu.

Il faut prendre pour inconnue intermédiaire une sorte d'annuité (quoique l'expression cesse alors d'être exacte), dans laquelle les termes, au lieu d'être payables une fois par an.

comme à l'ordinaire, ou plusieurs fois par an, comme dans le n*' 154, ne sont payables qu'une fois en plusieurs années; il est bien entendu qu'alors chaque terme est égal à autant de fois I franc qu'il y a d'années dans la période choisie. Cette annuité se calcule beaucoup plus rapidement que l'annuité ordinaire, et une relation très-simple, que nous connaissons déjà, permet, quand on en connaît la valeur, d'obtenir avec grande approximation la valeur de l'annuité ordinaire. La valeur de l'annuité payable seulement par périodes de

h années est, en adoptant pour cette annuité la notation ''X,

(62) /Tx--/I^^±A]-A.