IL
c'est-à-dire la prime unique de l'assurance de i franc, payable au premier décès des deux têtes désignées. Et, en effet, on retombe précisément sur la formule (84), établie tout à l'heure au n° 175. Nous aurions donc pu réduire à deux au lieu de trois le nombre des opérations fondamentales ou irréductibles de l'assurance sur la vie; mais nous avons préféré établir directement cette importante formule.
On peut vérifier également que, si les deux têtes sont du même âge, la prime unique de l'assurance de survie est égale à la moitié de la prime unique de l'assurance sur les deux têtes, au premier décès, ce qui devait arriver.
Si l'on voulait supposer que la somme de i franc doit être payée soit au milieu, soit au commencement de l'année du décès, il faudrait, comme aux n°* 172 et 175, multiplier la
valeur (90) soit par (1 + ^)^, soit par (i-4-/). Exemple. — Soit a = 3o et & = [\o. On a
Substituant dans la formule (90), et effectuant les calculs, on trouve en définitive
Cette valeur est donc à très-peu près la même que celle que l'on obtient en faisant usage de l'annuité continue.
Les trois formules que nous venons d'établir permettent de calculer P^, Va,b et P^, c'est-à-dire la valeur actuelle d'un
capital payable au décès, ou d'un capital payable au premier décès, ou d'un capital de survie. Ce sont les formules fondamentales de l'assurance sur la vie, et elles permettent de calculer les primes uniques relatives à toutes les opérations qui se présentent dans la pratique : ce calcul se fera, soit directement, soit en substituant à l'opération proposée deux ou
plusieurs autres opérations d'assurances produisant en définitive le même résultat. Il n'est pas nécessaire de passer dès à présent en revue toutes les combinaisons d'assurances usitées pour indiquer comment on peut les réduire aux trois opérations fondamentales étudiées dans le présent paragraphe. Nous ferons plus utilement ce travail dans le § IV, où nous calculerons à la fois les primes uniques et les primes annuelles des opérations d'assurances.
Annuités variables.
177. Nous n'avons considéré jusqu'à présent que des annuités formées d'une série de sommes égales, que l'on peut appeler annuités constantes. On peut considérer également des annuités variables, qui représenteront la valeur actuelle d'une série de sommes variables , payables, la première d'avance et les autres d'année en année, tant qu'une ou plusieurs personnes seront encore en vie.
Le cas le plus simple est celui où les sommes en question varient en progression arithmétique d'année en année, ou par périodes égales d'un certain nombre d'années. Nous allons calculer la valeur actuelle d'une annuité variable reposant sur une tête d'âge a, et composée de sommes augmentant en progression arithmétique par périodes de A années, ces sommes étant de I franc pendant la première période, de i -h ^' pendant la deuxième période, n- ik pendant la troisième période, etc., et 1+ (m— i) k pendant la m""'"^ et dernière période, en supposant que n = mh. Nous admettrons que cette annuité est payable d'avance, c'est-à-dire que la première somme de I franc, formant le versement de la première année, est payée immédiatement, et de même pour les suivantes.
Les versements à faire pendant la première période constituent une annuité temporaire ordinaire, payable d'avance, et les versements à faire pendant les autres périodes constituent des annuités temporaires et différées. La valeur de l'ensemble est donc la suivante :
— i»o — Pour la première période :
Pour la deuxième période :
Va
Pour la troisième période :
ce qui, en supprimant les termes qui se détruisent, et en tenant compte de la relation (46), se réduit à
Si l'on introduit l'annuité constante temporaire de n— i années, «-jXfl, dont la valeur est
1 — ;- n— I Aa = rr J
que l'on représente l'annuité variable, payable d'avance, actuellement cherchée, par Y, et que l'on pose, pour abréger,
on arrive à la relation
U estune quantité quine dépend que deladurée delapériode, mais qui ne dépend pas de k, accroissement de la prime d'une période à l'autre. Pour chaque division en périodes, on pourra donc faire varier X: comme on le voudra, en lui donnant même des valeurs positives ou négatives.
Comme cas particulier, si la somme versée doit varier chaque année, cela revient à dire que la période n'a qu'une année et que h = 1 et m = zi. La valeur de U est alors
Si l'annuité variable n'est pas temporaire, mais embrasse tout le cours de l'existence, au lieu d'être limitée à n années, les formules ci-dessus se simplifient et deviennent
(95) Y='i+X<,:(f-^/rU).
Premier exemple. — Calculer la valeur actuelle d'une annuité variable, d'une durée de ^5 années, sur une tête de 3o ans, les sommes versées étant payables d'avance, et variant par période de 5 ans, à raison de 1000 francs pendant la première période, 1200 francs pendantla deuxième, i^oo francs pendant la troisième, etc., et la première somme de 1000 francs étant payable de suite.
Il faut faire, dans la formule (92;, a = 3o, 71 = 23, w = 5, h = S, k — 0,20 et l'on obtiendra l'annuité variable relative à une somme versée de i franc pour la première année. On a alors
^^ N34 -^ Nss H- N44 -^ N49 — 4 Nsi f,
^ - iN„-N. ~ ' '
soit 19227 francs pour un versement initial de 1000 francs.
Si l'on demande, dans cette même combinaison, quelle doit être l'augmentation d'une période à l'autre pour que l'annuité variable chercbée, et payable d'avance, soit égale à 4 fois l'annuité ordinaire, également payable d'avance, il suffit de déterminer k de manière à satisfaire à la relation
c'est-à-dire que l'on doit avoir
ou très-approximativement
Les versements annuels devront donc se monter a 1000 francs pendant la première période ; à 3ooo francs pendant la deuxième; à 5ooo pendant la troisième, etc.
Deuxième exemple. — Calculer la valeur actuelle d'une annuité variable pour la vie entière, sur une tête de 3o ans, les sommes versées étant payables d'avance et diminuant tous les ans, à raison de 70 francs la première année, 69 francs la deuxième, 68 francs la troisième, et ainsi de suite.
II faut faire, dans la formule (gS), a = 3o, k = y^, et l'on aura l'annuité variable relative à une somme versée de i franc pour la première année. On a alors
La valeur de l'annuité, pour 70 francs versés la première année, est donc 1 144*^^78.
§ III. — Transformation des primes uniques
EN PRIMES ANNUELLES
Nous supposerons, dans ce paragraphe, que l'on connaît déjà la prime unique d'une opération d'assurance quelconque, et que l'on veut calculer le montant de primes annuelles, dont l'ensemble doit donner une valeur actuelle ét^ale. Le montant de ces primes annuelles ne dépendra donc que des conditions auxquelles leur payement est surbordonné, et nullement de l'opération d'où peut provenir la prime unique qu'il s'agit de transformer.
• 178. Primes annuelles constantes, payables pendant toute la durée de la vie. — Supposons un contrat dont la prime unique, déjà calculée, a été trouvée égale à P. Au lieu d'acquitter ce prix, l'assuré préfère payer une prime annuelle constante, exigible pendant toute la durée de sa vie.
Soient a l'âge de l'assuré, pa la prime annuelle cherchée. La première prime étant payable d'avance, la valeur actuelle de l'ensemble des primes que l'assuré s'engage à payer est égale à /?a (i 4- X^) ; cette valeur devant être équivalente à P, il faut que l'on ait
d'où l'on conclut
S'il s'agit d'une assurance pour la vie entière, on a, en se servant de la Table de commutation,
Ua J-^a— 1
179. Primes payables par fractions d'année. — Supposons que la prime doive être payée, non par année, mais par fractions d'année, et cherchons à en déterminer équitablement le montant. En représentant par '"X, comme au n°163, l'annuité
payable par fractions — de l'année, c'est-à-dire la valeur actuelle d'une série de sommes de — franc, payable la première
de suite et les autres à des intervalles ésraux à — année, et
en désignant par "^p le montant de chaque payement, la valeur actuelle de leur ensemble sera
ou, en substituant h '"X sa valeur donnée par la formule (53),
ce qui revient, sans erreur appréciable, à . •
La prime payable par fractions - d'année doit donc être
fixée à
La prime payable de cette manière est plus forte que la prime
- i84 payable par année ; leur rapport est égal à
1 2 in^
Quand m est égal à 2, autrement dit quand la prime est payable par semestre, ce rapport est h peu' près égal à i,o4, c'est-à-dire que la prime annuelle ordinaire doit être augmentée de 4 pour roo de sa valeur; quand m est égal à 4» c'està-dire quand la prime est payable par trimestre, le rapport devient i,o5 et la prime doit être augmentée de 5 pour 100 de sa valeur. Si enfin m croissait indéfiniment, c'est-à-dire si la prime devait se payer à des intervalles infiniment petits, le rapport serait environ 1,06, et la prime ordinaire devrait être augmentée de 6 pour 100 de sa valeur.
En pratique, l'assuré désire souvent payer ses primes par semestre ou par trimestre; mais on n'emploie pasla métbode qui précède pour déterminer leur montant, et l'on prend pour point de départ une autre considération. On stipule que l'assuré, tout en ne payant sa prime que par fractions d'année, reste débiteur envers la Compagnie des fractions non payées de la prime annuelle correspondant à une année commencée. Les choses se passent donc comme s'il payait sa prime annuelle tout entière et s'il empruntait, en même temps, à la Compagnie les fractions qui suivent la première, chacune jusqu'à son échéance. Il doit donc payer les intérêts de ces emprunts, intérêts qui, au taux de 4 pour 100, se montent : si la prime est fractionnée par semestre, à i pour 100 de la prime annuelle, payable après un semestre, et si la prime est fractionnée par trimestre, à i |^pour 100 de la prime, payable à raison de 0,0026 pour 100 après un trimestre, o,oo5o après deux trimestres, et 0,0070 pour 100 après trois trimestres.
Cette comptabilité serait beaucoup trop compliquée pour la pratique, et, afin que les payements soient égaux à toutes les échéances, on stipule que la prime annuelle ordinaire sera augmentée de i pour 100 quand elle est fractionnée par se-
mestre, et de i \ pour loo quand elle est fractionnée par trimestre, et que la prime ainsi augmentée sera divisée en deux ou quatre payements égaux.
L'assuré reste débiteur des fractions de primes non versées sur toute année commencée. Si son décès survient, la Compagnie retient ces fractions non versées sur le capital assuré qu'elle a à payer. Dans le cas où l'assuré ne donne pas suite à son assurance, il devrait aussi rembourser à la Compagnie les fractions de primes restant ainsi en suspens; mais cette clause susciterait des difficultés dans son application, et les Compagnies ne l'insèrent pas dans leurs contrats. Les assurés qui renoncent à leur assurance dans le cours d'une année commencée bénéficient donc des fractions de primes en suspens, dont ils sont réellement débiteurs. Nous verrons plus loin, à propos du rachat des contrats, que les Compagnies trouvent d'un autre côté une sorte de compensation.
180. Primes temporaires. — Au lieu de payer une prime unique, l'assuré peut encore payer une prime temporaire, c'est-îi-dire exigible pendant un certain nombre d'années seulement, les payements cessant dans tous les cas s'il vient à décéder.
Soit n le nombre d'années fixé, et „/;« la prime temporaire cherchée. La valeur actuelle de l'ensemble des primes est «Pa(i H- n-i^rt), et, comme elle doit être égale a P, il faut que l'on prenne
(97) uPa=- ^-
181. Primes variables. — On peut adopter, pour le payement des primes annuelles, toute autre combinaison qui paraît répondre aux exigences de la pratique; on peut adopter, par exemple, des primes variant avec le temps écoulé, suivant une loi quelconque. Si l'on représente part/, e,f, g,--- les primes successives à payer d'année en année, primes reposant toutes sur une tète d'âge a, il suffit, pour que leur en-
semble puisse remplacer la prime unique P, que ces primes satisfassent à la relation
(98) d^eQl,-^-fQl + gQl-i-... = V.
On pourra donc faire varier ces primes à l'infini, suivant la combinaison que l'on voudra adopter.
Si les primes augmentent, comme cela a lieu ordinairement, par périodes d'un certain nombre d'années, ou même par années, suivant une progression arithmétique, on aura recours, pour calculer leurs valeurs actuelles, aux formules du n° 177, qui concernent les annuités variables.
Supposons que les primes annuelles doivent rester constantes pendant une première période de n années, puis augmenter, d'une période à l'autre, d'une quantité constante égale à une fraction k de leur valeur initiale, et voyons comment on peut déterminer la prime initiale quand on connaît k, et comment on peut déterminer A- quand on connaît la prime initiale.
Si l'on représente par 7: la prime initiale, et par Y, comme au n° 177, l'annuité variable payable d'avance, la valeur actuelle de toutes les primes, reposant sur une tête d'âge a, ressortà 71 Y, qui doit être égale a P, prime unique supposée déterminée. Or, si, d'autre part, on représente, comme dans tout ce qui précède, par „,Xa l'annuité temporaire constante, par I -h „,Xa cette même annuité payable d'avance, par „pa la prime temporaire constante payable pendant n années, on
sait que
Par conséquent on aura également
/ V T + H— |Xa „Pa
(99) ^=^— Y— ==rTTu'
U étant facile à calculer d'après les données de la combinaison posée, et/? résultant également de formules ou de Tables connues, cette formule donnera donc t: si l'on connaît k, ou réciproquement.
182. Primes remboursables. — On peut stipuler que toutes les primes versées seront remboursées par la Compagnie au décès d'une tête déterminée A, âgée aujourd'hui de a années. Soit I franc la prime annuelle; le payement de la première prime ne rapporte réellement à la Compagnie que l'intérêt^ pendant toute la vie de A : ce payement équivaut donc à /X^. De même le payement éventuel de la deuxième prime n'a qu'une valeur actuelle ^X), ; le payement de la troisième, qu'une valeur /X,% et ainsi de suite. Si maintenant la prime annuelle est/? au lieu d'être de 1 franc, la valeur actuelle de l'ensemble sera
et, comme cela doit être équivalent au payement immédiat d'une somme P, il faudra donner pour valeur à p
/(X„-f-x;, +Xj +
On peut encore stipuler que les primes versées seront remboursées par la Compagnie au décès d'une tête a, mais seulement si ce décès survient dans un délai de n années. Le payement de la première prime de i franc a alors pour valeur /«Xa+X;;; le payement de la deuxième /,,,X,\ -h X"; le payement de la troisième, /,^2 ^i + X" . . . . Il faut donc donner pour valeur à la prime annuelle/?
i ( «Xo -f- n-\^a ~^ n— jX^ 4- . • . -r- iXa ) + H^a
ce qui, d'après la formule (68), équivaut à fioi) ^
f(x. + XA+Xj+... + xr} + tw-OX.i
On pourrait imaginer toute espèce d'autres clauses pour stipuler le remboursement des primes, soit en cas de décès, soit en cas d'existence de certaines personnes. Supposons, par exemple, que dans une Assurance quelconque, payée au moyen de primes temporaires de n années sur une certaine
tête, on demande à la Compagnie de s'engager à rembourser dans n années toutes les primes versées, sans aucune condition de vie ou de décès. Dans ce cas, la valeur actuelle de l'annuité à percevoir, au lieu d'être «X^, se trouve réduite à
i^a I — / — ryr; L de sorte que la prime annuelle temporaire/?,
dans l'hypothèse de cette convention, serait déterminée par la formule
P étant la prime unique dont on cherche l'équivalent.
De même, si les primes temporaires devaient être remboursées dans n années, mais seulement dans le cas où une tête d'âge a serait alors en vie, ces primes seraient déterminées par la formule
(,„3) /,j. + ,,X.|,-__.L__JJj=P;
et, si ces primes devaient être remboursées dans n années, mais seulement dans le cas où une tête d'âge a serait alors décédée, ces primes seraient données par la formule
(,„4) ^j,+ „x,L,^^/-^Zi 1JJ = P.
183. Primes reposant sur deux têtes. Primes payables jusqu'au premier décès de deux personnes désignées. — Soient a et b les âges des deux assurés, et pa^i, la prime annuelle.
La première prime étant payable d'avance, la valeur actuelle de l'ensemble des primes qu'ils s'engagent à payer est égaleà/?a j (n- X^j). Cette valeurdevant être équivalente à P, il faut que l'on ait
/Vi(l-!-X„.i) = P,
d'où l'on conclut
(io5) ^-^=^,H-X.
184". Primes payables jusqu'au dernier décès de deux per-
— iSg — sonnes désignées.— Soit p— la prime payable jusqu'au dernier décès; la valeur actuelle de l'ensemble de ces primes est
et, comme il faut qu'elle soit égale àP, il en résulte qu'il faut donner à p—- la valeur
^-^~i4-X-, i+Xo+Xé-X»,
185. Primes temporaires reposant sur deux têtes. — Quand les primes annuelles, en même temps qu'elles reposent sur deux têtes, sont temporaires, leur valeur se calcule de la même manière. Si elles sont payables jusqu'au premier décès seulement, leur valeur ressort à
et, si elles sont payables jusqu'au dernier décès, leur valeur est
186. Primes annuelles reposant sur trois têtes. — Si les primes sont payables seulement jusqu'au premier décès des trois têtes désignées d'âges a, h, c, leur quotité sera de même donnée par la formule
187. Primes rapportant un intérêt. — Certaines Compagnies s'engagent à payer, à un taux déterminé, l'intérêt des primes versées; cela augmente naturellement beaucoup l'importance de le prime annuelle. Soit 5 le taux de l'intérêt stipulé, et supposons que la Compagnie s'engage à le payer pendant toute la vie d'une personne d'âge a. Le payement de la première prime grève la Compagnie d'une charge égale à Q/îX^; le payement de la deuxième, d'une charge égale à
- IQO -
ôpXl,', le payement de la troisième, de ÔpXl; etc. La Compagnie doit donc demander le remboursement de toutes ces charges, en sus du prix réel de l'assurance, représenté par la prime unique P. Par conséquent, la valeur actuelle de l'ensemble des primes, qui était précédemment posée égale à P, doit être, quand on adopte cette combinaison, posée égale à
(iio) P + 0;?(X. + X,î-f-Xj 4-...).
Si le payement de l'intérêt devait subsister pendant toute la vie de deux personnes a et b, cette expression devrait être remplacée par
(m) V -V- 6 p[Xa,b-hX\,b -+--■■] •
Moyennant cette modification, on peut appliquer cette stipulation, d'un intérêt alloué sur les primes, à toutes les modalités précédemment passées en revue pour le payement des primes annuelles.
Par exemple, la prime constante, déterminée au numéro 167 par la formule
sera déterminée, si l'on doit payer l'intérêt des primes pendant toute la vie de l'assuré, par la formule
7r„(i + X„) = P + 67r„(X. H-XA + . . .), ^- P + e..^«
( I I 2 ) TTa =
