PREMIERE CLASSE

Assurances en cas de décès.

193. Pour calculer les primes des assurances en cas de décès, il faut adopter une Table de mortalité qui représente aussi exactement que possible la mortalité des personnes à assurer. Ainsi que nous l'avons dit au n° 60, on soumet les personnes à assurer à un examen médical, et l'on n'accepte pas celles qui présentent, soit à cause de leur santé, soit en raison d'autres circonstances, des chances exceptionnelles de décès. Celles qui sont admises, après cette élimination, forment la classe assurable, et il faut choisir, parmi les différentes Tables de mortalité énumérées dans les Chapitres V et VI, celle qui devra leur être appliquée.

Les Tables dressées sur des groupes de population, dont il est question dans le Chapitre VI, ne sont pas employées pour cet usage; elles sont considérées comme trop inexactes, et l'on n'applique que des Tables de mortalité dressées sur des têtes choisies.

En France, les premières Compagnies d'assurances sur la vie se sont fondées en 1819, 1829, i83o, etc. On ne connaissait guère alors pour notre pays d'autres Tables de mortalité que celles de Duvillard et de Deparcieux, et ni l'une ni l'autre ne pouvait représenter exactement la mortalité de la classe assurable. La Table de Deparcieux, dressée pour des associés tontiniers, devait accuser une mortalité trop faible; car on n'entre dans une association de ce genre que si l'on se reconnaît d'assez grandes chances de longévité. La Table de Duvillard, au contraire, accusait déjà à cette époque une mortalité trop élevée. Il aurait donc fallu, pour se rapprocher

de l'exactitude, augmenter les primes calculées avec la première Table, ou diminuer les primes calculées avec la seconde; mais dans quelle proportion? C'est ce qu'il était impossible de déterminer. Les premières Compagnies qui s'établirent adoptèrent donc pour base de leurs calculs la Table de Duvillard sans correction, et calculèrent les primes d'après les formules (80) et autres analogues, c'est-à-dire en supposant que le capital assuré était payé au commencement de l'année dans laquelle arrive le décès. Elles pensèrent avec raison :

i*^ Qu'en fondant en France une industrie nouvelle il valait mieux procéder avec grande prudence, et ne prendre chacun des engagements qui constituent les polices qu'à un prix largement rémunérateur;

2° Qu'il fallait, indépendamment des primes nécessaires pour faire face aux engagements, garder une certaine marge pour les frais généraux et pour les bénéfices à allouer aux capitaux engagés;

'5"" Qu'il serait toujours temps plus tard, si l'on reconnaissait que la Table de Duvillard conduisait décidément à des primes trop élevées, de procéder, après l'expérience d'un certain nombre d'années, par voie de réduction, ce qui aurait beaucoup moins d'inconvénients que de procéder par voie d'augmentation.

L'expérience démontra que la Table de Duvillard accusait une mortalité trop élevée pour les têtes jeunes, et trop faible pour les âges très-avancés, ce qui a été mis en lumière d'une manière plus précise par la comparaison de cette Table avec la Table anglaise, ainsi que nous l'avons dit au n" 146. En conséquence, les Compagnies furent amenées à augmenter les primes ainsi calculées pour les âges avancés, mais à adopter en même temps, en faveur des assurés, une combinaison ingénieuse qui consiste à répartir entre eux, suivant certaines proportions, la moitié des bénéfices réalisés par la Compagnie : cette mesure atténue les inconvénients que présente la trop grande élévation des tarifs. Nous reviendrons en détail.

dans le Chapitre XÎI, sur celle importante question de la participation dans les bénéfices, qu'il nous suffit d'indiquer sommairement ici. Les Compagnies font également usage, pour presque toutes les combinaisons d'assurances, d'un second tarif, ne donnant pas droit à la participation, et dans lequel les primes sont réduites : la réduction est généralement de lo pour loo de la prime, calculée d'après la Table de mortalité de Duvillard.

Sur les treize Compagnies qui existent actuellement en France, onze emploient ces deux séries de tarifs. La Compagnie du Soleil, fondée en 1872, peu de temps après la publication des résultats de la nouvelle expérience anglaise, a calculé tous ses tarifs en prenant pour point de départ la Table de mortalité H""", et les formules (78) et analogues, c'est-à-dire en supposant que le capital est payé à la fin de l'année du décès, et en augmentant les primes ainsi calculées dans certaines proportions. Dans l'assurance sur la vie entière, elle a de plus introduit ces deux conditions : que l'assuré, pourvu toutefois qu'il ait contracté avant 5o ans, n'aura plus de prime à payer quand il aura atteint l'âge de 80 ans, et que le capital lui sera payé à 85 ans, sans attendre l'époque de son décès. Celte assurance est donc en réalité, pour ceux qui contractent avant l'âge de 5o ans, une assurance mixte à primes temporaires (z;oir plus loin n°209). Toutes ces assurances se font sans participation dans les bénéfices, ce qui se comprend, puisque cette combinaison n'est qu'un artifice destiné a compenseï' l'élévation des primes, quand on les calcule au moyen de la Table de Duvillard. Cependant, pour les motifs que nous aurons à indiquer dans le Chapitre XII, cette Compagnie a également adopté, pour les assurances sur la vie entière à primes viagères, et indépendamment de son tarif principal, le tarif commun aux onze autres Compagnies, c'est-à-dire le tarif calculé d'après Duvillard, et tempéré par la participation dans les bénéfices.

Enfin la Compagnie /« i^«mi7/e, fondée en 1875, a pris une sorte de moyen terme : elle a adopté tous les tarifs communs

aux onze Compagnies, sauf pour l'assurance sur la vie entière sans participation, combinaison pour laquelle elle applique le tarif de la Compagnie du Soleil, en adoptant également la clause relative aux octogénaires.

On trouve donc actuellement en vigueur, dans les Compagnies françaises, trois tarifs différents pour les principales combinaisons d'assurances : le premier, calculé d'après la Table de Duvillard, avec quelques modifications, et tempère par la participation dans les bénéfices; le deuxième, reproduisant le premier avec une réduction de lo pour loo; le troisième, calculé d'après la Table H^"", avec un chargement; dans l'examen que nous aurons à en faire, nous désignerons ces trois tarifs par les lettres A, B et C.

194. La prime, calculée exactement d'après une Table de mortalité quelconque, s'appelle prune pure; lorsque cette Table, comme celles qui résultent de l'expérience anglaise, représente aussi exactement que possible la mortalité de la classe assurée, la prime pure représente la valeur réelle du risque couru, et un tarif qui serait calculé d'après les primes pures ne donnerait à la Compagnie ni perte, ni bénéfice; quand on emploie Tune de ces Tables, comme on l'a fait pour calculer les tarifs C, il faut donc augmenter les primes obtenues dans une certaine proportion, pour faire face aux frais et pour donner un bénéfice rémunérant les capitaux engagés. Cette augmentation, que l'on fait subir aux primes pures, se nomme chargement. De nombreuses discussions se sont élevées entre les Actuaires anglais, pour savoir comment ce chargement devait être opéré : les uns voulant que, pour un même capital assuré, le chargement de la prime annuelle fût fixe; les autres qu'il restât proportionnel à la prime ellemême; d'autres enfin qu'il se composât d'une partie fixe et d'une partie proportionnelle, et allant même jusqu'à déterminer la relation qui devait exister entre la partie fixe et la partie proportionnelle du chargement. La prime représentant la valeur exacte du risque couru, c'est-à-dire le prix de re-

vient de la marchandise vendue, qui est ici l'engagement pris par la Compagnie, il paraît assez naturel d'adopter un chargement proportionnel; cependant un chargement fixe a de son côté l'avantage de donner lieu, sur l'ensemble des primes payées, à un prélèvement total proportionnel à l'importance du service rendu à l'assuré. En effet, ce service rendu, qui est la garantie de sécurité, se renouvelle à chaque instant; et sa valeur actuelle est proportionnelle à l'annuité continue reposant sur la tête de l'assuré, ou, ce qui est équivalent en pratique, à l'annuité ordinaire payable d'avance. Or le chargement fixe de la prime annuelle produit précisément sur l'ensemble des primes à verser un chargement total proportionnel à l'annuité payable d'avance : donc ce chargement fixe donne bien lieu sur l'ensemble de l'opération à un prélèvement total proportionnel à l'importance du service rendu; mais de telles considérations, qui peuvent avoir leur valeur au point de vue théorique, perdent toute leur importance quand on passe à la pratique. En réalité, on doit considérer le chargement comme un élément qui permet à l'assureur de faire porter à son gré le bénéfice sur telle ou telle catégorie d'affaires, ou, dans une même catégorie, sur tel ou tel âge. Le choix d'un mode de chargement est donc uniquement une question pratique; et de même que, dans l'industrie, le vendeur ne se croit pas obligé de proportionner son bénéfice sur chaque marchandise vendue au prix de revient de cette marchandise, pas plus qu'au service rendu a l'acheteur, de même chaque Compagnie chargera plus ou moins les primes d'une catégorie d'affaires, suivant qu'elle voudra plus ou moins en favoriser le développement; elle fera de même pour les divers âges, dans une même catégorie. Encore faut-il reconnaître qu'une difletence dans le mode de chargement produit dans les chiffres du tarif des variations tellement faibles, que leur influence sur le développement de telle ou telle catégorie d'affaires est au moins douteuse.

Enfin, dans la pratique, une Compagnie qui établit ses tarifs est toujours obligée de faire grandement entrer en ligne

de compte, pour le choix du mode de chargement qu'elle a à adopter, les nécessités de la concurrence des autres Compagnies opérant dans le même pays, de même qu'un fabricant fixe le prix de vente de ses produits moins d'après leur prix de revient que d'après le prix de vente des produits similaires sur le même marché. On doit seulement tenir a ce que le prix de vente ne soit jamais inférieur au prix de revient, c'est-à-dire à ce que la prime du tarif ne soit, pour aucune combinaison d'assurances, inférieure à la prime pure, puisqu'alors la Compagnie se mettrait en perte sur les affaires de ce genre, même abstraction faite de ses frais généraux. Cette anomalie se présente cependant quelquefois pour certains tarifs d'assurances en cas de décès, comme nous le verrons par la suite.

En passant en revue chacune des combinaisons d'assurances usitées dans la pratique, nous indiquerons comment sont établis les tarifs français, c'est-à-dire quelles modifications on a fait subir aux primes calculées d'après la Table de Duvillard, et quels chargements on a adoptés pour les primes calculées d'après la Table H'*'''.

195. Les principales opérations d'assurances en cas de décès peuvent se diviser en plusieurs catégories qui sont résumées ci-après :

Assurances pour la vie entière ... Sur une seule tête. n .... Sur plusieurs têtes.

Assurances temporaires . . Ordinaire.

» Assurances d'annuités.

Assurances mixtes Proprement dites,

» A terme fixe.

Assurances de survie Pour un capital.

» Pour une rente.

Prêts viagers.

Nous allons les passer successivement en revue.

Assurance po^gr la vie eutièi'e sur unae seasle tête.

196. L'assurance pour la vie entière est un contrat par lequel la Compagnie s'engage à payer un capital déterminé lors du décès de l'assuré, h quelque époque qu'il arrive. Pour prix de cet engagement, l'assuré peut, à son choix, payera la Compagnie ou une prime unique ou des primes annuelles constantes, exigibles elles-mêmes soit pendant toute la durée de sa vie, soit pendant un temps limité, ou des primes annuelles croissant ou décroissant avec l'âge, etc.

Prime unique. — Si l'assuré paye une prime unique, le montant de cette prime doit être égal à la valeur actuelle du capital, payable après le décès, valeur qui a été calculée au n" 173. Elle est, par conséquent, pour un capital assuré de I franc,

(76) P„=i— Xllognép. (i + /)

si l'on suppose que le capital est payé au moment du décès;

si l'on suppose qu'il est payé ou qu'il est disponible dans la caisse au commencement de l'année dans laquelle arrive le décès; et enfin

si l'on suppose qu'il est payé à la fin de l'année du décès. Cette dernière valeur est la moins élevée des trois : c'est celle pour laquelle tous les calculs sont établis d'avance dans les ouvrages anglais cités plus haut. Dans les exemples numériques qui vont suivre, nous appliquerons la formule (78) lorsque nous emploierons la Table de mortalité anglaise, et la formule (80) lorsque nous aurons recours à la Table de Duvillard.

Il faut d'abord remarquer que l'on peut, au moyen des

nombres calculés d'avance dans la Table de commutation et indiqués plus baut au n° 146, obtenir très-simplement la valeur de P^, supposée déterminée par la formule (78). Celle-ci donne en effet, en la rapprocbant des relations (4^)

et (49)»

("^) ^'^=-T-7-= — ^-TyD:^ — =ir:

Toutes ces primes sont donc faciles à calculer par logarithmes.

Exemple. — Quelle est la prime unique à payer pour assurer un capital de loooo francs, payable au décès d'une personne âsrée de 32 ans?

On cherche d'abord cette prime unique pour un capital de I franc, et on la multiplie ensuite par 10 000. Si l'on emploie la Table de Duvillard, et que l'on suppose le capital payable en commencement d'année, il faut appliquer la formule (80), qui donne

La prime unique cherchée est donc o^',4ii6 pour i franc, ou 4i 16 francs pour 10 000 francs.

Si l'on veut employer la Table H^', et supposer le capital payable au moment même du décès, il faut appliquer la formule (76) :

P32=i: I — 17 ,270 >< log nép. I ,o4 = 0,3187.

Si l'on veut employer la Table H" et supposer, comme nous le ferons par la suite, le capital payable en fin d'année, il faut appliquer la formule (78)

^32= 7 -^ =o,3ib4

soit 3 164 francs pour assurer un capital de 10 000 francs. Celte dernière prime est celle qui figure dans le tableau des résultats donnés à la fin du volume. Elle peutégalement s'établir sous la forme (i i4)

On ne fait, pour ainsi dire, jamais d'assurances pour la vie entière à primes uniques; nous avons vu, dans la première partie de ce paragraphe, que le payement par primes annuelles constituait pour l'assuré une combinaison beaucoup plus féconde, et c'est en effet celle qui est universellement employée. Ce mode de payement comprend lui-même plusieurs variétés; car les primes peuvent être payables pendant toute la vie de l'assuré, ou pendant un certain temps seulement ; elles peuvent être constantes, ou aller en augmentant ou en diminuant d'année en année.

Comme le risque de décès d'une tête déterminée va en augmentant d'année en année, ce qu'il y aurait de plus logique, ce serait que la prime allât elle-même en augmentant suivant la même progression : elle serait alors égale chaque année à la probabilité de décès, c'est-a-dire au rapport entre le nombre des décès et le nombre des vivants; mais, comme les assurés n'auraient alors aucun intérêt à maintenir leurs polices en vigueur après un temps quelconque écoulé, il se ferait naturellement une sélection de risques dans un sens très-défavorable à la Compagnie : les assurés restés bien portants abandonneraient leur contrat, tandis que ceux dont la santé se serait affaiblie le maintiendraient en vigueur. On se trouverait donc en présence d'une classe assurée dont la mortalité ne correspondrait à aucune des Tables connues, et irait en augmentant avec le temps beaucoup plus rapidement qu'elle ne devrait le faire sous la seule influence de l'âge. Aussi un tarif de ce genre n'a-t-il jamais été appliqué par aucune Compagnie. D'ailleurs, en raison des habitudes de la vie civile, on aime assez à payer tous les ans la même prime; la combi-

naison la plus usitée est donc celle d'une prime annuelle constante, payable pendant toute la durée de la vie.

Prime annuelle constante. — Dans cette combinaison, si l'on veut déterminer le montant de la prime annuelle à payer, on le calculera, comme il a été dit au n° 178, par la formule (96), qui donne , pour l'exemple ci-dessus, relatif à l'âge de

Sa ans,

Pz2 =

Cette prime annuelle, pour un capital de 10 000 francs, sera

donc

si l'on emploie la Table de Duvillard, et

si l'on emploie la Table tP'. Dans ce dernier cas, cette valeur peut également s'établir par le calcul suivant :

On remarquera qu'il y a entre les primes annuelles calculées par deux Tables de mortalité différentes une divergence plus grande qu'entre les primes uniques : le rapport entre les deux primes uniques est 77 pour 100, tandis que le rapport entre les deux primes annuelles est seulement 68 pour 100. Gela se comprend facilement; car, lorsqu'on fait l'opération à primes annuelles, l'inlluence d'une mortalité plus grande se fait sentir de deux manières : j° en obligeant la Compagnie à payer plus tôt, comme dans le cas de la prime unique; ii° en privant plus vite la Compagnie de l'encaissement des primes, ce qui n'arrive pas dans le cas de la prime unique.

Tarifs en usage. — Le tarif A applique exactement les primes uniques et les primes annuelles calculées au moyen des formules qui précèdent et de la Table de mortalité de Duvil-

lard, mais jusqu'à l'âge de 60 ans seulement; au delà de l'âge de 60 ans, il augmente toutes ces primes de 10 pour 100.

Le tarif B applique les primes du tarif A, diminuées de 10 pour 100.

Pour établir le tarif C, on a calculé les primes annuelles pures d'après la Table H"^, qui donne des résultats un peu plus élevés que la Table H", et l'on n'a tenu compte de la clause relative aux octogénaires qu'au moyen du chargement, qui est, jusqu'à l'âge de 60 ans, de i5 pour 100 de la prime, plus j5 centimes pour 100 francs de capital assuré, et, au delà de l'âge de 60 ans, de 25 pour 100 de la prime. Pour les primes uniques, afin d'obtenir un chargement équivalent, on a adopté pour chaque âge la prime unique correspondant à la prime annuelle chargée, correspondance qui est établie par la formule

déduite elle-même facilement des formules fondamentales (80) 61(96). On arrive ainsi aux tarifs résumés par extraits dans le tableau ci-après :

ASSURANCE POUR LA VIE ENTIERE

Primes uniques et annuelles assurant un capital de 10000 francs.

Primes pures

GlOl

Tarif A

Tarif B

ii56

Tarif C

-ii:

Bénéfice moyen de l'opération. — On ne peut pas évaluer d'avance le bénéfice fait sur une seule opération, attendu qu'il est entièrement subordonné à l'époque du décès de l'assuré; on ne peut évaluer que le bénéfice moyen, en admettant que l'on fait un grand nombre d'opérations semblables, et que la mortalité annuelle des assurés se conforme exactement à la Table de mortalité qui se rapproche le plus de la réalité, c'est-à-dire à la Table H^': c'est ce bénéfice moyen que nous appellerons, dans cette combinaison comme dans toutes les autres, bénéfice de V opération.

Dans l'assurance sur la vie entière, si elle est faite à prime unique, le bénéfice est égal à la différence entre la prime unique appliquée et la prime unique pure; si elle est faite à primes annuelles, il est égal à l'annuité à l'âge d'entrée, payable d'avance, multipliée par le chargement, c'est-à-dire par la différence entre la prime appliquée et la prime pure. On devra prendre ici l'annuité calculée d'après la Table H^', annuité viagère si la prime est exigible pendant toute la vie, comme dans les tarifs A et B, et annuité temporaire si la prime n'est exigible que jusqu'à un certain âge, comme dans le tarife. On trouve ainsi que le bénéfice d'une assurance sur la vie entière de loooo francs ressort, suivant le tarif employé, aux sommes indiquées dans le tableau ci-après. Dans les calculs relatifs au tarife, on a tenu compte de la clause relative aux octogénaires :

ASSURANCE POUR LA VIE ENTIERE