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Dans l'exemple choisi, si l'assuré s'engage à payer la prime annuelle d'assurance pendant les 5o années qui restent à courir pour le versement des annuités, cette prime

annuelle sera de — ^^ — ~ ou 246 francs. S'il s'enoacre à

payer pendant toute la durée de sa vie, et non plus pendant 5o années seulement, la prime annuelle sera de

Ces deux primes sont peu différentes l'une de l'autre, les engagements de l'assuré étant presque équivalents dans l'un et l'autre cas.

L'assurance d'annuités est une opération qui n'est pas passée dans la pratique; il n'y a pas à ce sujet de tarifs en usage.

205. Quand une personne a des annuités à verser dans un but quelconque, elle veut quelquefois assurer le remboursement de ces annuités : ce remboursement peut-être soumis à diverses conditions, que l'on pourrait varier à l'infini. On peut stipuler, par exemple, que toutes les annuités versées seront remboursées par la Compagnie dans n années, sans aucune condition de vie ou de décès ; ou bien qu'elles seront remboursées à cette époque, seulement dans le cas où une autre personne d'âge b serait alors vivante, ou bien dans le cas seulement où cette autre personne serait alors décédée.

Soientttl'âge de la personne A, sur la tête de laquelle repose le payement des annuités; /i le nombre d'annuités qu'elle a à payer. Si l'on demande à la Compagnie de rembourser ces 72 annuités dans n années sans condition, la valeur de cet engagement est „X„, valeur de l'annuité temporaire sur la tête A, ramenée a sa valeur actuelle, c'est-a-dire

Si le remboursement doit avoir lieu seulement dans le cas où une personne d'âge b serait alors vivante, la valeur de cet engagement est de même

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Si le remboursement doit avoir lieu seulement dans le cas où une personne d'âge b serait alors décédée, la valeur de cet engagement est

Rien n'empêcbe que la tête B, au sujet de laquelle on fait

ces conditions, soit précisément la même que la tête A, sur laquelle repose le payement des annuités à rembourser : il suffît alors de faire b — a dans les formules qui précèdent.

Ces formules ne donnent que la prime unique; on en déduira les primes annuelles par le mode ordinaire de transformation.

RetiBliosirseBsaeifit (l'aaBBitiitëg esi cas de survie.

206. Prime unique. — On peut stipuler que toutes les annuités versées par la personne A seront remboursées à son décès, mais seulement à la condition qu'une autre personne, d'âge è, sera alors vivante : c'est une clause de remboursement en cas de survie. Le calcul relatif a cette assurance a été indiqué par M. Achard, comme suite aux travaux de MM. Woolhouse, Sutton et Makeham, sur les assurances de survie, lesquels ont été résumés dans le Journal des Actuaires français (t. ï, p. 258, 1872).

La combinaison proposée consiste à rembourser, ou à payer, à la condition que A meure avant B, une somme de I franc si le décès a lieu dans la première année, de 2 francs s'il a lieu dans la deuxième, de 3 francs s'il a lieu dans la troisième, etc. On peut la remplacer par la combinaison continue qui consiste a rembourser une somme x si l'événement en question arrive précisément en un temps x.

Soit Xa^i la valeur de l'annuité continue variable, payable du vivant des deux têtes, cette annuité correspondant à une somme £P ('/x payable entre les époques xQix-^dx, si les deux têtes sont vivantes, et soit II la prime unique cberchée. On a, d'après le travail ^vëciié {Journal des Actuaires, p. 260),

, d.Yfia) , r/Y ~-

da - étant le taux continu de mortalité de la tête A {voir n° 152).

Dans la pratique, cette formule reviendra à

Y représente les annuités variables continues; leur valeur se déduira de celles des annuités variables ordinaires Y, qui s'établissent elles-mêmes d'une manière tout à fait analogue aux annuités variables sur une seule tête (n° 177).

Primes annuelles. — Si l'onveut faire cette même opération en payant, au lieu d'une prime annuelle, une prime unique;:, reposant sur les deux têtes A et B, cette prime s'établira comme à l'ordinaire, parla formule (io5),