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Deuxième cas. — Rente payable après le décès de B et de G, au profit de A. — La Compagnie est dans la même position que si elle payait dès à présent une rente sur la tête A, plus une rente au premier des trois décès : elle recevrait une rente au premier décès de A et de B, plus une rente au premier décès de A et de C. La prime unique est donc

OU, numériquement,

La prime annuelle doit être payable si A meurt le premier ou le second, jusqu'à son décès, et dans le cas contraire, jusqu'au dernier décès de A et de B.

TroisiÈ3ie cas. — Rente payable, à partir du décès de C, et jusqu'au dernier décès de A et de R. — Cette opération peut être remplacée par trois autres : 1° celle du premier cas; 2*^ celle du deuxième cas au profit de A; 3° celle du deuxième cas au profit de B. La prime unique ressort par conséquent à

ou, numériquement, à

La prime annuelle doit être payable jusqu'au décès de C si ce décès arrive le premier, et, dans le cas contraire, jusqu'au second décès.

- ^77 - Qu.A.TRiÈME CAS, — Rente payable au décès de l'une quelconque des trois têtes, au profit des deux autres, tant quelles existeront simultanément . — Cette opération n'est autre que celle du premier cas, répétée à la fois pour les trois têtes. La prime est donc

La prime annuelle doit être payable jusqu'au premier décès ; elle sera par conséquent fixée à

Cinquième cas. — Rente payable au décès de V une quelconque des deux têtes, au profit des deux survivants et jusquà leur dernier décès. — C'est l'opération du troisième cas, répétée à la fois pour les trois têtes. On a par conséquent

P ^ 2 ,x +X.-I-XJ - 3 :x„^,-f-x,^^+x,.,; -f- 3X„,,,,,

soit, numériquement, P = [38,88 — i26,3o — - i2,58.

La prime annuelle doit être payable jusqu'au premier décès; elle sera par conséquent

Sixième cas. — Rente payable après le second décès, quel qud soit, au profit du dernier survivant. — C'est l'opération du deuxième cas, répétée à la fois pour les trois têtes. On a par conséquent

soit, numériquement, P = 87,98 — 84,20 = 3,78.

La prime annuelle doit être payable jusqu'au second décès, quel qu'il soit.

Yoici, comme application des formules précédentes, quel-

ques problèmes, dont les deux premiers sont extraits de l'ouvrage déjà cité de M. Maas.

221. Premier prohlème. — Trois personnes, A, B, C, veulent constituer sur leurs trois tètes une rente viagère de TOGO francs payable jusqu'au dernier décès, et devant toujours se partager également entre les vivants. On demande pour quelle somme chacune d'elles doit contribuer au payement du capital constitutif de cette rente.

Si nous décomposons cette opération, nous y trouvons au profit de la personne A :

1° Une rente de \ tant que les trois têtes existeront ensemble; sa valeur est I X« Je;

2° Une rente de |, payable après le premier décès, tant que A existera conjointement avec B ou avec C; sa valeur (premier cas du numéro précédent) est^^ ['^a,b + ^«.c — ^^a,b,c) '■>

3° Une rente de i, après le décès de B et de C; sa valeur (deuxième cas du numéro précédent) est

La partie contributive de A devra donc être égale à la somme de ces trois valeurs, qui, en simplifiant, se réduit à