X -i(X . + X,,J+iX

Les parts contributives des deux autres personnes s'établissent de la même manière, et leur somme donne bien pour le prix total de la rente à constituer

ff.ft, c'

conformément au résultat obtenu dans le troisième cas du numéro précédent.

Si les âges a, b, c sont égaux à 5o, 60 et 70 ans, le prix total de la rente à constituer est de i434o francs et les parts contributives de chacun sont 7820 francs, 452o francs et 2 5oo francs.

222. Deuxième problème. — Trois personnes, A, B et C, veulent constituer sur leurs trois têtes une rente viagère payable jusqu'à leur dernier décès. A et B en jouiront par moitié pendant leur existence commune : si c'est B qui meurt le premier des deux, la rente appartiendra à A tout entière; si c'est A qui meurt le premier, la rente appartiendra par moitié à B et à C pendant leur existence commune ; enfin, dans tous les cas, le dernier survivant jouira de la totalité de la rente.

Cette combinaison peut se décomposer de la manière suivante :

Elle assure au profit de A une rente de \ sur sa tête jointe à la tète B, soit 4- X^,*, plus une rente de i s'il survit à B, soit X,, — X„,ô •■ en tout X« — | Xa,b-

Elle assure au profit de B une rente |^ X^^j, plus une rente de -i- en cas de prédécès de A, soit \ {Xa,b — ^a,b,c)> plus une rente de i après le décès de A et de C, soit

en tout Xi — |( Xa,b -^ X^,,. — X«,j,,.) •

Enfin elle assure au profit de C une rente de ^ en cas de prédécès de A, soit l (Xj^ — X^.j.c)» plus une rente de i après le décès de A et de B, soit X^ — X^,,. — X^^c-f- ^a,b,c'^ en

tout Xc — Xrt^c — "2 ( X^.c — ^a.b.c ) '

En additionnant les trois parts contributives, on retrouve bien le prix d'une lente payable sur les trois têtes jusqu'au dernier décès.

Si les âges a, b, c sont égaux, comme dans le problème précédent, à 5o, 6o et 70 ans, le prix total de la rente à constituer est encore i434o francs, et les parts contributives de chacun ressortent à 858o francs, SsgS francs et 465 francs.

223. Troisième problème. — Trois personnes, A, B, C, âgées de 20, 3o et 4o ans, s'assurent mutuellement une rente de survie de 1000 francs, payable à partir du décès de la plus âgée au profit des deux autres, jusqu'à leur dernier décès. Les primes doivent être payées par A et B, et calculées en

proportion de l'avantage que chacun d'eux relire de cette assurance. De plus, A doit se libérer au moyen d'une prime unique, et B ne veut verser que des primes annuelles, exigibles pendant dix ans au plus, et cessant d'être dues soit à son propre décès, soit au décès de C.

Il faut d'abord calculer quelle est la portion de la prime unique dont le payement incombe à chacune des deux personnes A et B. A obtiendrait le même résultat pour ce qui le concerne, en assurant une rente payable au décès de C au profit de A et B, tant qu'ils existeront simultanément, plus une rente payable après le décès de B et de C, et a son propre profit. Ce sont les deux opérations analysées dans le premier et le deuxième cas. La prime unique qu'il aurait a payer serait alors 2,79 h- 2,14 = 4'93. De son côté B pourrait faire la môme chose pour ce qui le concerne, et il aurait à payer 2,79 + 1.11= 3,90; par conséquent A et B doivent contribuer au payement de la prime unique de l'opération dans la proportion de 493 à 390. Cette prime unique est 6o3o francs; il en résulte que A devrait payer 3367 francs et B 2663 francs.

A, devant se libérer au moyen d'une prime unique, n'aura qu'à verser la somme de 3367 francs; mais, pour ce qui concerne B, il faut transformer la prime unique qui lui incombe en une prime annuelle temporaire, reposant sur deux têtes. Cette transformation se fait d'après la formule (107), d'après laquelle la prime annuelle doit être fixée à

224. Quatrième problème. — Trois personnes, A, B, C, âgées de 20, 3o et l\o ans, veulent constituer une rente de 10 000 francs payable à partir du premier décès aux deux survivants, jusqu'au dernier décès de ceux-ci. L'assuré A veut payer une prime unique ; l'assuré B une prime annuelle, exigible sur sa tête, mais seulement jusqu'au premier des trois décès; enfin l'assuré C veut payer une prime annuelle exigible jusqu'au premier décès de A et de lui-môme, en

stipulant en outre qu'elle ne sera exigible au plus que pendant 20 années. On demande de fixer les primes que chaque assuré doit payer, en proportion de la valeur que le contrat d'assurance présente pour lui.

Prime unique. — La prime unique a été calculée dans l'un des exemples précédents (n" 220, cinquième cas); elle est de o^SOi pour I franc de rente, soit 9400 francs pour la rente de 10000 francs dont il s'agit ici.

Pour partager le payement de cette prime unique entre les trois coassurés, il faut raisonner comme il suit :

L'assuré A arriverait au même résultat pour ce qui le concerne en faisant les trois opérations suivantes : 1° s'assurant une rente payable à partir du décès de B, jusqu'au dernier survivant de C et de lui-même; 2^ s'assurant une rente payable à partir du décès de C, jusqu'au dernier survivant de B et de lui-même; 3*^ s'engageant à payer après le décès de B et de G une rente jusqu'à son propre décès. La prime unique totale qu'il aurait à payer ressortirait ainsi, d'après les formules données ci-dessus pour les troisième et deuxième cas, à :

(j b *- ab ac oc a 0 c^

ce qui revient, tous calculs faits, à

De même l'assuré B arriverait au même résultat, pour ce qui le concerne, en faisant trois opérations, dont la prime unique ressort à

Et l'assuré C arriverait au même résultat, pour ce qui le concerne, en payant

Par conséquent, si tous les assurés payaient une prime unique, ils devraient contribuer au payement de la prime unique totale de 9400 francs dans la proportion des membres

ci-dessus, c'est-à-dire que

A devrait payer 3490 IV.

L'assuré A, voulant payer sa quote-part sous forme de prime unique, aura donc effectivement 3490 francs à verser. L'assuré B, désirant acquitter une prime annuelle exigible jusqu'au premier des trois décès, aura a payer annuellement, d'après la formule (109),

Enfin, l'assuré C, voulant acquitter une prime annuelle temporaire de 20 ans, et reposant sur les têtes A et C, devra payer annuellement, d'après la formule (107),

Prèls iiiagers.

225. On nomme prêt viager un contrat par lequel la Compagnie prête à un particulier un capital qui devra lui être remboursé par une série de primes reposant sur sa tête.

Le prêt viager n'est autre chose qu'une assurance, dans laquelle la Compagnie paye d'avance le capital qu'elle ne devrait payer qu'au terme de l'assurance, c'est-à-dire soit au décès de l'assuré, soit à une époque déterminée : aussi le prêt viager peut, au moins théoriquement parlant, s'adapter à toutes les combinaisons d'assurances en cas de décès; il admet également tous les modes de payement des primes. La prime annuelle totale, ou annuité, que l'emprunteur doit payer, se compose : 1° de la prime ordinaire d'assurance, calculée suivant la combinaison d'assurance choisie et suivant le mode adopté pour le payement de cette prime; 2^ de l'intérêt annuel afférent au capital que la Compagnie a versé

d'avance, tandis qu'elle n'aurait eu à le verser que plus tard si elle n'avait fait que l'opération d'assurance seule.

II faut remarquer que, pour ce taux d'intérêt, on ne pourra pas adopter le taux qui est employé pour le calcul des primes. Nous avons dit, en effet (n° 104), que ce dernier taux était choisi toujours au-dessous du taux d'intérêt résultant de la situation actuelle du marché financier, et nous en avons donné la raison. Cette raison ne subsiste plus ici, et l'on devra adopter un taux d'intérêt au moins égal au taux actuel du marché financier. D'ailleurs, le taux d'intérêt, à un moment donné, n'est jamais un chilIVe fixe : il comprend bien un élément qui est à peu près fixe, le loyer du capital, mais il comprend également la compensation du risque couru et des difficultés de recouvrement, éléments qui varient, pour chaque prêt, avec la nature des garanties offertes. On aura nécessairement égard à ces considérations, quand on aura à fixer le taux d'intérêt afférent à un prêt viager.

Une fois ce taux déterminé, la fixation de la prime ou annuité à payer par l'emprunteur se réduira à une question d'assurance ordinaire.

Si l'emprunteur veut payer une prime constante pendant toute sa vie et n'avoir jamais le capital à rembourser, sa prime sera égale à la prime d'assurance pour la vie entière, plus le taux d'intérêt. S'il ne veut payer de prime que pendant 20 ans au plus, et n'avoir rien à rembourser après ce délai, sa prime sera égale à celle d'une assurance mixte, plus létaux d'intérêt. S'il veut payer une prime pendant 5 ans, et rembourser ensuite, s'il est vivant, le capital emprunté, sa prime sera celle de l'assurance temporaire de 5 ans, plus le taux d'intérêt. S'il ne veut payer sa prime que jusqu'au premier décès de lui-même et d'une autre personne, en se trouvant libéré si c'est l'autre personne qui meurt la première, et en restant débiteur sur sa succession si c'est lui-même qui meurt le premier, sa prime sera égale à celle d'une assurance de survie sur la tête du tiers, lui-même étant bénéficiaire, plus le taux d'intérêt.

En pratique, le prêt viager, par sa nature même, ne peut pas se contracter à prime unique, mais seulement à primes annuelles.

Exemple. — On demande à emprunter un capital de looooo francs; on ne veut payer de prime que pendant 20 ans, et l'on demande quel sera le taux de celte prime, suivant que l'on s'engagera ou non à rembourser au bout des 20 ans le capital emprunté. On suppose l'emprunteur âgé de '5o ans, et le taux d'intérêt fixé à 5 pour 100.

Si l'on veut ne rien avoir à rembourser au bout des 20 années, la prime doit être égale à celle d'une assurance mixte, plus 5 pour 100, c'est-à-dire à 8,660 pour 100; elle sera donc de 8660 francs par an.

Si l'on veut, au bout du délai des 20 ans, rembourser le capital emprunté, la prime sera égale h celle d'une assurance temporaire de 20 ans de durée, plus 5 pour 100, c'est-a-dire à 5,96 pour 100; elle sera donc de 6960 francs par an.