ASSURANCE DE CAPITAUX DIFFERES

Primes uniques et annuelles assurant un capital de 10 000 francs, payable à l'âge de 21 ans.

AGE du contractant.

PRIME UNIQUE

PRIME ANNUELLE

Naissance.

fr

fr 2'JG

I an.

3io

Primes annuelles reposant sur deux têtes. — Si les primes annuelles. cessent d'être exigibles au premier décès de deux têtes A et B, leur valeur se déterminera par la formule (107)

Ainsi, dans l'exemple choisi, si l'on veut que les primes cessent d'être payables soit au décès de l'enfant contractant, qui est âgé de i an, soit au décès de son père, âgé de 3o ans, la valeur de la prime sera

Ce mode de pnyement n'a jamais été mis en pratique pour les assurances de capitaux ditFérés. Il serait cependant beaucoup plus logique que le mode de payement ordinairement adopté : les primes étant destinées à constituer au profit d'un enfant un capital provenant des économies de son père, il est naturel que ces primes cessent d'être exigibles si le père vient à décéder, ce qui donne alors à l'opération le caractère d'une assurance en cas de décès. La prime annuelle de 3o9 francs à laquelle on arrive dans cet exemple n'est supérieure que de 25 francs ou 9 pour 100 à la prime ordinaire du capital différé, exigible pendant 20 ans sans condition; il est vrai que, si l'on mettait cette combinaison en pratique, il faudrait considérer ce cbilTre de 809 francs comme le montant de la prime pure, et y ajouter un cliargement. Cette opération se rapprocberait d'ailleurs beaucoup d'une assurance à terme fixe, contractée sur la tête du père, combinaison dont la prime annuelle serait, dans l'exemple ci-dessus, de 3^7 francs [voirn" 210).

228. Contre-assurance. — On ajoute souvent au contrat de capital différé une clause de contre-assurance, par laquelle la Compagnie s'engage, si le contractant vient à décéder avant le délai fixé, à rembourser toutes les primes versées jusqu'à son décès. Cette opération exige une nouvelle prime, qui n'est pas comprise dans le remboursement.

La prime unique de l'opération de contre-assurance est donnée par les formules indiquées au n*' 207. En pratique, on remplace ce payement de prime unique par une prime annuelle, qui est payée pendant un nombre d'années égal ou inférieur à la durée de l'opération principale, et qu'on cboisit souvent de cinq années seulement. Comme la contre-assurance est une véritable assurance en cas de décès, il faut, dans les applications des forujules du n° 207, se servir non de la Table deDeparcieux, mais de la Table H^' ou de la Table de Duvillard. Cette dernière est la seule que l'on puisse appliquer quand il s'agit d'un enfant de moins de 10 ans, puisque

la Table anglaise ne commence qu'à lo ans. Aucun examen médical n'est demandé pour cette opération, parce que le décès n'entraîne pas de perte pour la Compagnie.

Exemple. — On doit verser, pour assurer à un enfant d'un an un capital de loooo francs payable à sa majorité, une prime annuelle de 284 francs pendant 20 ans (conformément a l'exemple qui précède). On demande quelle est la prime unique ou la prime annuelle à payer pour effectuer la contre-assurance de tous ces versements, autrement dit pour que la Compagnie rembourse tous les versements de 284 francs qui auront été effectués, si le décès de l'enfant survient avant l'époque fixée.

Il faut, dans les formules du n** 207, faire a = i etn = 20, ce qui donne pour la prime unique i^'',242. Cette prime unique se rapporte à des versements de i franc; les versements étant dans cet exemple de 284 francs, la prime unique s'élèvera à 353 francs.

Quant a la prime annuelle, si l'on décide, comme on le fait souvent, qu'elle ne sera payable que pendant 5 années, elle devra être fixée à

Tarifs en usage. — Les Compagnies appliquent généralement pour la contre-assurance les primes telles qu'elles résultent du calcul fait avec la Table de Duvillard. Comme ces opérations portent toujours sur des sommes peu élevées, on ne s'est pas astreint à ce sujet à une grande uniformité; ainsi certaines Compagnies adoptent cette règle plus simple, qu'il suffit, pour obtenir la contre-assurance, déverser une prime additionnelle égale à i5pour 100 de la valeur de la prime principale, relative à l'assurance du capital différé. Cette prime additionnelle est alors exigible pendant toute la durée de l'opération. v

Primes remboursables en cas de décès. — Si l'on désire qu'en cas de décès du contractant la Compagnie rembourse intégra-

lement toutes les sommes qu'elle aura reçues, il ne suffit pas (le faire une contre-assurance, puisque alors les primes de cette opération elle-même ne seraient pas remboursées; mais il faut réduire toute l'opération à une seule et en calculer la prime annuelle comme il a été dit à la fin du n° 207.

Tarifs en usage. — Quelques Compagnies contractent des assurances de capitaux différés pour les enfants, avec primes annuelles remboursables en entier. Afin d'éviter la complication d'un nouveau tarif, elles ont adopté pour règle d'ajouter à la prime annuelle du capital diiféré 5o centimes par loo francs de capital assuré. Quand les enfants sont jeunes, ces primes sont plus élevées que celles qui résultent de la formule du n° 207; elles sont moins élevées dans le cas contraire.

Prime unique, remboursable en cas de décès. — Si l'on voulait assurer un capital différé en versant une prime unique qui serait remboursée de suite, en cas de décès du contractant, on décomposerait l'opération en deux. En appelant x la prime unique cherchée, cette prime devrait contenir : 1° la prime unique du capital différé qui est Q", 2° la prime unique de l'assurance temporaire de la somme x elle-même

pendant n années, qui est x — ^ • On devrait donc avoir

D d'où

Exemple. — On veut assurer à un enfant, âgé de i5 ans, un capital de loooo francs payable à [\o ans, en versant une prime unique, qui serait remboursée au décès de cet assuré, si ce décès survenait avant cet âge de 4o ^ns.

Il faut, dans la formule précédente, faire a= i5 et ti = 25. En appliquant la Table de commutation anglaise, on trouve

pour la valeur (le la prime

soit 3470 francs pour loooo francs.

Mais une semblable opération, comme du reste toutesc.elles qui se font avec contre-assurance, perdiait a la fois les caractères de l'assurance en cas de décès et ceux de l'assurance en cas de vie, et ne serait plus qu'un placement de fonds, fait dans des conditions telles que tout particulier en réaliserait facilement par lui-même d'aussi avantacreuses,

KEli^TES VIAGEKES.

On appelle rente (première partie, n'' 9) une série de sommes payables à des échéances équidistantes entre elles, et rente viagère une rente dont les termes ne sont exigibles que pendant la vie d'une ou plusieurs personnes déterminées. Sauf désignation contraire, on suppose toujours que les termes de la rente, c'est-à-dire les sommes à payer à chaque échéance, sont de valeur constante. Une rente viagère est dite immédiate quand le rentier entre en jouissance immédiatement, c'est-à-dire quand il doit recevoir le premier terme après un intervalle égal à l'intervalle qui sépare deux échéances consécutives; cette condition est toujours supposée, à moins de désignation contraire. Lorsque le premier terme de la rente ne doit être payé qu'après un délai plus long, la rente est dite différée d'une durée égale à la différence qui existe entre ce délai et l'intervalle de deux échéances ordinaires. Une rente viagère peut être payable par années ou par fractions d'années; mais on la définit toujours par le montant cumulé de tous les arrérages d'une année : ainsi une rente de 1000 francs tous les trois mois s'appellera une rente de 4ooo francs payable par trimestres.

Iteiates viagères isuifiiédiaies.

229. Une rente viagère immédiate n'est autre chose qu'une annuité viagère, si ce n'est que, dans la rente viagère, le rentier a droit, d'après la loi (Code civil, art. 1980), et à moins de stipulation contraire, aux arrérages courus depuis la dernière échéance jusqu'au jour de son décès. Lorsque la rente est payable par années, le montant de ces arrérages est en moyenne de 6 mois, soit o'^^So pour une rente de i franc. Si a représente l'âge du rentier au moment oi^i il contracte, la valeur de cette somme, payable à son décès, est, d'après la formule (80), \[i — ^X«); la valeur totale d'une rente viagère payable par années et constituée sans stipulation particulière est donc

(145) \^-^\[i-iy^^,=\j.i~\t] -\-\.

Exemple. — Quel est le prix d'une rente viagère de 1000 francs, sur une tète de 57 ans ?

L'annuité X57 est, d'après la Table de Deparcieux, égale à 105972 : le prix de la rente, ou le capital que l'on doit verser pour la constituer, est donc

sait io885 francs pour une rente de 1000 francs.

Dans tous les contrats de rentes viagères constituées parles Compagnies, il est stipulé que la Compagnie n'aura rien à payer pour les arrérages courus au jour du décès, ces arrérages ayant été rachetés d'avance. En conséquence, le prix d'une rente viagère de i franc, payable par années et constituée dans ces conditions, se réduit à X«; telle est la prime unique, ou le capital que doit verser un rentier pour se constituer i franc de rente.

Quand la rente de i franc est payable, non par années, mais par fractions d'année, sa valeur est indiquée par la formule (53); en pratique, on ne divise le payement des

rentes qu'en semestres ou en trimestres ; la valeur d'une rente semestr)ellleesttrès-approximativementX^+|,ouXa-f-o*^',25; et la valeur d'une rente trimestrielle X^ H--| ou X^-f- o^'',37, ainsi qu'on l'a vu, du reste, au n*' 154.

Dans le langage ordinaire, on détermine généralement les rentes viagères par leur taux, c'est-à-dire par l'intérêt annuel que rapporte un capital de 100 francs, plutôt que parle prix de I franc de rente. Le taux viager à l'âge a ressort évidemment à Y^'

Exemple. — On demande à quelle rente viagère donnera droit le versement d'un capital de loooo francs à l'âge de 57 ans.

L'annuité Xs^, d'après la Table de Deparcieux, est égale h 10,5972; tel est donc le prix de i franc de renie. Quant au

taux, il est éc^al à 1 — =0,09436. Par conséquent un

capital de 10 000 francs versé donnera droit à une rente, payable par année, de 943'^'", 60.

Si la rente doit être semestrielle, le prix de i franc de rente sera 10,597 -4- 0,26 = 1 0^^847, ^^ ^'^ rente sera de 922 francs, payables à raison de 461 francs par semestre.

Si elle doit être trimestrielle, le prix de i franc de rente sera 10,597 "^"O»^? = io*'S967, et larente sera de 912 francs, payables à raison de 228 francs par trimestre.

Tarifs en usage, — Le tarif en usage dans les Compagnies françaises applique jusqu'à 60 ans les primes uniques calculées d'après Deparcieux; mais, à partir de cet âge, il augmente progressivement ces primes, ainsi que nous l'indiquons dans le tableau ci-après.

Quelques Compagnies, ayant constaté qu'à partir de ^6 ans la longévité des bommes est moins grande que celle des femmes, font usage pour les bommes, au delà de cet âge, d'un tarif un peu plus favorable : ainsi le prix d'une rente viagère de 1000 francs à 70 et à 80 ans, qui est pour une femme de 786601 de 6345 francs, se réduit pour un bomme à 7443 et à 5465 francs.

Quant au bénéfice fait sur la constitution d'une rente viagère en particulier, il est impossible de l'évaluer, car la mortalité des rentiers viagers français ne paraît se conformer ni à la Table de Duvillard, ni à aucune autre Table connue. Il est à désirer que les Compagnies d'assurances réunissent les renseignements qu'elles possèdent à cet égard depuis une cinquantaine d'années, et qu'elles établissent une Table de mortalité des rentiers viagers français, Table qui pourrait servir pour reviser le tarif, et pour fixer les bases sur lesquelles doivent être calculées les réserves de cette catégorie d'assurances.

En ce moment, on peut admettre que, même avec le tarif à 4 pour loo, les Compagnies ne font aucun bénéfice d'assurances sur les rentes viagères, ce qui tient à ce que les rentiers viagers sont des têtes très-cboisics, dont la mortalité est faible. Tout au plus les Compagnies trouvent-elles une compensation dans les bénéfices de placement qu'elles peuvent réaliser, en plaçant les fonds qui leur sont versés à un taux supérieur à 4 pour loo.

RENTE VIAGERE.

Primes uniques, ou capitaux assurant une rente viagère de 1000 francs,

payable par an.