CHAPITRE A

Considérations générales sur la propagation de l'électricité.

1. Dans certaines circonstances, les corps acquièrent une propriété particulière que nous nommons électricité; cette propriété se manifeste au dehors par ce caractère que les corps qui la possèdent, et que pour cette raison l'on appelle électriques, s'attirent ou se repoussent les uns les autres.

Pour constater d'une manière bien déterminée les variations qui surviennent dans l'état électrique d'un corps A, nous mettons dans chaque cas ce corps en rapport avec un deuxième corps mobile dont l'état électrique est invariable et que nous appelons électroscope ; l'action réciproque s'exerçant toujours dans les mêmes conditions, nous déterminons la force avec laquelle l'électroscope est repoussé ou attiré par le corps ^ cette force est ce que nous appelons la tension du corps A. Pour que l'on puisse reconnaître quand elle est attractive ou répulsive, nous plaçons devant l'expression qui lui sert de mesure le signe + dans un cas , le signe — dans l'autre.

Le même corps A peut aussi servir à déterminer les tensions correspondant aux divers points d'un troisième corps. Pour cela Ton prend le corps A de très-petites dimensions, de telle manière que lorsqu'on le met en contact avec la partie du troisième corps que l'on veut explorer, on puisse, en raison de sa petitesse, le considérer comme substitué à cette partie ; alors, s'il arrive que ses tensions, mesurées de la manière que j'ai décrite, soient différentes pour les divers points touchés, elles font connaître les différences qui existent dans l'état électrique de ces points.

Le but des explications qui précèdent est de fixer d'une manière simple et précise le sens du mot tension; il n'entre pas dans mon plan de rechercher si la méthode indiquée est plus ou moins praticable, ni de comparer entre eux les divers procédés qui peuvent servir à la détermination des tensions.

2. On remarque que la tension peut se déplacer et passer d'un point à un autre et d'un corps à un autre, de telle manière que non-seulement elle n'est pas la même à un instant donné pour des points différents, mais qu'elle varie pour un même point avec le temps ; pour déterminer de quelle manière la tension dépend et de l'instant où on la constate et du point où elle est développée, il est nécessaire d'établir les lois générales qui règlent l'échange des tensions entre les éléments d'un corps.

Ces lois fondamentales sont de deux espèces ; les unes sont fournies directement par l'expérience, les autres reposent sur une hypothèse ; on ne peut se refuser à admettre les premières et l'exactitude des secondes se trouve nettement établie par la concordance qui existe entre les résultats du calcul et ceux de l'observation ; car, puisque le calcul représente d'une manière complètement déterminée le phénomène avec toutes ses modifications , et que la méthode ne peut ajouter aucune incertitude nouvelle à celle qui résulte de l'hypothèse, l'observation parfaitement exacte de la nature doit confirmer cette hypothèse ou la démentir d'une façon décisive ; c'est en effet le principal mérite de l'analyse mathématique qu'elle conduit, par ses déductions toujours rigoureuses, à des idées générales qui provoquent sans cesse de nouvelles expériences et nous font pénétrer plus avant dans la connaissance de la nature. Lorsque la théorie d'une classe de phénomènes naturels établie sur des faits d'observation ne peut être présentée sous une forme assez précise pour qu'on lui applique le calcul, elle est imparfaite et l'on ne peut pas non plus avoir confiance dans une théorie développée sous la forme mathématique, quand elle n'est pas suffisamment confirmée par l'expérience ; tant que l'on n'a pas observé avec le plus grand soin et dans

tous leurs détails une partie au moins des effets d'une force naturelle, l'analyse appliquée à l'étude de cette force ne repose que sur une base incertaine, puisqu'il n'y a pas de pierre de touche pour contrôler les hypothèses que Ton prend pour points de départ ; mieux vaudrait attendre un temps plus convenable pour recourir à l'emploi du calcul ; mais lorsqu'on peut s'en servir, l'expérience de tons les temps prouve qu'il enrichit, au moins indirectement, de nouveaux phénomènes naturels, le champ où il est mis en œuvre. J'ai cru nécessaire de mettre en avant ces remarques générales, non-seulement parce qu'elles jettent de la lumière sur ce qui va suivre, mais aussi pour expliquer comment l'analyse mathématique n'a pas été depuis longtemps déjà appliquée avec plus de succès aux phénomènes galvaniques, bien qu'elle ait été introduite avec avantage dans une autre branche de la physique, en apparence moins bien préparée à la recevoir.

Après ces réflexions préliminaires, nous allons procéder à l'établissement des lois fondamentales elles-mêmes.

3. Quand deux éléments électriques E et E', d'égale grandeur et de même forme, semblablement placés l'un par rapport à l'autre, mais doués de tensions inégales, sont situés à une distance convenable l'un de l'autre , ils manifestent une tendance mutuelle vers l'état d'équilibre; ils vont continuellement en se rapprochant de la moyenne de leurs tensions , jusqu'à ce qu'ils l'aient atteinte, c'est-à-dire que l'état électrique des deux éléments se modifie aussi longtemps qu'il existe une diff"érence entre leurs tensions , et que cet état devient invariable quand les deux éléments sont arrivés à la même tension ; par conséquent , la variation de l'état électrique et la différence des tensions sont deux quantités liées entre elles de telle manière qu'elles disparaissent en même temps ; maintenant nous admettons que la variation de tension que les deux éléments subissent dans un instant extrêmement court est proportionnelle à la différence des tensions actuelles des éléments et à la grandeur du temps écoulé ; et sans rechercher s'il existe eftectivement deux sortes d'électricité,

nous convenons de considérer comme des grandeurs de sens contraires les tensions que nous affectons des signes + et — 5 quand nous supposons que la variation de tension est exactement proportionnelle à la différence des tensions des deux éléments, nous faisons une hypothèse mathématique ; mais cette hypothèse, la plus naturelle et la plus simple qu'on puisse imaginer, est la seule à laquelle nous ayons recours; toutes les autres données seront fournies par l'expérience; le mouvement de l'électricité s'effectue dans la plupart des corps avec une telle rapidité , qu'il est rarement possible de déterminer lesvariations de tension qui se produisent d'un point à un autre, et par conséquent nous ne sommes pas en état de découvrir, par l'observation directe, la loi suivant laquelle ces variations s'effectuent; les phénomènes galvaniques dans lesquels la distribution des tensions est constante sont donc d'une importance très-grande pour la vérification de notre hypothèse ; car si les conclusions tirées de la supposition que nous avons mise en avant sont pleinement confirmées par ces phénomènes, cette supposition devra être considérée comme exacte et pourra servir, sans autre examen, de base à toutes les recherches analogues, autant du moins qu'on se tiendra dans les mêmes limites de tension.

Nous avons admis, conformément à toutes les observations faites jusqu'ici, que lorsque deux éléments qui ont les mêmes formes extérieures réagissent Tun sur lautre , de manière à modifier réciproquement leur état électrique , l'un perd en tension précisément autant que l'au're gagne, aussi bien lorsque les deux éléments sont de nature différente que lorsqu'ils sont de même nature; si l'expérience venait à démontrer plus tard que les corps possèdent une propriété analogue à celle que, dans la théorie de la chaleur, on appelle capacité, la loi que nous avons établie devrait subir une légère modification, que nous indiquerons à lendroit convenable.

4. Lorsque les deux éléments E et E' ne sont pas de même grandeur, il est permis de les regarder coïume des sommes formées de parties égales. Admettons que l'élément E soit

composé de m parties parfaitement égales entre elles, et l'élément E' de m! parties exactement égales aux premières -, imaginons en outre que les éléments E et E' aient des dimensions excessivement petites^ en comparaison de leur distance mutuelle ; toutes les distances mesurées d'une partie quelconque de E à une partie quelconque deE' seront égales entre elles, la somme des actions de toutes les m' parties de l'élément E' sur une partie de E' sera m! fois plus grande que l'action exercée par une seule partie de E', et la somme de toutes les actions de l'élément E' sur les m parties de E sera mm' fois plus grande que l'action d'une partie de E' sur une partie deE. D'après cela il est évident que l'expression qui représente l'action mutuelle de deux éléments dissemblables doit être propor- . lionnelle, non-seulement à la différence des tensions et au temps écoulé, mais aussi au produit des volumes relatifs des éléments; à l'avenir, nous désignerons par un nom particulier la somme des tensions rapportée à la grandeur des éléments (ce n'est pas autre chose que le produit de la tension par la grandeur de l'espace sur lequel l'électricité se trouve répandue, quand la tension est partout uniformément répartie). Pour désigner cette grandeur, nous nous servirons de l'expression quantité d'électricité, sans pour cela nous prononcer en rien sur la nature matérielle de l'électricité ; cette dernière observation est applicable à toutes les expressions figurées dont nous faisons usage et sans lesquelles notre langue ne pourrait exister, peut-être pour de bonnes raisons.

Dans les cas où les dimensions des éléments ne peuvent pas être regardées comme négligeables par rapport à leurs distances relatives, il faut substituer au produit des volumes des deux éléments une fonction de leurs dimensions et de leur moyenne distance qui devra être déterminée dans chaque cas particulier, et que nous désignerons, quand nous en ferons usage, par la lettre F.

5. Jusqu'ici nous n'avons pas pris en considération l'influence de la dislance mutuelle des éléments qui réagissent l'un sur l'autre de manière à amener l'état d'équilibre, parce

que jusqu'à présent nous n'avons considéré que des éléments dont la distance relative était toujours la même ; maintenant se présente la question de savoir si l'échange d'électricité se produit exclusivement entre les éléments contigus, ou s'il peut s'établir entre des éléments placés à une plus grande distance, et comment^ dans l'une et l'autre supposition, la grandeur du flux varie avec la distance ; dans tous les cas où des actions moléculaires, agissant à de très-petites distances, sont mises en jeu, l'on a coutume de les envisager d'une manière particulière qui a été imaginée par Laplace ; on admet qu'une action directe s'établit même à des distances finies entre deux élémentSj qui se trouvent séparés par d'autres éléments intermédiaires, mais on suppose que cette action décroit avec une telle rapidité qu'elle devient assez petite pour être négligée, dès que la distance est appréciable. Laplace a été conduit à admettre cette hypothèse, parce que, quand on suppose que l'action directe s'exerce exclusivement entre les éléments contigus, les différentielles des variables ne sont pas de même ordre dans les deux membres des équations obtenues et que ce défaut dhomogénéité est en opposition avec l'esprit du calcul difïérentiel ' ; cette hétérogénéité, en apparence inévi-

1 Poisson, dans son mémoire sur la distribution de la chaleur {Journal de r Ecole poîytedmique, cahier XIX), s'exprime ainsi à ce sujet : « Si Ton partage une barre par des sections perpendiculaires à l'axe en une infinité d'éléments infiniment petits, et que l'on considère l'action mutuelle de trois éléments consécutifs, c'est-à-dire la quanlilé de chaleur que l'élémeut intermédiaire communique et enlève à chaque instant aux deux autres, en raison de l'excès positif ou négatif de sa température sur celle de chacun d'eux, on en conclura facilement Taugmenlalion de température de cet élément pendant un instant infiniment petit; égalant donc cette quantité à la différentielle de sa température prise par rapport au temps, on formerait l'equalion du mouvenent de la chaleur suivant la longueur de la barre; mais en examinant plus attentivement la question, on reconnaît sans peine que cette équation serait fondée sur la comparaison de deux quantités infiniment petites non homogènes, ou de différents ordres, ce qui serait contraire aux premiers principes du calcul différentiel. On ne peut faire disparaître celte difficulté qu'en supposant, ainsi que M. Laplace l'a remarqué le premier (Mémoires de la

table entre les deux membres d'une équation dififérentielle, qui cependant doivent être nécessairement égaux l'un à l'autre, est trop remarquable pour ne pas attirer l'attention de ceux pour qui de telles recherches ont du prix ; je vais donc essayer de donner une explication de cette énigme, qui ne sera point déplacée ici, puisqu'elle aura l'avantage de rendre plus simples et plus concises les considérations subséquentes ; nous prendrons pour exemple la propagation de l'électricité, il ne sera pas difficile d'appliquer à toute autre question analogue les résultats obtenus, comme nous aurons occasion de le faire voir sur un autre exemple.

6. Avant tout, il est nécessaire de définir exactement ce qu'il laut entendre par conductibilité ; la conductibilité établie entre deux points est une grandeur proportionnelle au produit que l'on obtient en multipliant la quantité d'électricité transmise en un certain temps d'un point à l'autre par la distance qui sépare les deux points ; si, au lieu de points, on considère des espaces ayant des dimensions finies, alors il faut entendre que leur distance est la ligne qui joint leurs centres de figures; si nous appliquons cette notion à deux éléments électriques E et E', et que nous appelions s la distance mutuelle de leurs centres, q la quantité d'électricité qui, dans des circonstances bien déterminées et invariables, est transportée d'un élément à l'autre, et k la conductibilité établie entre les deux éléments, nous aurons

Maintenant nous allons tâcher de déterminer d'une manière plus précise la quantité d'électricité désignée par q ; conformément au paragraphe 4, la quantité d'électricité qui, dans un temps excessivement court, est transportée d'un élément à l'autre est, pour une distance invariable des éléments, pro-

première classe de l'Institut, année 1809), que l'aclion de chaque élémenl de la liarre s'étend au delà du conlacl, et qu'elle s'exerce sur tous les éléments compris dans une étendue unie, aussi petite que l'on voudra. »

portionnelle à la différence de leurs tensions, au temps écoulé et au volume de chacun des deux éléments; en conséquence, si nous désignons par u et u les tensions des deux éléments E et E', et par m, m les espaces qu'ils occupent, nous aurons pour la quantité d'électricité transportée de E' à E dans l'élément du temps dt l'expression suivante :

a mm' {u' — u) dt y

dans laquelle a représente un coefficient dépendant en une certaine mesure de la distances. Cette quantité varie continuellement quand u — u est variable; mais elle ne dépend plus que de la grandeur de lin-tant dt quand on suppose que les tensions u' et u restent toujours constantes ; l'expression obtenue peut donc s'appliquer à l'unité de temps, et quand on admet que la différence constante des tensions u' — u est égale à l'unité de tension, cette expression devient :

Celte quantité d'électricité est constante dans des circonstances déterminées, pour les deux éléments E et E'dont la position est invariable, et pour cette laison elle peut servir à déterminer la conductibilité, comme nous l'avons indiqué tout à l'h&iu'e ; car si nous appelons q la quantité d'électricité qui est transmise dans l'unité de temps, de E' à E, quand la différence constante des tensions est égale à l'unité de tension, nous avons

et par conséquent

q = a.mm,

Si nous tirons de cette dernière équation la valeur de «mm' et que nous la substituions dans l'expression

o.ïain' [u — u) dt.

— sola quantité variable d'électricité qui passe dans un instant dt de l'élément E' à l'élément E sera représentée par

k{u' — u)dt

On verra bientôt que, lorsqu'on emploie cette expression, on obtient une équation dififérentielle dont les deux membres ne présentent pas le défaut d'homogénéité dont il a été question plus haut.

■î. Les raisonnements qui précèdent reposent sur cette supposition, que l'action exercée par un élément sur un autre élément est proportionnelle au produit des volumes des deux éléments; cette supposition, comme on l'a déjà fait remarquer dans le paragraphe 4, n'est plus admissible quand il s'agit de l'action mutuelle d'éléments situés à des distances infiniment petites; pour qu'elle fût vraie dans ce cas, il faudrait établir une relation déterminée entre la grandeur des éléments et leur distance mutuelle, ou assigner aux éléments une forme particulière. L'expression que nous avons trouvée plus haut (cf) pour représenter la quantité variable d'électricité qui passe d'un élément à un autre, présente cet avantage important qu'elle est tout à fait indépendante de la supposition dont il s'agit; quelle que soit la fonction que^ dans chaque cas déterminé, on substitue au produit mm\ l'expression (cf) reste toujours la même ; ce qu'il y a de particulier à chaque cas se trouve exclusivement représenté par le pouvoir conducteur k; si par exemple nous désignons par la lettre F, comme nous l'avons indiqué au paragraphe 4, la fonction des dimensions et de la moyenne distance des éléments qui convient à un cas donné, l'expression

a-mm! {v! —~ u) dt prend la forme

mais en même temps l'équation

kzzz 01. mm' s

se change en cette autre :

de sorte que si nous prenons dans cette dernière équation la valeur de F, et que nous la portions dans l'expression qui précède, nous aurons toujours pour représenter la quantité d'électricité transmise d'un élément à l'autre :

k[u' — u) dt

C'est aussi une circonstance importante, que l'expression {ç^) peut s'appliquer à des éléments dont les dimensions ne sont pas infiniment petites, pourvu que ces éléments aient la même tension dans tous leurs points ; on voit combien les considérations qui précèdent se lient intimement à l'esprit du calcul différentiel; car la condition exigée par cette méthode de calcul, pour qu'une quantité puisse être considérée comn)e un élément, c'est précisément que toutes ses parties soient homogènes sous le rapport de la propriété soumise au calcul. Si l'on établit une comparaison plus approfondie entre la méthode due à Laplace et celle que nous proposons ici, l'on peut faire quelques observations qui ne sont pas sans intérêt; si l'on remarque, par exemple, que toutes les relations établies pour des masses infiniment petites, placées à des distances infiniment petites, doivent subsister pour des masses finies et placées à des distances finies, on ne voit pas au premier coup d'oeil comment la méthode de l'immortel Laplace a pu donner des résultats exacts ; car ce savant, dont les travaux ont jeté tant de lumière sur la nature des actions moléculaires, admet que les éléments doivent toujours été traités comme s'ils étaient placés à des distances finies ; mais quand on examine

sa méthode avec plus d'attention, on reconnaît qu'au fond il procède autrement qu'il ne l'indique; en effet, quand il s'agit de déterminer les vaiiations que subit un élément sous l'influence de tous les éléments environnants, Laplace admet nue les puissances supérieures de la distance sont négligeables, par rapport aux premières puissances ; il suppose ainsi, ce qui est tout à fait dans l'esprit du calcul différentiel, que la distance à laquelle l'action s'exerce est infiniment petite, mais il l'appelle finie et la traite comme telle; on voit qu'au fond il traite comme des quantités finies des éléments infiniment petits, placés à des distances infiniment petites \ quand on laisserait de côté les avantages que notre manière de représenter les actions moléculaires présente, sous le rapport de la précision et de la clarté, peut-être pourrait-on faire valoir un autre motif pour la préférer à la méthode de Laplace; c'est que coAte dernière méthode ne tient pas le moindre compte des propriétés particulières qui peuvent appartenir aux éléments réels des corps; elle n'envisage que des éléments d'espace imaginaire, de telle sorte qu'on perd presque complètement de vue la nature physique des corps ; un exemple éclaircira notre pensée : nous pouvons sans aucun doute concevoir qu'il existe dans la nature des corps, formés d'éléments homogènes, dont les positions relatives ne soient T as les mêmes dans une direction que dans une autre ; notre manière d'envisager les actions moléculaires fait voir sur-lechamp que de tels corps ne conduiraient pas l'électricité de la même manière dans une direction que dans une autre, bien qu'ils pussent être en apparence homogènes et de densité unilorme ; si un pareil cas se présentait, il faudrait, suivant la marche de Laplace, recourir à des considérations prises en dehors de la méthode générale; réciproquement, la manière dont les corps conduisent nous fournira le moyen de découvrir leur structure intérieure, ce que nous ne pourrions faire directement, attendu que sur ce sujet nous sommes dans une ignorance à peu près complète ; enfin nous pouvons ajouter que notre manière d'envisager les actions moléculaires résume

en elle les vues de Laplace et celles de Fouiier dans sa théorie de la chaleur, et qu'elle concilie en quelque sorte les unes avec les autres.

8. Nous ne devons plus maintenant hésiter à admettre que l'action électrique d'un élément ne s'étend pas au delà des éléments qui l'entourent immédiatement, de sorte que cette action devient nulle pour toute distance finie, quelque petite qu'elle soit ; à la vérité, quand on considère la vitesse presque infinie avec laquelle l'électricité traverse un grand nombre de corps, on peut trouvei' étrange que l'action électrique s'exerce dans des limites aussi restreintes; mais en admettant ce dernier fait, nous n'avons pas perdu de vue que, dans des cas semblables, notre comparaison ne s'établit qu'au moyen d'une mesure idéale qui est trompeuse; elle ne nous autorise pns à modifier une loi simple et complète, tant que ses conséquences ne se trouvent pas en opposition avec la nature, ce qui ne paraît pas devoir arriver dans la question dont nous nous occupons.

La sphère d'activité que nous assignons à l'action électrique, tout infiniment petite qu'elle est, a justement la même étendue que celle qui a été admise par Laplace et (ju'il appelle finie, quand il néglige les puissances supérieures de la distance pour ne conserver que les puissances inférieures; nous avons déjà expliqué cela plus haut; la supposition d'ime action s'exerçant à une distance finie correspondrait, suivant nous, au cas où Laplace conserve les puissances supérieures de la distance en même temps que les puissances inférieures ^

9. Les corps sur lesquels nous observons les phénomènes électriques sont dans la plupart des cas enveloppés par l'atmosphère; il est donc indispensable, pour étudier à fond la question tout entière, de tenir compte des actions qui peuvent être exercées par l'air environnant. D'après les expériences que Coulomb nous a laissées sur la difi'usion de

' Voir l'observalion qui lerniine la préface du inulucteur.

l'électricité dans l'aii' ambiant^, la perte qui résulte de l'action de l'air, dans un temps déterminé et très-court, est proportionnelle à la tension de l'électricité, du moins quand cette tension n'est pas très-considérable, et dépend en outre d'un coefficient qui varie avec l'état actuel de l'air, mais qui est constant pour un même état de l'air. La connaissance de cette loi nous permet de faire entrer dans le calcul l'influence de l'atmosphère sur les phénomènes galvaniques, quand cela peut être nécessaire; toutefois, il ne faut pas perdre de vue que les expériences de Coulomb ont été exécutées sur de l'électricité arrivée à l'état d'équilibre, et qui n'était plus en voie de développement ; l'expérience et le calcul nous ont démontré que l'électricité dans cet état se tient exclusivement à la surface des corps, ou du moins ne pénètre dans leur intérieur qu'à une très-pelite profondeur ; on peut tirer de là une conclusion qui a une certaine importance par rapport à notre sujet, c'est que, dans les circonstances où s'est placé Coulomb, la totalité de l'électricité présente est directement soumise à l'action de l'atmosphère. Si nous rapprochons de cette observation la loi qui a été énoncée plus haut, loi d'après laquelle deux éléments cessent d'agir l'un sur l'autre, dès qu'ils sont placés à une dislance finie, nous en pourrons tirer la conclusion suivante : Quand l'électricité est répandue uniformément dans toute la masse d'un corps de dimensions finies, ou tout au moins que la quantité qui réside près de la surface n'est qu'une petite partie de la quantité totale, et c'est le cas qui se présente généralement quand l'électricité est en mouvement, la perte occasionnée par l'air environnant est extrêmement faible, comparativement à celle (jui se produit quand toute l'électricité se trouve accumulée près de la surface, comme cela arrive toujours quand l'état d'équilibre s'est établi. D'après cela l'atmosphère n'exerce pas d'influence sensible sur les phénomènes galvaniques qui se produisent dans un circuit fermé, quand celui-ci se compose de corps bons conducteurs ; on peut donc, dans ce cas, négliger les modifications produites par la présence de l'air dans les phéno-

mènes d'électricité galvanique; cette conclusion se trouve encore justifiée par cette remarque, que, dans le cas dont il s'aiiit, l'électricité qui constitue le courant ne reste dans les conducteurs que pendant un temps extrêmement court ; pour cette seule raison l'air ne pourrait lui faire subir qu'une perte très-légère, quand même elle serait en contact immédiat avec lui.

D'après ce qui vient d'être dit, il est hors de doute que l'action de l'air n'a pas d'influence sensible sur les effets qui se produisent dans les circuits galvaniques ordinaires ; mais on n'a pas du tout le droit d'en conclure que réciproquement les conducteurs galvaniques n'exercent pas d'influence appréciable sur l'état électrique de l'air; car l'action électroscopique d'un corps sur un autre n'a pas, comme le calcul le fait voir, de relation directe avec la quantité d'électricité qui est transportée do l'un à l'autre.

10. Nous arrivons enfin à un principe établi par l'expérience, qui est de la plus haute importance pour toute la philosophie naturelle; il sert de base à tous les phénomènes que nous désignons par le nom de phénomènes galvaniques^ et peut être formulé ainsi : Deux corps différents qui se touchent présentent toujours au point de contact des tensions qui ont entre elles une différence constante ; cette propriété, inhérente à la nature des corps, est habituellement désignée par le nom de force électromotrice. Sous cet énoncé très-simple se trouve exprimée avec toute sa généralité une loi à laquelle on se trouve presque toujours ramené par chaque phénomène particulier que l'on observe ; cette loi est adoptée dans toute sa généralité, soit tacitement^ soit en termes exprès, par tous les physiciens, lorsqu'il s'agit d'expliquer los pbénomènes électroscopiques de la pile de Volta. D'après les idées que nous avons précédemment développées relativement à la manière dont les éléments agissent les uns sur les autres , Ton doit chercher l'origine du phénomène qui nous occupe dans les éléments qui sont en contact immédiat, et par consé(iuent il faut admettre que le changement brusque de tension qui se

produit quand on passe d'un corps à l'autre, s'effectue dans un espace infiniment petit.

IJ. Cela établi, nous allons maintenant aborder le fond du sujet et considérer d'abord le mouvement de l'électricité dans un corps homogène, cylindrique ou prismatique, en admettant que tous les points d'une section quelconque perpendiculaire à l'axe possèdent au même instant des tensions égales et que, par conséquent, le mouvement de l'électricité ne peut s'établir que dans la direction de l'axe ; si nous imaginons que le corps ait été divisé en une série de tranches infiniment minces, par des sections dirigées de telle manière que la tension ne varie pas sensiblement dans l'étendue de chaque tranche, alors il est évident que l'expression (c?j trouvée dans le paragraphe 6 pourra s'appliquer à deux tranches contiguës et servir à déterminer la quantité d'électricité qui passe de l'une à l'autre; mais comme nous avons étabh, dans le paragraphe précédent, qu'il n'y a d'action exercée que pour des distances intiniment petites, la nature de l'expression se trouve modifiée par cette condition, de telle sorte qu'elle s'évanouitdès que le diviseur cesse d'être infiniment petit.

Prenons pour origine des abscisses l'une quelconque des sections en nombre infini, que nous supposons pratiquées dans le corps, et considérons une seconde section séparée de ia première par une distance que nous appellerons x; dx représentera l'épaisseur de la tranche qui est située à la distance x, et que nous désignerons par M ; admettons que cette épaisseur soit la même pour toutes les tranches et appelons u la tension qui existe au bout du temps t dans le disque M, dont l'abscisse est X, u sera en général une fonction de t et de x; supposons que u' et w, repi'ésentent les valeurs que prend cette fonction u quand on substitue x + dx ei x — dx?i\d. place de x ; u et u^ représenteront les tensions des disques situés à droite et à gauche du discpie iM ; nous appellerons M' le disque correspondant à l'abscisse x-\- dx et i\l, le disque correspondant à x — dx; il est évident que la distance du centre de chacun des disques M' et U^ au centre du disque M sera dx, et par conséquent, d'après

l'expression (cf) du paragraphe 6, si k représente la conductibilité propre aux disques M' et M ,

k [u' — u) dt dx

exprimera la quantité d'électricité qui passe dans l'intervalle de temps dt du disque M' au disque M, ou du second au premier, suivant que {u' — u) est positif ou négatif; de même, si nous admettons que la conductibilité soit également k pour les disques M, et M,

k (m, — u) dt dx

représentera la quantité d'électricité qui passe de M, à M ou de M à M,, suivant que l'expression est positive ou négative ; par conséquent, la quantité d'électricité appartenant au disque M éprouve , par suite du mouvement établi dans l'intérieur du corps, dans l'élément du temps dt, une variation totale exprimée par

k [u' H- u, — 2w) dt dx

suivant que cette expression est positive ou négative, la quantité d'électricité augmente ou diminue.

Mais d'après le théorème de Taylor,

dx '

d^u ■"^'■^dx^^

et de même

du dx

dx'^

par conséquent

d^u , ^ XL H- u = 2m H- -—- dx^; dx'^

d'après cela, l'expression que nous venons de trouver pour la

variation totale de la quantité d'électricité appartenant au disque M, dans le temps dt, devient

, d^u . , k . -r-- ax dt ; dx^

k représente la conductibilité qui appartient à deux disques adjacents, et nous supposons cette conductibilité constante dans toute la longueur du conducteur homogène que nous considérons ; l'on doit remarquer ici que, l'action s'exerçant uniquement à des distances infiniment petites, la valeur désignée par k est proportionnelle à la section du corps prismatique ou cylindrique ; par conséquent , si nous représentons par w l'aire de cette section, que nous fassions sortir ce facteur de la quantité k et que nous continuions à appeler encore k le facteur restant, alors l'expression que nous venons d'obtenir deviendra

k(ù — — dx . dt.

k représente maintenant la conductibilité du corps, abstraction faite de la grandeur de la section ; c'est ce que nous appellerons la conductibilité absolue du corps, par opposition à la conductibilité que nous avons envisagée d'abord et que l'on peut appeler 7'elative; dorénavant, toutes les fois que nous nous servirons du mot de conductibilité sans autre désignation, il s'agira de la conductibilité absolue.

Jusqu'ici nous n'avons pas pris en considération l'action que l'atmosphère environnante exerce sur le disque ; son influence est facile à déterminer -, désignons par c le périmètre du disque correspondant à l'abscisse x; cdx représentera la portion de sa surface qui se trouve soumise à l'action de l'air ; par consétpient, d'après les expériences de Coulomb, mentionnées au paragraphe 9,

bcu dx dt représentera la variation qu'éprouve dans le temps dt la quantité d'électricité appartenant au disque M, par suite de la diffu-

sion qui s'opère dans l'air; nous désignons par h un coefticient qui dépend de l'état actuel de l'atmosphère, mais qui ne varie pas pour un même état de l'air : l'expression ci-dessus indique un accroissement ou un décroissement, suivant que u est positil'ou négatif. Mais, d'après la supposition admise, l'action de l'air ne doit pas produire d'inégalité entre les tensions correspondant aux divers points d'une même section, ou du moins, s'il existe quelque inégalité , elle doit être assez légère pour que les autres quantités n'en reçoivent pas d'altération sensible ; on peut presque toujours supposer cette condition remplie dans le cas du circuit galvanique.

D'après ce qui précède, la variation totale que subit dans l'élément du temps dt la quantité d'électricité contenue dans le disque 31 est représentée par

Â-w -7— dx dt — bcu dx dt ;

cette expression comprend la variation qui résulte du mouvement de l'électricité dans l'intérieur du corps et celle qui provient de l'action de l'air environnant.

Mais la variation totale qu'éprouve dans l'élément du temps dt la tension u du disque M est

—r dt ; dt

par conséquent, la variation totale qu'éprouve dans le temps rf^ la quantité d'électricité appartenant au disque est

du , , w -- dxdt, dt

quand, toutefois, on admet que des changements égaux de tension correspondent toujours à des variations égales de quantité. Si l'expérience venait à démontrer qu'une même quantité d'électricité fait éprouver à des corps différents de même volume des changements de tension différents , alors il faudrait encore introduire dans ^expression précédente un coefficient 7 relatif à cette propriété des divers corps; jusqu'à

présent l'expérience n'a pas prononcé relativement à cette propriété dont on est conduit à soupçonner l'existence par la manière dont se comporte la chaleur.

Maintenant, si nous égalons les deux expressions obtenues pour la variation totale que subit dans l'élément du temps dt la quantité d'électricité contenue dans le disque M, et que nous divisions les deux membres de l'équation par w dx dt , nous aurons

du , d'^u bc , ^ ,

' dt dx''- « ^ ^

Au moyen de cette équation, on peut déterminer la tension u en fonction dea^el de t.

is. Nous avons trouvé dans le paragraphe précédent que le flux d'électricité qui se propage dans le temps dt entre les disques M' et M est représenté par

k (u' — u) dt

et nous avons vu que la direction du mouvement est opposée à celle des abscisses croissantes, quand l'expression est positive ; qu'il marche dans le même sens que les abscisses, quand l'expression est négative. De môme la grandeur du tlux entre les disques M, et M est exprimée par

k {u^ — u) dt dx

en supposant que le sens du mouvement soit déterminé de la même manière que tout à l'heure.

Si nous substituons, dans ces deux expressions, à la place de u^ et de u' les valeurs transformées que nous avons obtenues dans le même paragraphe, et qu'en même temps nous mettions kcù à la place de k, c'est-à-dire la conductibilité absolue à la

' Voir la note A à la suite du mémoire.

place de la conductibilité relative, nous aurons, dans un cas comme dans l'autre,

, du ,

k(s> —' dt.

Il resuite de là que la quantité d'électricité qui pénètre par une des faces du disque dans l'élément du temps c?/' est précisément égale à celle qui sort dans le même temps par la face opposée; si nous supposons que le flux qui traverse, au bout du temps t, le disque correspondant à l'abscisse, x^ devienne invariable , que nous appelions courant électrique la valeur qu'il acquiert dans l'unité de temps, et que nous représentions par S la grandeur de ce courant, nous aurons alors

Dans cette équation, les valeurs positives de S indiquent que le courant marche dans une direction opposée à celle des abscisses croissantes; les valeurs négatives indiquent qu'il marche dans le sens des abscisses.

13. Dans les deux paragraphes précédents, nous avons toujours considéré un corps homogène prisniatique, et nous avons recherché comment l'électricité se propage dans un tel corps, en admettant que la tension soit toujours la même en un instant donné, dans toute l'étendue de chaque section pratiquée perpendiculairement à la longueur ou à Taxe du corps ; nous allons maintenant examiner le cas où deux corps prismatiques A et B soumis à la même condition, mais formés de substances différentes, sont placés Tun près de Tautre et se touchent suivant une conmiune surface de base. Supposons que l'origine des abscisses soit la même pour A et pour B, et désignons par u la tension de A, par m' celle de B ; u et u' seront déterminés par Péqualion (a) du paragraphe 1 1 ; seulement il faudra, dans chaque cas, attribuer à k la valeur correspondant à la nature parliculière du corps que l'on considérera; u repré-

sente une fonction de t et de x, qui n'est applicable qu'autant que l'abscisse x se rapporte à un point du corps A ; u' représente une semblable fonction de t et de a; qui n'est applicable qu'autant que l'abscisse x appartient à un point du corps ß ; mais il y a encore d'autres conditions relatives à la surface de contact que nous allons maintenant exposer. Pour désigner les valeurs particulières que prennent les fonctions u et u', quand il s'agit des points de la commune surface, nous enfermerons entre des parenthèses les lettres qui les représentent-, alors , d'après la loi qui a été établie dans le paragraphe 10, nous aurons entre les valeurs particulières dont il s'agit la relation

dans laquelle a représente une constante dépendant de la nature des deux corps ; indépendamment de cette condition qui est relative à la tension, il y en a une seconde qui se rapporte au courant ; elle consiste en ceci, que, dans le voisinage immédiat de la surface de contact, le courant électrique doit avoir la même intensité et la même direction dans les deux corps -, ([uand on conserve le facteur conunun «» , cette condition se trouve exprimée par l'équation

*.. (f\ = k: (f ) ; [dx/ \axl

k représente la conductibilité absolue du corps A, k' celle du corps B; nous désignons par { — j et {-— J les valeurs parlicu-

, „ . du du . .,

lieres que prennent les fonctions — et — quand elles se rapportent aux points qui touchent la base commune^ et qu'on ne suppose pas d'ailleurs l'origine des abscisses placée dans cette base commune. Il est aisé de comprendre la nécessité de cette dernière condition ; car si les deux courants n'étaient pas égaux près de la surface de contact ; que l'un des corps lui apportât plus d'électricité qu'elle n'en cède à l'autre, et que la difîé-

rence fût «ne fraction finie du courant total, alors la tension devrait augmenter dans l'étendue de la surface commune, et comme le courant fournit des quantités prodigieuses d'électricité, la tension prendrait dans un temps extrêmement court une valeur excessivement élevée, ce que l'expérience n'eût pas manqué de constater depuis longtemps ; on ne peut pas supposer non plus que la quantité d'électricité apportée par l'un des corps à la commune surface soit plus petite que la quantité enlevée par l'autre corps, car cette circonstance se manifesterait par une tension négative infinie.

11 n'est pas indispensable, pour l'exactitude des raisonnements qui précèdent, que les deux corps mis en contact aient la même base ; la section de l'un des corps prismatiques peut différer, pour la forme et pour la grandeur, de la section de l'autre corps, pourvu qu'il n'en résulte pas une différence sensible entre les tensions correspondant aux divers points d'une même section, et vu la grande énergie avec laquelle Félectricité tend à se mettre en équilibre, cette condition se trouve toujours remplie quand les corps sont de bons conducteurs et que leur longueur dépasse de beaucoup leurs autres dimensions. Dans ce cas il n'y a rien à changer à ce qui a été établi plus haut; seulement il faut partout distinguer la section du corps B de celle de A ; en conséquence, la seconde des équations de condition qui se rapportent à la surface de contact des deux corps devient

w représente toujours la section de A, et co' représente celle de B, qui maintenant diffère de la première.

On peut mêuie supposer qu'il existe dans le prolongement de A deux corps prismatiques B et C, séparés l'un de l'autre, qui tous deux soient en contact immédiat avec la base du corps A. Dans ce cas, si les quantités représentées pour le corps A par A;, w, u sont représentées pour le corps B par K, w', u' et

pour le corps C par K", w," m", la première des équations de condition trouvées plus haut sera remplacée par les deux suivantes :

dans lesquelles a représente la force électromotrice développée au contact des corps A et B, a la force électroniotrice produite par le contact des corps A et C; et de même la seconde des équations de condition établies ci-dessus deviendra

On voit tout de suite comment ces équations devraient se modifier, si l'on associait encore un plus grand nombre de corps ; nous n'insisterons pas davantage sur ces complications ; ce qui a été dit permet d'apprécier suffisamment les modifications qu'en pareil cas il faudrait faire subir aux équations.

14. Pour prévenir toute méprise, je vais, en terminant ces considérations générales, indiquer d'une manière précise les limites entre lesquelles nos formules peuvent être appliquées dans toute leur généralité. Nous nous sommes bornés à considérer le cas où tous les points d'une même section possèdent une tension uniforme, et où la grandeur de la section varie dun corps à l'autre seulement. Souvent la nalurede la question comporte des circonstances qui rendent superflues Tune ou l'autre de ces conditions, ou du moins en diminuent l'importance; comme il n'est pas sans utilité de connaître ces circonstances , je vais , sur un exemple , expliquer comment agissent les plus importantes d'entre elles.

Les formules ci-dessus sont parfaitement applicables à un circuit composé de cuivre, de zinc et d'im liquide aqueux, quand le cuivre et le zinc sont des prismes de même section, que le liquide a également la forme d'un prisme de section égale ou plus petite, et que ses surfaces de base sont partout

en contact avec les métaux ; il suffit même que les dernières conditions relatives au liquide soient remplies-, les métaux peuvent avoir ou n'avoir pas des sections égales, se toucher l'un Tautre dans toute l'étendue de leurs sections ou seulement par quelques points, leur forme peut même s'écarter considérablement de la forme prismatique sans que le circuit cesse d'être soumis aux lois déduites de nos formules ; car le mouvement de l'électricité, qui se propage avec tant de facilité dans les métaux, trouve un obstacle considérable dans la mauvaise conductibilité du liquide, et il en résulte que l'électricité ayant toujours le tenqjs de se répandre uniformément dans la masse des métaux, le liquide se retrouve placé dans les conditions qui servent de base à notre calcul ; il en est tout autrement quand le prisme liquide n'est touché par les métaux que dans une très-petite paitie de sa surface de base ; alors l'électricité qui arrive aux points de contact ne peut se propager que lentement et en subissant une notable diminution de tension dans les parties de la base qui ne sont pas touchées, et de là résultent des courants d'intensités et de directions diverses ; Pohl a constaté, par des expériences très-variées, Texislence de tels courants, et leur détermination par le calcul ne com- ' porte d'autres difficultés que celles qui résultent de la complication des expressions, grâce aux nouvelles méthodes dont ia science est redevable à la théorie de la chaleur. Mais cette détermination dépasserait de beaucoup les limites de ce petit ouvrage, où nous nous sommes uniquement proposé d'étudier les courants qui se propagent dans une seule dimension; nous nous réservons de revenir sur ce sujet dans une occasion plus convenable.

Nous allons maintenant passer à l'application des formules établies, et, pour plus de facilite, nous diviserons notre travail en deux parties: l'une traitera des phénomènes de tension, l'autre des phénomènes de courant.